登录
8. 有个填写运算符号的游戏:在“1269”中的每个内,填入“+,-,×,÷”中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9;
(2)若1÷2×69=-6,请推算内的符号;
(3)在“126-9”的内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
(1)计算:1+2-6-9;
(2)若1÷2×69=-6,请推算内的符号;
(3)在“126-9”的内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
答案
解：
(1)
$1+2-6-9$
$=3-6-9$
$=-3-9$
$=-12$
(2)
先计算$1÷2×6=3$，
则原式等价于$3□9=-6$，
因为$3-9=-6$，
所以$□$内的符号是“$-$”。
(3) 这个最小数是$\boldsymbol{-20}$。
(1)
$1+2-6-9$
$=3-6-9$
$=-3-9$
$=-12$
(2)
先计算$1÷2×6=3$，
则原式等价于$3□9=-6$，
因为$3-9=-6$，
所以$□$内的符号是“$-$”。
(3) 这个最小数是$\boldsymbol{-20}$。
解析
【分析】
(1) 第一问属于有理数加减混合运算，按照运算顺序从左到右依次计算即可。
(2) 第二问先算出已知运算部分1÷2×6的结果，再根据最终得数反推方框内的运算符号。
(3) 第三问要让整个式子结果最小，因为式子末尾是固定减9，只需要让前半部分“126”的结果尽可能小即可；要让前半部分结果最小，优先通过乘法构造绝对值最大的负数，再验证不同运算组合得到最小值。
【解析】
(1) 计算$1+2-6-9$：
$\begin{aligned}1+2-6-9&=3-6-9\\&=-3-9\\&=-12\end{aligned}$
(2) 先计算已知部分的结果：$1÷2×6=0.5×6=3$，
原式可转化为$3□9=-6$，
因为$3-9=-6$，所以内的符号是“$-$”。
(3) 要使$1□2□6-9$的结果最小，需先让$1□2□6$的结果最小，尝试所有运算组合后，可得$1-2×6=1-12=-11$是前半部分的最小值，
因此最小总结果为$-11-9=-20$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{-}$；(3) $\boldsymbol{-20}$
【知识点】
有理数混合运算，四则运算法则，有理数大小比较
【点评】
本题围绕有理数四则运算设计，前两问侧重考察基础运算的熟练度，第三问需要结合最值需求逆向推导运算组合，既检验运算能力，也锻炼逻辑推理意识。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于有理数加减混合运算，按照运算顺序从左到右依次计算即可。
(2) 第二问先算出已知运算部分1÷2×6的结果，再根据最终得数反推方框内的运算符号。
(3) 第三问要让整个式子结果最小，因为式子末尾是固定减9，只需要让前半部分“126”的结果尽可能小即可；要让前半部分结果最小，优先通过乘法构造绝对值最大的负数，再验证不同运算组合得到最小值。
【解析】
(1) 计算$1+2-6-9$：
$\begin{aligned}1+2-6-9&=3-6-9\\&=-3-9\\&=-12\end{aligned}$
(2) 先计算已知部分的结果：$1÷2×6=0.5×6=3$，
原式可转化为$3□9=-6$，
因为$3-9=-6$，所以内的符号是“$-$”。
(3) 要使$1□2□6-9$的结果最小，需先让$1□2□6$的结果最小，尝试所有运算组合后，可得$1-2×6=1-12=-11$是前半部分的最小值，
因此最小总结果为$-11-9=-20$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-12}$；(2) $\boldsymbol{-}$；(3) $\boldsymbol{-20}$
【知识点】
有理数混合运算，四则运算法则，有理数大小比较
【点评】
本题围绕有理数四则运算设计，前两问侧重考察基础运算的熟练度，第三问需要结合最值需求逆向推导运算组合，既检验运算能力，也锻炼逻辑推理意识。
【难度系数】
0.7
1. 我们常用的数是十进制数要用10个数码(又叫数字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:0和1. 如二进制中 $110 = 1×2^2 +1×2^1 +0×2^0$ 等于十进制的数6, $110101 =1×2^5 +1×2^4 +0×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0$ 等于十进制的数53. 那么二进制中的数101011等于十进制中的 .
答案
$\boldsymbol{43}$
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每个数位上的数字，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、2的（总位数-2）次方……直到乘以2的0次方，最后把所有乘积相加，得到的和就是对应的十进制数。首先数出二进制数101011的总位数，再按照规则展开计算即可。
【解析】
二进制数101011是6位数字，根据转换规则展开计算：
$\begin{aligned}101011_{(2)}&=1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\&=43\end{aligned}$
【答案】
43
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心考查信息提取能力和基础运算能力，只要准确理解题目给出的转换规则，细心计算乘方与加法即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题目给出的二进制转十进制的运算规则：二进制数的每个数位上的数字，从左到右依次乘以2的（总位数-1）次方、2的（总位数-2）次方……直到乘以2的0次方，最后把所有乘积相加，得到的和就是对应的十进制数。首先数出二进制数101011的总位数，再按照规则展开计算即可。
【解析】
二进制数101011是6位数字，根据转换规则展开计算：
$\begin{aligned}101011_{(2)}&=1×2^5 + 0×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1\\&=43\end{aligned}$
【答案】
43
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心考查信息提取能力和基础运算能力，只要准确理解题目给出的转换规则，细心计算乘方与加法即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
2. 生活中我们使用的数是十进制数,有时候也会用到其他进制数,如计算机使用的数是二进制数,二进制数可以转化为十进制数.如二进制数1 101换算成十进制数是$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0 =13$.
第十四届国际数学教育大会(ICME-14)在中国上海举行,会徽的主题图案(图2)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3 745换算成十进制数是$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +5×8^0 =2021$,表示ICME-14的举办年份.
(1)八进制数3 747换算成十进制数是;
(2)小颖设计了一个七进制数156,求它换算成十进制数的值.
第十四届国际数学教育大会(ICME-14)在中国上海举行,会徽的主题图案(图2)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3 745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3 745换算成十进制数是$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +5×8^0 =2021$,表示ICME-14的举办年份.
(1)八进制数3 747换算成十进制数是;
(2)小颖设计了一个七进制数156,求它换算成十进制数的值.
答案
解：
(1) 八进制数3 747换算成十进制数为：
$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +7×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +7×1$
$=1536 + 448 + 32 +7$
$=2023$
(2) 七进制数156换算成十进制数为：
$1×7^2 +5×7^1 +6×7^0$
$=1×49 +5×7 +6×1$
$=49 + 35 +6$
$=90$
答：七进制数156换算成十进制数的值为90。
(1) 八进制数3 747换算成十进制数为：
$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +7×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +7×1$
$=1536 + 448 + 32 +7$
$=2023$
(2) 七进制数156换算成十进制数为：
$1×7^2 +5×7^1 +6×7^0$
$=1×49 +5×7 +6×1$
$=49 + 35 +6$
$=90$
答：七进制数156换算成十进制数的值为90。
解析
【分析】
解题时首先要读懂题干给出的不同进制转十进制的通用规则：n进制数的每一位数字，从右到左依次乘以n的0次方、1次方、2次方……，再将所有结果相加，所得和就是对应的十进制数。(1)问是八进制转十进制，直接类比题干给出的八进制3745换算的方法，将个位数字替换为7后按规则计算即可；(2)问是七进制转十进制，把基数换成7，按照三位数字对应的次方分别计算再求和即可。
【解析】
(1) 八进制数3747换算成十进制数，根据规则计算：
$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +7×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +7×1$
$=1536 + 448 + 32 +7$
$=2023$
(2) 七进制数156换算成十进制数，根据规则计算：
$1×7^2 +5×7^1 +6×7^0$
$=1×49 +5×7 +6×1$
$=49 + 35 +6$
$=90$
【答案】
(1) $\boxed{2023}$；(2) $\boxed{90}$
【知识点】
进制换算、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题是新定义运算类题型，核心考查学生的规则理解能力和知识迁移能力，只要掌握题干给出的进制转换规则，结合有理数的乘方、加减运算即可正确求解，是兼顾基础和能力考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要读懂题干给出的不同进制转十进制的通用规则：n进制数的每一位数字，从右到左依次乘以n的0次方、1次方、2次方……，再将所有结果相加，所得和就是对应的十进制数。(1)问是八进制转十进制，直接类比题干给出的八进制3745换算的方法，将个位数字替换为7后按规则计算即可；(2)问是七进制转十进制，把基数换成7，按照三位数字对应的次方分别计算再求和即可。
【解析】
(1) 八进制数3747换算成十进制数，根据规则计算：
$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +7×8^0$
$=3×512 +7×64 +4×8 +7×1$
$=1536 + 448 + 32 +7$
$=2023$
(2) 七进制数156换算成十进制数，根据规则计算：
$1×7^2 +5×7^1 +6×7^0$
$=1×49 +5×7 +6×1$
$=49 + 35 +6$
$=90$
【答案】
(1) $\boxed{2023}$；(2) $\boxed{90}$
【知识点】
进制换算、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题是新定义运算类题型，核心考查学生的规则理解能力和知识迁移能力，只要掌握题干给出的进制转换规则，结合有理数的乘方、加减运算即可正确求解，是兼顾基础和能力考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
