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8. 先化简，再求值：
$[(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)-2(1+a^2)] ÷ a$，其中$a=-1$，$b=2$.
$[(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)-2(1+a^2)] ÷ a$，其中$a=-1$，$b=2$.
答案
解:原式$=(2 -a -a^2 +a^2 -5ab +a -2 -2a^2) ÷ a=(-5ab -2a^2) ÷ a=-5b-2a$. 当$a=-1,b=2$时,原式$=-5b-2a=-5×2 -2×(-1)=-8$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的原则求解即可。第一步先处理中括号内的运算：依次完成多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算，去括号时如果括号前是负号，括号内各项都要变号；第二步合并中括号内的同类项，消去可以抵消的项，简化整式；第三步将化简后的整式除以a，得到最简的化简结果；最后将a、b的取值代入最简式计算，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)-2(1+a^2)] ÷ a\\=&(2 -a -a^2 +a^2 -5ab +a -2 -2a^2) ÷ a\\=&(-5ab - 2a^2) ÷ a\\=&-5ab÷a - 2a^2÷a\\=&-5b - 2a\end{aligned}$
再将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子求值：
$\begin{aligned}原式&=-5×2 - 2×(-1)\\&=-10 + 2\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
整式的乘除运算，合并同类项，化简求值
【点评】
本题侧重考察整式混合运算的基本功，解题核心是准确完成去括号、合并同类项的步骤，运算过程中要格外注意符号变化，避免因符号错误导致结果出错，先化简再求值的思路能大幅降低计算量。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的原则求解即可。第一步先处理中括号内的运算：依次完成多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算，去括号时如果括号前是负号，括号内各项都要变号；第二步合并中括号内的同类项，消去可以抵消的项，简化整式；第三步将化简后的整式除以a，得到最简的化简结果；最后将a、b的取值代入最简式计算，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}&[(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)-2(1+a^2)] ÷ a\\=&(2 -a -a^2 +a^2 -5ab +a -2 -2a^2) ÷ a\\=&(-5ab - 2a^2) ÷ a\\=&-5ab÷a - 2a^2÷a\\=&-5b - 2a\end{aligned}$
再将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子求值：
$\begin{aligned}原式&=-5×2 - 2×(-1)\\&=-10 + 2\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
整式的乘除运算，合并同类项，化简求值
【点评】
本题侧重考察整式混合运算的基本功，解题核心是准确完成去括号、合并同类项的步骤，运算过程中要格外注意符号变化，避免因符号错误导致结果出错，先化简再求值的思路能大幅降低计算量。
【难度系数】
0.8
9.下面是一道三项式除以单项式的计算题：
$(21x^4y^3 + □ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y) = △ + 5xy - y$，其中的“$□$”“$△$”处被老师擦掉了，聪明的你能否把擦掉的部分还原呢？
$(21x^4y^3 + □ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y) = △ + 5xy - y$，其中的“$□$”“$△$”处被老师擦掉了，聪明的你能否把擦掉的部分还原呢？
答案
解:$(21x^4y^3 + □ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y)=21x^4y^3 ÷ (-7x^2y)+□ ÷ (-7x^2y)+7x^2y^2 ÷ (-7x^2y)=-3x^2y^2 +□ ÷ (-7x^2y)-y$. $\because -3x^2y^2 +□ ÷ (-7x^2y)-y=△ +5xy -y$,$\therefore$"$△$"处被擦掉的是$-3x^2y^2$,"$□$"处被擦掉的是$5xy · (-7x^2y)$,即$-35x^3y^2$
解析
【分析】
本题可利用多项式除以单项式的运算法则求解，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算规则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；接下来将等号左边的已知项先除以单项式$-7x^2y$，再把得到的结果和等号右边的多项式逐项对应，根据等式两边同类项对应相等的关系，即可分别求出“△”和“”代表的代数式。
【解析】
根据多项式除以单项式的法则，将等号左边的算式展开计算：
$\begin{aligned}(21x^4y^3 + □ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y)&=21x^4y^3 ÷ (-7x^2y)+□ ÷ (-7x^2y)+7x^2y^2 ÷ (-7x^2y)\\&=-3x^2y^2 +□ ÷ (-7x^2y)-y\end{aligned}$
已知该计算结果等于$△ +5xy -y$，将等式左右两边逐项对应：
1. 一次项对应：$-3x^2y^2$和“△”对应，因此$△=-3x^2y^2$；
2. 二次项对应：$□÷(-7x^2y)$和$5xy$对应，因此$□=5xy · (-7x^2y)=-35x^3y^2$；
3. 常数项均为$-y$，对应相等，验证计算正确。
【答案】
“”处为$\boldsymbol{-35x^3y^2}$，“△”处为$\boldsymbol{-3x^2y^2}$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘除运算；整式恒等
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查多项式除以单项式的拆分运算规则，解题时要注意运算过程的符号变化，以及同底数幂乘除的指数计算规则，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题可利用多项式除以单项式的运算法则求解，解题思路如下：首先回忆多项式除以单项式的运算规则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加；接下来将等号左边的已知项先除以单项式$-7x^2y$，再把得到的结果和等号右边的多项式逐项对应，根据等式两边同类项对应相等的关系，即可分别求出“△”和“”代表的代数式。
【解析】
根据多项式除以单项式的法则，将等号左边的算式展开计算：
$\begin{aligned}(21x^4y^3 + □ + 7x^2y^2) ÷ (-7x^2y)&=21x^4y^3 ÷ (-7x^2y)+□ ÷ (-7x^2y)+7x^2y^2 ÷ (-7x^2y)\\&=-3x^2y^2 +□ ÷ (-7x^2y)-y\end{aligned}$
已知该计算结果等于$△ +5xy -y$，将等式左右两边逐项对应：
1. 一次项对应：$-3x^2y^2$和“△”对应，因此$△=-3x^2y^2$；
2. 二次项对应：$□÷(-7x^2y)$和$5xy$对应，因此$□=5xy · (-7x^2y)=-35x^3y^2$；
3. 常数项均为$-y$，对应相等，验证计算正确。
【答案】
“”处为$\boldsymbol{-35x^3y^2}$，“△”处为$\boldsymbol{-3x^2y^2}$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘除运算；整式恒等
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查多项式除以单项式的拆分运算规则，解题时要注意运算过程的符号变化，以及同底数幂乘除的指数计算规则，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 学习了《整式的乘法》，小明联想到小学做除法运算时，会碰到余数的问题，那么类比多项式的除法，也会出现余式的问题。例如，如果一个多项式（设该多项式为A）除以 $2x^2$ 的商为 $3x+4$，余式为 $x-1$，那么这个多项式是多少？他通过类比小学除法的运算法则：被除数＝除数×商＋余数，推理出多项式的除法法则：被除式＝除式×商＋余式。
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以 $2x -6$ 的商为 $3x -1$，余式为 $x +3$，请你根据以上法则求出该多项式；
（3）上述过程中，小明把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（
A. 类比思想
B. 分类讨论思想
C. 整体思想
D. 数形结合思想
【应用】已知多项式 $2x^3 -4x^2 -1$ 除以一个多项式N，得到的商为 $\frac{1}{2}x$，余式为 $x -1$，求多项式N。
03 素养练 学科素养培育
请根据以上材料，解答下列问题：
（1）请你帮小明求出多项式A；
（2）小明继续探索，如果一个多项式除以 $2x -6$ 的商为 $3x -1$，余式为 $x +3$，请你根据以上法则求出该多项式；
（3）上述过程中，小明把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（
A
）A. 类比思想
B. 分类讨论思想
C. 整体思想
D. 数形结合思想
【应用】已知多项式 $2x^3 -4x^2 -1$ 除以一个多项式N，得到的商为 $\frac{1}{2}x$，余式为 $x -1$，求多项式N。
03 素养练 学科素养培育
答案
10. 解:(1)$A=2x^2(3x+4)+x-1=6x^3 +8x^2 +x-1$.(2)设该多项式为$B$. 由题意,得$B=(2x-6)(3x-1)+x+3=6x^2 -2x -18x +6 +x +3=6x^2 -19x +9$.(3)A 【应用】由题意,得$N=[(2x^3 -4x^2 -1)-(x-1)] ÷ \frac{1}{2}x=(2x^3 -4x^2 -x) ÷ \frac{1}{2}x=4x^2 -8x -2$
解析
【分析】
本题基于类比小学除法运算规则给出多项式除法核心法则：被除式=除式×商+余式，解题思路清晰：
1. 第(1)(2)问已知除式、商、余式，直接代入上述法则，按照整式乘法、合并同类项的规则计算即可得到对应的被除式；
2. 第(3)问将小学除法法则迁移到多项式除法运算，属于典型的类比思想应用，直接对应选项即可；
3. 应用部分已知被除式、商、余式求除式，先对核心法则变形得到：除式=(被除式-余式)÷商，先计算被除式减余式，再按照整式除法法则计算即可得到除式N。
【解析】
(1) 根据多项式除法法则代入已知条件：
$\begin{aligned}A&=2x^2(3x+4)+(x-1)\\&=6x^3+8x^2+x-1\end{aligned}$
(2) 设该多项式为B，代入法则计算：
$\begin{aligned}B&=(2x-6)(3x-1)+(x+3)\\&=6x^2-2x-18x+6+x+3\\&=6x^2-19x+9\end{aligned}$
(3) 把小学除法运算规则类比迁移到多项式除法中，运用的是类比思想，故选A。
【应用】对多项式除法法则变形可得$N=(被除式-余式)÷商$，代入已知条件：
$\begin{aligned}N&=[(2x^3 -4x^2 -1)-(x-1)] ÷ \frac{1}{2}x\\&=(2x^3 -4x^2 -x) ÷ \frac{1}{2}x\\&=4x^2 -8x -2\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=6x^3 +8x^2 +x-1$
(2) $6x^2 -19x +9$
(3) A
【应用】$N=4x^2 -8x -2$
【知识点】
整式乘除运算，多项式除法，类比思想
【点评】
本题以知识迁移的形式考查整式乘除的计算能力，需要准确理解多项式除法和小学除法的共通逻辑，熟练掌握整式乘除的运算规则，能有效提升知识类比迁移的能力。
【难度系数】
0.7
本题基于类比小学除法运算规则给出多项式除法核心法则：被除式=除式×商+余式，解题思路清晰：
1. 第(1)(2)问已知除式、商、余式，直接代入上述法则，按照整式乘法、合并同类项的规则计算即可得到对应的被除式；
2. 第(3)问将小学除法法则迁移到多项式除法运算，属于典型的类比思想应用，直接对应选项即可；
3. 应用部分已知被除式、商、余式求除式，先对核心法则变形得到：除式=(被除式-余式)÷商，先计算被除式减余式，再按照整式除法法则计算即可得到除式N。
【解析】
(1) 根据多项式除法法则代入已知条件：
$\begin{aligned}A&=2x^2(3x+4)+(x-1)\\&=6x^3+8x^2+x-1\end{aligned}$
(2) 设该多项式为B，代入法则计算：
$\begin{aligned}B&=(2x-6)(3x-1)+(x+3)\\&=6x^2-2x-18x+6+x+3\\&=6x^2-19x+9\end{aligned}$
(3) 把小学除法运算规则类比迁移到多项式除法中，运用的是类比思想，故选A。
【应用】对多项式除法法则变形可得$N=(被除式-余式)÷商$，代入已知条件：
$\begin{aligned}N&=[(2x^3 -4x^2 -1)-(x-1)] ÷ \frac{1}{2}x\\&=(2x^3 -4x^2 -x) ÷ \frac{1}{2}x\\&=4x^2 -8x -2\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=6x^3 +8x^2 +x-1$
(2) $6x^2 -19x +9$
(3) A
【应用】$N=4x^2 -8x -2$
【知识点】
整式乘除运算，多项式除法，类比思想
【点评】
本题以知识迁移的形式考查整式乘除的计算能力，需要准确理解多项式除法和小学除法的共通逻辑，熟练掌握整式乘除的运算规则，能有效提升知识类比迁移的能力。
【难度系数】
0.7
11.(2024·六盘水月考)观察下列各式：
$(x^2 - 1)÷(x - 1)=x+1$；
$(x^3 - 1)÷(x - 1)=x^2 + x + 1$；
$(x^4 - 1)÷(x - 1)=x^3 + x^2 + x + 1$；
$(x^5 - 1)÷(x - 1)=x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$；
…
(1)你能得到一般情况下，$(x^n - 1)÷(x - 1)$（其中$n$为正整数，且$n≥2$）的结果吗？
(2)根据这一结果计算：$1 + 2 + 2^2 + … + 2^{62} + 2^{63}$。
$(x^2 - 1)÷(x - 1)=x+1$；
$(x^3 - 1)÷(x - 1)=x^2 + x + 1$；
$(x^4 - 1)÷(x - 1)=x^3 + x^2 + x + 1$；
$(x^5 - 1)÷(x - 1)=x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$；
…
(1)你能得到一般情况下，$(x^n - 1)÷(x - 1)$（其中$n$为正整数，且$n≥2$）的结果吗？
(2)根据这一结果计算：$1 + 2 + 2^2 + … + 2^{62} + 2^{63}$。
答案
解:(1)$(x^n -1)÷(x-1)=x^{n-1} +x^{n-2} +…+x+1$;(2)由题意可知$(2^{64} -1)÷(2-1)=2^{63} +2^{62} +…+2^2 +2 +1$,$\therefore 1+2+2^2 +…+2^{62} +2^{63}=2^{64} -1$
解析
【分析】
（1）第一问可通过观察已知式子的共同特征推导一般结论：观察给出的等式，左边被除数均为$x^k-1$（$k$依次取2、3、4、5），除数均为$x-1$，右边的多项式最高次项次数比被除数的次数少1，且按降幂排列到常数项1，据此可归纳出$n≥2$时的通用结果。
（2）第二问所求的$1+2+2^2+\dots+2^{63}$，和第一问结论的右边形式完全匹配，对应第一问公式中$x=2$、$n=64$的情况，因此可直接套用结论反向计算，将其转化为$(2^{64}-1)÷(2-1)$即可快速求解。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
当$n=2$时，$(x^2-1)÷(x-1)=x^1 + 1$
当$n=3$时，$(x^3-1)÷(x-1)=x^2 +x +1$
当$n=4$时，$(x^4-1)÷(x-1)=x^3+x^2+x+1$
……
归纳可得，当$n$为正整数且$n≥2$时：
$(x^n -1)÷(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$
(2) 根据(1)的结论，取$x=2$、$n=64$，可得：
$(2^{64}-1)÷(2-1)=2^{63}+2^{62}+\dots+2^2+2+1$
由于$2-1=1$，因此：
$1+2+2^2+\dots+2^{62}+2^{63}=2^{64}-1$
【答案】
(1) $x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$；
(2) $2^{64}-1$
【知识点】
规律探究，整式除法，乘方运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，重点考查从特殊实例中归纳一般规律的能力，以及灵活运用规律简化计算的能力，解题核心是掌握从特殊到一般的归纳思想，准确匹配式子的结构特征。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可通过观察已知式子的共同特征推导一般结论：观察给出的等式，左边被除数均为$x^k-1$（$k$依次取2、3、4、5），除数均为$x-1$，右边的多项式最高次项次数比被除数的次数少1，且按降幂排列到常数项1，据此可归纳出$n≥2$时的通用结果。
（2）第二问所求的$1+2+2^2+\dots+2^{63}$，和第一问结论的右边形式完全匹配，对应第一问公式中$x=2$、$n=64$的情况，因此可直接套用结论反向计算，将其转化为$(2^{64}-1)÷(2-1)$即可快速求解。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
当$n=2$时，$(x^2-1)÷(x-1)=x^1 + 1$
当$n=3$时，$(x^3-1)÷(x-1)=x^2 +x +1$
当$n=4$时，$(x^4-1)÷(x-1)=x^3+x^2+x+1$
……
归纳可得，当$n$为正整数且$n≥2$时：
$(x^n -1)÷(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$
(2) 根据(1)的结论，取$x=2$、$n=64$，可得：
$(2^{64}-1)÷(2-1)=2^{63}+2^{62}+\dots+2^2+2+1$
由于$2-1=1$，因此：
$1+2+2^2+\dots+2^{62}+2^{63}=2^{64}-1$
【答案】
(1) $x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$；
(2) $2^{64}-1$
【知识点】
规律探究，整式除法，乘方运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，重点考查从特殊实例中归纳一般规律的能力，以及灵活运用规律简化计算的能力，解题核心是掌握从特殊到一般的归纳思想，准确匹配式子的结构特征。
【难度系数】
0.7
