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例3 甲、乙两个班的男生女生人数如下表所示
年级家长会需1名志愿者,分别求下列情形中这名志愿者为男生的概率.
(1)从甲班中随机选1人;
(2)从甲、乙两个班中随机选1人.
年级家长会需1名志愿者,分别求下列情形中这名志愿者为男生的概率.
(1)从甲班中随机选1人;
(2)从甲、乙两个班中随机选1人.
答案
（1） 甲班总人数为50，其中男生有30人，因此从甲班随机选1人是男生的概率为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$。
（2） 甲乙两班总人数为100，其中男生共有55人，因此从两班中随机选1人是男生的概率为$\frac{55}{100}=\frac{11}{20}$。
（2） 甲乙两班总人数为100，其中男生共有55人，因此从两班中随机选1人是男生的概率为$\frac{55}{100}=\frac{11}{20}$。
1.如果每个点出现的可能性相等，那么从表中任取一点，则这个点在函数$y=x$图象上的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
1. $\frac{1}{4}$
1. 一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同. 摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是$\frac{1}{3}$，估计袋中白球的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. D
解析
【分析】
解答本题首先要明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能情况的总数。本题中摸到白球的概率对应白球个数除以袋中球的总个数，已知黑球个数和摸到白球的概率，我们可以设白球的个数为未知数，代入概率公式列方程求解即可。
【解析】
设袋中白球的个数为$ x $个，则袋中球的总个数为$ (8+x) $个。
根据摸到白球的概率是$ \frac{1}{3} $，结合概率公式可得：
$ \frac{x}{8+x} = \frac{1}{3} $
交叉相乘去分母得：$ 3x = 8 + x $
移项合并同类项得：$ 2x = 8 $
解得：$ x = 4 $
检验：当$ x=4 $时，$ 8+x=12≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，且符合实际意义。
即袋中白球的个数是4个。
【答案】
D
【知识点】
概率计算公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率模块的基础常规题，核心考查对概率公式的理解与运用，通过设未知数列方程的方法就能快速求解，解题时注意要对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确概率的计算公式：随机事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有等可能情况的总数。本题中摸到白球的概率对应白球个数除以袋中球的总个数，已知黑球个数和摸到白球的概率，我们可以设白球的个数为未知数，代入概率公式列方程求解即可。
【解析】
设袋中白球的个数为$ x $个，则袋中球的总个数为$ (8+x) $个。
根据摸到白球的概率是$ \frac{1}{3} $，结合概率公式可得：
$ \frac{x}{8+x} = \frac{1}{3} $
交叉相乘去分母得：$ 3x = 8 + x $
移项合并同类项得：$ 2x = 8 $
解得：$ x = 4 $
检验：当$ x=4 $时，$ 8+x=12≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，且符合实际意义。
即袋中白球的个数是4个。
【答案】
D
【知识点】
概率计算公式；分式方程的应用
【点评】
本题是概率模块的基础常规题，核心考查对概率公式的理解与运用，通过设未知数列方程的方法就能快速求解，解题时注意要对方程的解进行合理性检验。
【难度系数】
0.8
2. 现有4张反面无差别的卡片，它们的正面分别印有线段、等边三角形、平行四边形和正六边形.将4张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取1张，则抽到的卡片正面上的图形都是轴对称图形的概率为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题需分两步思考：第一步先逐一判断4个卡片上的图形是否为轴对称图形，统计符合要求的卡片数量；第二步运用简单概率的计算公式，即随机事件概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
首先逐一判断各图形的对称性：
1. 线段：沿其垂直平分线或自身所在直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；
2. 等边三角形：沿任意一条高所在直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；
3. 平行四边形：不存在能使其折叠后两侧完全重合的直线，不属于轴对称图形；
4. 正六边形：沿过对顶点或对边中点的直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形。
由此可知，4张卡片中正面为轴对称图形的共有3张，随机抽取1张的总等可能结果有4种，因此抽到轴对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的判定；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了平面图形的性质与概率基础计算，解题核心是准确识别常见平面图形的对称性，易错点是容易误将普通平行四边形判定为轴对称图形。
【难度系数】
0.75
要解决这道题需分两步思考：第一步先逐一判断4个卡片上的图形是否为轴对称图形，统计符合要求的卡片数量；第二步运用简单概率的计算公式，即随机事件概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
首先逐一判断各图形的对称性：
1. 线段：沿其垂直平分线或自身所在直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；
2. 等边三角形：沿任意一条高所在直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形；
3. 平行四边形：不存在能使其折叠后两侧完全重合的直线，不属于轴对称图形；
4. 正六边形：沿过对顶点或对边中点的直线折叠，直线两侧部分可完全重合，属于轴对称图形。
由此可知，4张卡片中正面为轴对称图形的共有3张，随机抽取1张的总等可能结果有4种，因此抽到轴对称图形的概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的判定；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了平面图形的性质与概率基础计算，解题核心是准确识别常见平面图形的对称性，易错点是容易误将普通平行四边形判定为轴对称图形。
【难度系数】
0.75
3. 小明去商场购物，购买完后商家有一个抽奖答谢活动，有$m$张奖券，其中含奖项的奖券有$n$张，每名已购物的顾客只能抽取一次，小明抽之前有10名顾客已抽过奖券，中奖的有3人，则小明中奖的概率为(
A.$\dfrac{n}{m}$
B.$\dfrac{n}{m - 10}$
C.$\dfrac{n - 3}{m - 10}$
D.$\dfrac{n - 3}{m}$
C
)A.$\dfrac{n}{m}$
B.$\dfrac{n}{m - 10}$
C.$\dfrac{n - 3}{m - 10}$
D.$\dfrac{n - 3}{m}$
答案
3. C
解析
【分析】
要计算小明中奖的概率，首先明确概率的核心计算公式：某随机事件发生的概率=该事件对应的符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。解题时先梳理已知前提：小明抽奖前已有10人抽走10张奖券，其中3张是有奖奖券，因此需要先算出小明抽奖时剩余的总奖券数、剩余的有奖奖券数，再代入公式计算即可。
【解析】
第一步：计算剩余总奖券数量
原有奖券共$m$张，10名顾客已抽走10张，因此小明抽奖时剩余的总奖券数为：$m-10$张。
第二步：计算剩余有奖奖券数量
原有奖奖券共$n$张，前面10人中有3人中奖，即已被抽走3张有奖奖券，因此剩余的有奖奖券数为：$n-3$张。
第三步：代入概率公式计算
小明从剩余的$m-10$张奖券中随机抽1张，中奖概率为剩余有奖奖券数除以剩余总奖券数，即$P=\dfrac{n-3}{m-10}$。
综上本题选选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 简单随机事件概率
【点评】
本题考查概率公式的灵活应用，易错点是忽略已抽取的奖券情况，直接用原有总奖券数或原有有奖奖券数代入计算，解题核心是准确匹配事件发生时对应的总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】
0.7
要计算小明中奖的概率，首先明确概率的核心计算公式：某随机事件发生的概率=该事件对应的符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数。解题时先梳理已知前提：小明抽奖前已有10人抽走10张奖券，其中3张是有奖奖券，因此需要先算出小明抽奖时剩余的总奖券数、剩余的有奖奖券数，再代入公式计算即可。
【解析】
第一步：计算剩余总奖券数量
原有奖券共$m$张，10名顾客已抽走10张，因此小明抽奖时剩余的总奖券数为：$m-10$张。
第二步：计算剩余有奖奖券数量
原有奖奖券共$n$张，前面10人中有3人中奖，即已被抽走3张有奖奖券，因此剩余的有奖奖券数为：$n-3$张。
第三步：代入概率公式计算
小明从剩余的$m-10$张奖券中随机抽1张，中奖概率为剩余有奖奖券数除以剩余总奖券数，即$P=\dfrac{n-3}{m-10}$。
综上本题选选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 概率计算公式
2. 简单随机事件概率
【点评】
本题考查概率公式的灵活应用，易错点是忽略已抽取的奖券情况，直接用原有总奖券数或原有有奖奖券数代入计算，解题核心是准确匹配事件发生时对应的总情况数和符合条件的情况数。
【难度系数】
0.7
4. 如图,若随机向$8×8$正方形网格内投针,则针尖落在阴影部分的概率为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{9π}{64}$
D.$\frac{25}{64}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{9π}{64}$
D.$\frac{25}{64}$
答案
4. D
解析
【分析】
本题属于几何概率类题目，解题思路如下：第一步，明确几何概率的计算方法是“阴影部分面积÷总区域面积”；第二步，先计算总区域即8×8正方形网格的总面积，计算难度较低；第三步，阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补平移法，将阴影的弧形部分进行拼接，转化为易计算面积的规则图形，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1：
1. 计算总区域面积：8×8的正方形网格总面积 $ S_{\mathrm{总}} = 8 × 8 = 64 $。
2. 计算阴影部分面积：对阴影的不规则弧边部分进行割补平移，可发现阴影部分恰好能拼接为一个边长为5的正方形，因此阴影面积 $ S_{\mathrm{阴}} = 5 × 5 = 25 $。
3. 计算概率：根据几何概率公式，针尖落在阴影部分的概率 $ P = \frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{25}{64} $。
【答案】
D
【知识点】
几何概率计算，割补法求面积
【点评】
本题考查几何概率的应用，解题核心是通过割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，避免了复杂的弧形面积计算，是概率和不规则图形面积计算结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于几何概率类题目，解题思路如下：第一步，明确几何概率的计算方法是“阴影部分面积÷总区域面积”；第二步，先计算总区域即8×8正方形网格的总面积，计算难度较低；第三步，阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，因此采用割补平移法，将阴影的弧形部分进行拼接，转化为易计算面积的规则图形，最后代入概率公式即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形网格的边长为1：
1. 计算总区域面积：8×8的正方形网格总面积 $ S_{\mathrm{总}} = 8 × 8 = 64 $。
2. 计算阴影部分面积：对阴影的不规则弧边部分进行割补平移，可发现阴影部分恰好能拼接为一个边长为5的正方形，因此阴影面积 $ S_{\mathrm{阴}} = 5 × 5 = 25 $。
3. 计算概率：根据几何概率公式，针尖落在阴影部分的概率 $ P = \frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}} = \frac{25}{64} $。
【答案】
D
【知识点】
几何概率计算，割补法求面积
【点评】
本题考查几何概率的应用，解题核心是通过割补法将不规则图形转化为规则图形计算面积，避免了复杂的弧形面积计算，是概率和不规则图形面积计算结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
