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5. 如图是小亮自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个实数. 自由转动转盘，当它停止转动时：
（1）指针指向负数的概率是
（2）指针指向无理数的概率是
（3）指针指向能被3整除的数的概率是
（4）求指针指向的数绝对值不小于6的概率.
（1）指针指向负数的概率是
$\frac{5}{12}$
；（2）指针指向无理数的概率是
$\frac{1}{12}$
；（3）指针指向能被3整除的数的概率是
$\frac{1}{3}$
；（4）求指针指向的数绝对值不小于6的概率.
答案
5. (1) $\frac{5}{12}$；(2) $\frac{1}{12}$；(3) $\frac{1}{3}$；(4) $\frac{5}{12}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，转盘被等分成12个扇形，总共有12种等可能的结果。解题思路如下：第一步先化简所有给出的实数，第二步分别针对每一问的要求筛选出符合条件的数并统计个数，第三步利用概率公式“$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}$”计算对应概率即可。
【解析】
首先化简所有12个实数：
$2021^0=1$，$3^2=9$，$\sqrt{6^2}=6$，其余数保持原式不变，12个数分别为：$1，-\frac{2}{3}，0，\frac{1}{7}，-10，\sqrt{3}，-2，3，6，-8，-1.414，9$，总共有12种等可能的结果。
（1）负数有$-\frac{2}{3}、-10、-2、-8、-1.414$，共5个，因此指针指向负数的概率为$\frac{5}{12}$；
（2）无理数是无限不循环小数，只有$\sqrt{3}$符合，共1个，因此指针指向无理数的概率为$\frac{1}{12}$；
（3）能被3整除的数有$0、3、6、9$，共4个，因此指针指向能被3整除的数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
（4）绝对值不小于6即$|x|≥6$，符合条件的数共5个，因此指针指向的数绝对值不小于6的概率为$\frac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{12}$；(2) $\frac{1}{12}$；(3) $\frac{1}{3}$；(4) $\frac{5}{12}$
【知识点】
概率计算，实数分类，实数运算
【点评】
本题将实数的相关概念与概率计算结合考察，解题的关键是先正确化简各数，再按要求仔细筛选符合条件的数，避免因漏数、错数导致结果错误，整体考察内容较为基础。
【难度系数】
0.7
本题属于等可能事件的概率计算问题，转盘被等分成12个扇形，总共有12种等可能的结果。解题思路如下：第一步先化简所有给出的实数，第二步分别针对每一问的要求筛选出符合条件的数并统计个数，第三步利用概率公式“$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}$”计算对应概率即可。
【解析】
首先化简所有12个实数：
$2021^0=1$，$3^2=9$，$\sqrt{6^2}=6$，其余数保持原式不变，12个数分别为：$1，-\frac{2}{3}，0，\frac{1}{7}，-10，\sqrt{3}，-2，3，6，-8，-1.414，9$，总共有12种等可能的结果。
（1）负数有$-\frac{2}{3}、-10、-2、-8、-1.414$，共5个，因此指针指向负数的概率为$\frac{5}{12}$；
（2）无理数是无限不循环小数，只有$\sqrt{3}$符合，共1个，因此指针指向无理数的概率为$\frac{1}{12}$；
（3）能被3整除的数有$0、3、6、9$，共4个，因此指针指向能被3整除的数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$；
（4）绝对值不小于6即$|x|≥6$，符合条件的数共5个，因此指针指向的数绝对值不小于6的概率为$\frac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{12}$；(2) $\frac{1}{12}$；(3) $\frac{1}{3}$；(4) $\frac{5}{12}$
【知识点】
概率计算，实数分类，实数运算
【点评】
本题将实数的相关概念与概率计算结合考察，解题的关键是先正确化简各数，再按要求仔细筛选符合条件的数，避免因漏数、错数导致结果错误，整体考察内容较为基础。
【难度系数】
0.7
6.已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5.
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，求a的值.
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为$\frac{1}{3}$，求a的值.
答案
(1) 15个；(2) $a = 10$
解析
【分析】
（1）首先明确所有随机事件的概率之和为1，先计算摸到黄球的概率，再根据“某颜色球的数量=总球数×摸到该颜色球的概率”即可求出黄球的数量。
（2）先算出原有红球的数量，放入a个红球后，红球总数量和总球数都增加a，结合此时摸到红球的概率为$\frac{1}{3}$，根据概率公式列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）已知摸到红球、蓝球的概率分别为0.2和0.5，所有事件的概率和为1，因此摸到黄球的概率为：
$P(\mathrm{黄})=1-0.2-0.5=0.3$
总球数为50个，因此黄色球的数量为：
$50×0.3=15$（个）
（2）原有红球的数量为：$50×0.2=10$（个）
放入a个红球后，红球总数量为$(10+a)$个，总球数为$(50+a)$个，根据概率公式列方程：
$\frac{10+a}{50+a}=\frac{1}{3}$
两边同乘$3(50+a)$去分母得：
$3(10+a)=50+a$
展开得：$30+3a=50+a$
移项合并同类项得：$2a=20$
解得：$a=10$
检验：当$a=10$时，$50+a=60≠0$，因此$a=10$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
(1) 15个；(2) $a=10$
【知识点】
概率计算，分式方程应用，概率基本性质
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的核心是掌握概率的计算公式，需要注意放入新球后，对应颜色球的数量和总球数会同步增加，解分式方程后要检验解的合理性，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.75
（1）首先明确所有随机事件的概率之和为1，先计算摸到黄球的概率，再根据“某颜色球的数量=总球数×摸到该颜色球的概率”即可求出黄球的数量。
（2）先算出原有红球的数量，放入a个红球后，红球总数量和总球数都增加a，结合此时摸到红球的概率为$\frac{1}{3}$，根据概率公式列分式方程求解，最后检验解是否符合实际意义即可。
【解析】
（1）已知摸到红球、蓝球的概率分别为0.2和0.5，所有事件的概率和为1，因此摸到黄球的概率为：
$P(\mathrm{黄})=1-0.2-0.5=0.3$
总球数为50个，因此黄色球的数量为：
$50×0.3=15$（个）
（2）原有红球的数量为：$50×0.2=10$（个）
放入a个红球后，红球总数量为$(10+a)$个，总球数为$(50+a)$个，根据概率公式列方程：
$\frac{10+a}{50+a}=\frac{1}{3}$
两边同乘$3(50+a)$去分母得：
$3(10+a)=50+a$
展开得：$30+3a=50+a$
移项合并同类项得：$2a=20$
解得：$a=10$
检验：当$a=10$时，$50+a=60≠0$，因此$a=10$是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
(1) 15个；(2) $a=10$
【知识点】
概率计算，分式方程应用，概率基本性质
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的核心是掌握概率的计算公式，需要注意放入新球后，对应颜色球的数量和总球数会同步增加，解分式方程后要检验解的合理性，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.75
1. 掷两枚质地均匀的硬币有几种可能的结果？“正面都朝上”的概率是多少？
答案
共有4种等可能的结果，分别为正正、正反、反正、反反；“正面都朝上”的概率为1/4。
解析
【分析】
解题时首先明确每枚质地均匀的硬币有正面朝上、反面朝上2种等可能结果，掷两枚硬币时可将两枚硬币区分开（如按先后顺序或标记为第1枚、第2枚），有序列举所有组合结果，注意“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不能合并。列举完所有等可能的总结果后，找出“正面都朝上”的结果数，再根据等可能事件的概率公式计算对应概率即可。
【解析】
我们将两枚硬币分别标记为硬币A、硬币B，依次列举所有可能的结果：
1. 硬币A正面朝上，硬币B正面朝上，记为“正正”；
2. 硬币A正面朝上，硬币B反面朝上，记为“正反”；
3. 硬币A反面朝上，硬币B正面朝上，记为“反正”；
4. 硬币A反面朝上，硬币B反面朝上，记为“反反”。
由此可得，共有4种等可能的结果。
其中满足“正面都朝上”的结果只有“正正”1种，根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得“正面都朝上”的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
共有4种等可能的结果，分别为正正、正反、反正、反反；“正面都朝上”的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、随机事件结果分析
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对等可能结果的列举能力，解题时需注意区分独立事件对应的不同结果，避免漏算或错算总结果数，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确每枚质地均匀的硬币有正面朝上、反面朝上2种等可能结果，掷两枚硬币时可将两枚硬币区分开（如按先后顺序或标记为第1枚、第2枚），有序列举所有组合结果，注意“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”是两种不同的结果，不能合并。列举完所有等可能的总结果后，找出“正面都朝上”的结果数，再根据等可能事件的概率公式计算对应概率即可。
【解析】
我们将两枚硬币分别标记为硬币A、硬币B，依次列举所有可能的结果：
1. 硬币A正面朝上，硬币B正面朝上，记为“正正”；
2. 硬币A正面朝上，硬币B反面朝上，记为“正反”；
3. 硬币A反面朝上，硬币B正面朝上，记为“反正”；
4. 硬币A反面朝上，硬币B反面朝上，记为“反反”。
由此可得，共有4种等可能的结果。
其中满足“正面都朝上”的结果只有“正正”1种，根据等可能事件的概率公式$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，可得“正面都朝上”的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
共有4种等可能的结果，分别为正正、正反、反正、反反；“正面都朝上”的概率为$\frac{1}{4}$。
【知识点】
列举法求概率、概率计算公式、随机事件结果分析
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对等可能结果的列举能力，解题时需注意区分独立事件对应的不同结果，避免漏算或错算总结果数，熟练掌握概率公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
