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2. 掷一枚质地均匀的骰子有几种可能的结果？点数大于3且小于6的概率是多少？
答案
共有6种等可能的结果，点数分别为1、2、3、4、5、6；点数大于3且小于6的结果有4、5共2种，对应概率为2/6=1/3。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确质地均匀的骰子掷出后每个点数出现的可能性相等，属于等可能事件。第一步先列举出掷骰子所有可能出现的结果，得到总结果数；第二步筛选出满足“点数大于3且小于6”的结果，统计符合条件的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，就能求出对应概率。
【解析】
解：① 掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果为点数1、2、3、4、5、6，共6种可能。
② 点数大于3且小于6，即点数满足3＜点数＜6，符合条件的点数为4、5，共2种结果。
③ 根据等可能事件的概率公式：$ P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，代入得点数大于3且小于6的概率为$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $。
【答案】
共有6种等可能的结果，点数分别为1、2、3、4、5、6；点数大于3且小于6的结果有4、5共2种，对应概率为2/6=1/3。
【知识点】
等可能事件判断、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是熟练掌握用列举法求解等可能事件概率的步骤，解题时需注意准确理解范围限定，避免多算或漏算符合条件的结果，计算概率时最后要化成最简分数。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确质地均匀的骰子掷出后每个点数出现的可能性相等，属于等可能事件。第一步先列举出掷骰子所有可能出现的结果，得到总结果数；第二步筛选出满足“点数大于3且小于6”的结果，统计符合条件的结果数；最后根据等可能事件的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数，就能求出对应概率。
【解析】
解：① 掷一枚质地均匀的骰子，所有等可能的结果为点数1、2、3、4、5、6，共6种可能。
② 点数大于3且小于6，即点数满足3＜点数＜6，符合条件的点数为4、5，共2种结果。
③ 根据等可能事件的概率公式：$ P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，代入得点数大于3且小于6的概率为$ \frac{2}{6}=\frac{1}{3} $。
【答案】
共有6种等可能的结果，点数分别为1、2、3、4、5、6；点数大于3且小于6的结果有4、5共2种，对应概率为2/6=1/3。
【知识点】
等可能事件判断、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心是熟练掌握用列举法求解等可能事件概率的步骤，解题时需注意准确理解范围限定，避免多算或漏算符合条件的结果，计算概率时最后要化成最简分数。
【难度系数】
0.9
当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.
问题 掷两枚硬币,求下列事件的概率:
(1) 两枚硬币全部正面朝上;
(2) 两枚硬币全部反面朝上;
(3) 一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上.
分析:我们不妨设其中一枚为A,另一枚为B,则试验的结果为$A_{正}B_{正},A_{正}B_{反},A_{反}B_{正},A_{反}B_{反}$,共四种可能.
像上面这样把事件可能出现的结果一一列出的方法叫作直接列举法.直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素,或分两步进行的实验,且事件总的结果总数比较少的可能性事件.当一次试验涉及两个因素,可能出现结果比较多时,为不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列举法.
问题 掷两枚硬币,求下列事件的概率:
(1) 两枚硬币全部正面朝上;
(2) 两枚硬币全部反面朝上;
(3) 一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上.
分析:我们不妨设其中一枚为A,另一枚为B,则试验的结果为$A_{正}B_{正},A_{正}B_{反},A_{反}B_{正},A_{反}B_{反}$,共四种可能.
像上面这样把事件可能出现的结果一一列出的方法叫作直接列举法.直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素,或分两步进行的实验,且事件总的结果总数比较少的可能性事件.当一次试验涉及两个因素,可能出现结果比较多时,为不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列举法.
答案
(1) 全部4种等可能结果中，两枚全正面朝上的结果仅1种，P(两枚全部正面朝上)=1/4
(2) 两枚全反面朝上的结果仅1种，P(两枚全部反面朝上)=1/4
(3) 一正一反的结果共2种，P(一正一反)=2/4=1/2
(2) 两枚全反面朝上的结果仅1种，P(两枚全部反面朝上)=1/4
(3) 一正一反的结果共2种，P(一正一反)=2/4=1/2
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为三步：第一步，先明确掷两枚硬币的所有等可能结果，注意区分两枚硬币避免重复或漏算，确定总结果数；第二步，分别找到三个问题中对应事件包含的符合要求的结果数；第三步，利用等可能事件的概率公式$P=\dfrac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，代入计算即可得到各事件的概率。
【解析】
我们将两枚硬币分别记为第1枚和第2枚，掷两枚硬币出现的所有等可能结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种，每种结果出现的可能性相等。
(1) 两枚硬币全部正面朝上的结果只有（正，正）1种，因此$P(\mathrm{两枚全部正面朝上})=\dfrac{1}{4}$；
(2) 两枚硬币全部反面朝上的结果只有（反，反）1种，因此$P(\mathrm{两枚全部反面朝上})=\dfrac{1}{4}$；
(3) 一枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上的结果有（正，反）、（反，正）共2种，因此$P(\mathrm{一正一反})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是列举法求概率的基础题型，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，要注意区分两个独立的试验对象，避免将不同的等可能结果合并计数，熟练掌握本题方法可解决多数涉及两个因素的简单概率求解问题。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路分为三步：第一步，先明确掷两枚硬币的所有等可能结果，注意区分两枚硬币避免重复或漏算，确定总结果数；第二步，分别找到三个问题中对应事件包含的符合要求的结果数；第三步，利用等可能事件的概率公式$P=\dfrac{\mathrm{事件包含的结果数}}{\mathrm{所有等可能的总结果数}}$，代入计算即可得到各事件的概率。
【解析】
我们将两枚硬币分别记为第1枚和第2枚，掷两枚硬币出现的所有等可能结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种，每种结果出现的可能性相等。
(1) 两枚硬币全部正面朝上的结果只有（正，正）1种，因此$P(\mathrm{两枚全部正面朝上})=\dfrac{1}{4}$；
(2) 两枚硬币全部反面朝上的结果只有（反，反）1种，因此$P(\mathrm{两枚全部反面朝上})=\dfrac{1}{4}$；
(3) 一枚硬币正面朝上、一枚硬币反面朝上的结果有（正，反）、（反，正）共2种，因此$P(\mathrm{一正一反})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是列举法求概率的基础题型，解题核心是准确不重不漏地列举出所有等可能的试验结果，要注意区分两个独立的试验对象，避免将不同的等可能结果合并计数，熟练掌握本题方法可解决多数涉及两个因素的简单概率求解问题。
【难度系数】
0.8
例1 同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件的概率:
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子的点数的和是6；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
分析:此题涉及两个因素(两枚骰子),通常用列表法求两步试验的随机事件的概率.
其表格通常设计为
（1）用表格列举出所有可能出现的结果.
（2）求出上述各事件的概率.
（3）思考:将题中的“同时掷两枚骰子”改为“把一枚骰子掷两次”,所得的结果有变化吗?
（4）从1,2,3,4,5,6中任取两个数,求取到的两个数的和为6的概率.
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子的点数的和是6；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
分析:此题涉及两个因素(两枚骰子),通常用列表法求两步试验的随机事件的概率.
其表格通常设计为
（1）用表格列举出所有可能出现的结果.
（2）求出上述各事件的概率.
（3）思考:将题中的“同时掷两枚骰子”改为“把一枚骰子掷两次”,所得的结果有变化吗?
（4）从1,2,3,4,5,6中任取两个数,求取到的两个数的和为6的概率.
答案
（1）所有等可能结果共36种，列表如下：
| 第一枚\第二枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
（2）① 两枚骰子点数相同的结果共6种，P(点数相同)=6/36=1/6
② 两枚骰子点数和为6的结果共5种，P(点数和为6)=5/36
③ 至少有一枚骰子点数为2的结果共11种，P(至少一枚点数为2)=11/36
（3）所得结果没有变化，两种试验的本质都是两次独立的掷骰子操作，所有等可能的结果完全一致。
（4）从6个数中任取两个不同的数，共15种等可能结果，其中和为6的结果有(1,5)、(2,4)共2种，P(两数和为6)=2/15
| 第一枚\第二枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
（2）① 两枚骰子点数相同的结果共6种，P(点数相同)=6/36=1/6
② 两枚骰子点数和为6的结果共5种，P(点数和为6)=5/36
③ 至少有一枚骰子点数为2的结果共11种，P(至少一枚点数为2)=11/36
（3）所得结果没有变化，两种试验的本质都是两次独立的掷骰子操作，所有等可能的结果完全一致。
（4）从6个数中任取两个不同的数，共15种等可能结果，其中和为6的结果有(1,5)、(2,4)共2种，P(两数和为6)=2/15
解析
【分析】
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：1. 同时掷两枚骰子属于独立的两步试验，所有等可能结果数量较多，采用列表法可以不重不漏地列举出所有结果，总共有6×6=36种等可能结果；2. 分别找到三个要求的事件对应的结果数量，再根据概率公式“P(A)=事件A包含的等可能结果数÷所有等可能结果的总数”计算对应概率；3. 分析“同时掷两枚骰子”和“把一枚骰子掷两次”的试验本质，两种操作都是两次独立的掷骰子过程，判断结果是否一致；4. 最后一道拓展题为不放回抽取，要注意它和前面有放回的试验总结果数不同，避免混淆，同样通过枚举找到总结果数和事件包含的结果数，再计算概率。
【解析】
首先列举同时掷两枚骰子的所有等可能结果，列表如下：
| 第一枚\第二枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表可知，总共有36种等可能的结果。
（1）两枚骰子点数相同的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)，共6种，因此P(点数相同)=6/36=1/6；
（2）两枚骰子点数和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种，因此P(点数和为6)=5/36；
（3）至少有一枚骰子点数为2的结果有第一枚为2的6种，加上第二枚为2且第一枚不为2的5种，共11种，因此P(至少一枚点数为2)=11/36；
（3）思考问题解答：所得结果没有变化，因为两种试验的本质都是两次独立的掷骰子操作，每一步的结果互不影响，所有等可能的结果完全一致。
（4）拓展题解答：从1~6中任取两个不同的数，属于不放回抽取，依次枚举可得总共有15种等可能结果：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)，其中和为6的结果有(1,5)、(2,4)共2种，因此P(两数和为6)=2/15。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}$；（3）$\boldsymbol{\dfrac{11}{36}}$；思考：所得结果没有变化；（4）$\boldsymbol{\dfrac{2}{15}}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算，分步随机事件
【点评】
本题是列举法求概率的典型习题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，同时区分了有放回（重复试验）和不放回抽取两种不同的试验类型，有助于掌握避免重复、遗漏计数的方法。
【难度系数】
0.7
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：1. 同时掷两枚骰子属于独立的两步试验，所有等可能结果数量较多，采用列表法可以不重不漏地列举出所有结果，总共有6×6=36种等可能结果；2. 分别找到三个要求的事件对应的结果数量，再根据概率公式“P(A)=事件A包含的等可能结果数÷所有等可能结果的总数”计算对应概率；3. 分析“同时掷两枚骰子”和“把一枚骰子掷两次”的试验本质，两种操作都是两次独立的掷骰子过程，判断结果是否一致；4. 最后一道拓展题为不放回抽取，要注意它和前面有放回的试验总结果数不同，避免混淆，同样通过枚举找到总结果数和事件包含的结果数，再计算概率。
【解析】
首先列举同时掷两枚骰子的所有等可能结果，列表如下：
| 第一枚\第二枚 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
| 5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
| 6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
由表可知，总共有36种等可能的结果。
（1）两枚骰子点数相同的结果有(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)，共6种，因此P(点数相同)=6/36=1/6；
（2）两枚骰子点数和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，共5种，因此P(点数和为6)=5/36；
（3）至少有一枚骰子点数为2的结果有第一枚为2的6种，加上第二枚为2且第一枚不为2的5种，共11种，因此P(至少一枚点数为2)=11/36；
（3）思考问题解答：所得结果没有变化，因为两种试验的本质都是两次独立的掷骰子操作，每一步的结果互不影响，所有等可能的结果完全一致。
（4）拓展题解答：从1~6中任取两个不同的数，属于不放回抽取，依次枚举可得总共有15种等可能结果：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)，其中和为6的结果有(1,5)、(2,4)共2种，因此P(两数和为6)=2/15。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{1}{6}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{5}{36}}$；（3）$\boldsymbol{\dfrac{11}{36}}$；思考：所得结果没有变化；（4）$\boldsymbol{\dfrac{2}{15}}$
【知识点】
列表法求概率，概率计算，分步随机事件
【点评】
本题是列举法求概率的典型习题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，同时区分了有放回（重复试验）和不放回抽取两种不同的试验类型，有助于掌握避免重复、遗漏计数的方法。
【难度系数】
0.7
