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1. 什么是概率？概率的取值范围是什么？
答案
一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。概率的取值范围是0≤P(A)≤1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
解析
【分析】
本题考查概率的基础定义与取值范围，解题时首先回忆概率的定义：概率是用来描述随机事件发生可能性大小的量；再结合不同类型事件的发生规律推导取值范围：不可能事件完全不会发生，对应概率为0，必然事件一定发生，对应概率为1，随机事件发生的可能性介于两者之间，因此整体概率的取值范围在0到1之间（包含端点）。答题时先表述定义，再说明取值范围及特殊事件对应的概率值即可。
【解析】
1. 概率的定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。
2. 概率的取值范围推导：不可能事件是确定不会发生的事件，其发生的概率为0；必然事件是确定一定会发生的事件，其发生的概率为1；随机事件的发生可能性介于不可能事件和必然事件之间，因此其概率介于0和1之间。综上可得概率的取值范围是0≤P(A)≤1。
【答案】
一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。概率的取值范围是0≤P(A)≤1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
【知识点】
概率的定义；概率的取值范围
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对概率核心基础概念的识记和理解，是学习概率相关计算、应用的必备基础，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查概率的基础定义与取值范围，解题时首先回忆概率的定义：概率是用来描述随机事件发生可能性大小的量；再结合不同类型事件的发生规律推导取值范围：不可能事件完全不会发生，对应概率为0，必然事件一定发生，对应概率为1，随机事件发生的可能性介于两者之间，因此整体概率的取值范围在0到1之间（包含端点）。答题时先表述定义，再说明取值范围及特殊事件对应的概率值即可。
【解析】
1. 概率的定义：一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。
2. 概率的取值范围推导：不可能事件是确定不会发生的事件，其发生的概率为0；必然事件是确定一定会发生的事件，其发生的概率为1；随机事件的发生可能性介于不可能事件和必然事件之间，因此其概率介于0和1之间。综上可得概率的取值范围是0≤P(A)≤1。
【答案】
一般地，对于随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A)。概率的取值范围是0≤P(A)≤1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。
【知识点】
概率的定义；概率的取值范围
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对概率核心基础概念的识记和理解，是学习概率相关计算、应用的必备基础，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 列举法求概率的条件、方法是什么？
答案
条件：一次试验出现的结果总数是有限的，且每种结果发生的可能性大小相等。常用方法有直接列举法、列表法、画树状图法。
解析
【分析】
这道题考查列举法求概率的基础理论，思考时可从列举法的应用逻辑出发：首先要完整罗列所有试验结果，必然要求试验总结果数是可计数的，也就是有限个；其次“符合条件的结果数÷总结果数”的概率计算逻辑，建立在每个结果出现概率相等的前提下，不然不能直接用个数比计算概率。而列举方法可根据试验复杂程度区分：结果少直接罗列，两个维度的因素用列表更清晰，多步/多个因素用树状图不易遗漏。
【解析】
先明确列举法求概率的适用条件：
1. 一次试验中所有可能出现的结果总数是有限的；
2. 每种结果发生的可能性大小相等。
对应常用列举方法如下：
1. 直接列举法：适合试验步骤少、总结果数量少的场景；
2. 列表法：适合试验涉及两个独立因素、结果数较多的场景；
3. 画树状图法：适合试验涉及3个及以上因素、或是多步试验的场景。
【答案】
条件：一次试验出现的结果总数是有限的，且每种结果发生的可能性大小相等。常用方法有直接列举法、列表法、画树状图法。
【知识点】
1. 古典概型特征
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是运用列举法计算概率的必备基础知识，只有准确掌握适用条件才能正确选择合适的列举方法，避免后续解题出现方法误用的问题。
【难度系数】
0.9
这道题考查列举法求概率的基础理论，思考时可从列举法的应用逻辑出发：首先要完整罗列所有试验结果，必然要求试验总结果数是可计数的，也就是有限个；其次“符合条件的结果数÷总结果数”的概率计算逻辑，建立在每个结果出现概率相等的前提下，不然不能直接用个数比计算概率。而列举方法可根据试验复杂程度区分：结果少直接罗列，两个维度的因素用列表更清晰，多步/多个因素用树状图不易遗漏。
【解析】
先明确列举法求概率的适用条件：
1. 一次试验中所有可能出现的结果总数是有限的；
2. 每种结果发生的可能性大小相等。
对应常用列举方法如下：
1. 直接列举法：适合试验步骤少、总结果数量少的场景；
2. 列表法：适合试验涉及两个独立因素、结果数较多的场景；
3. 画树状图法：适合试验涉及3个及以上因素、或是多步试验的场景。
【答案】
条件：一次试验出现的结果总数是有限的，且每种结果发生的可能性大小相等。常用方法有直接列举法、列表法、画树状图法。
【知识点】
1. 古典概型特征
2. 列举法求概率
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是运用列举法计算概率的必备基础知识，只有准确掌握适用条件才能正确选择合适的列举方法，避免后续解题出现方法误用的问题。
【难度系数】
0.9
3. 当试验中所有可能的结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们怎么求概率？
答案
我们可以通过大量的重复试验，统计该事件发生的频率，用频率去估计它的概率。
解析
【分析】
我们首先要明确求概率的两类适用场景：如果试验满足“所有可能结果有限、每种结果发生的可能性相等”的条件，属于古典概型，可以用公式直接计算概率。本题给出的是不满足上述两个条件的场景，此时要想到频率和概率的关系：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，因此可以通过统计频率来估算概率。
【解析】
古典概型求概率的前提是试验所有可能结果为有限个，且各种可能结果发生的可能性相等，若不满足这两个前提，就无法用古典概型的公式计算概率。此时我们可以开展大量的重复试验，统计该事件发生的频率，当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在固定数值附近，我们就可以用这个稳定的频率值来估计该事件的概率。
【答案】
我们可以通过大量的重复试验，统计该事件发生的频率，用频率去估计它的概率。
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查不同场景下概率的求解方法，属于基础概念类题目，只要区分清楚不同概率计算方法的适用条件，掌握用频率估计概率的相关知识就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
我们首先要明确求概率的两类适用场景：如果试验满足“所有可能结果有限、每种结果发生的可能性相等”的条件，属于古典概型，可以用公式直接计算概率。本题给出的是不满足上述两个条件的场景，此时要想到频率和概率的关系：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，因此可以通过统计频率来估算概率。
【解析】
古典概型求概率的前提是试验所有可能结果为有限个，且各种可能结果发生的可能性相等，若不满足这两个前提，就无法用古典概型的公式计算概率。此时我们可以开展大量的重复试验，统计该事件发生的频率，当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在固定数值附近，我们就可以用这个稳定的频率值来估计该事件的概率。
【答案】
我们可以通过大量的重复试验，统计该事件发生的频率，用频率去估计它的概率。
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查不同场景下概率的求解方法，属于基础概念类题目，只要区分清楚不同概率计算方法的适用条件，掌握用频率估计概率的相关知识就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 阅读教材第117—122页的内容，并标出你认为重点的内容.
答案
解：
本节重点内容标注如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
本节重点内容标注如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
解析
【分析】
本题是教材内容梳理类题目，解题时首先通读教材第117—122页的全部内容，梳理本小节的知识框架，可从核心定义、概念辨析、方法原理、适用范围、实际应用几个维度出发，逐一标记对应的重点内容，最后整理汇总即可。
【解析】
第一步：通读教材第117—122页“用频率估计概率”的全部内容，阅读过程中标记出核心概念、规律、适用场景、应用类的关键内容；
第二步：将标记的重点内容按类别整理，最终得到本节重点内容如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
【答案】
本节重点内容标注如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
【知识点】
用频率估计概率、频率与概率的关系、频率估计概率的应用
【点评】
本题侧重引导学生回归课本梳理基础内容，能够帮助学生系统掌握用频率估计概率的相关核心知识，为后续运用该方法解决各类实际问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题是教材内容梳理类题目，解题时首先通读教材第117—122页的全部内容，梳理本小节的知识框架，可从核心定义、概念辨析、方法原理、适用范围、实际应用几个维度出发，逐一标记对应的重点内容，最后整理汇总即可。
【解析】
第一步：通读教材第117—122页“用频率估计概率”的全部内容，阅读过程中标记出核心概念、规律、适用场景、应用类的关键内容；
第二步：将标记的重点内容按类别整理，最终得到本节重点内容如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
【答案】
本节重点内容标注如下：
1. 用频率估计概率的定义：在大量重复随机试验中，事件A发生的频率$\frac{m}{n}$会稳定在某个固定常数附近，我们就用这个常数来表示事件A发生的概率，即$P(A)=$该常数。
2. 频率与概率的区别：频率是随试验次数变化的量，是某次试验中事件实际发生的比例；概率是随机事件本身的固有属性，是固定不变的常数。
3. 频率与概率的联系：当重复试验的次数足够多时，事件发生的频率会逐渐趋近于事件的概率，此时可以用频率的稳定值估计概率。
4. 方法适用范围：无法用列举法直接计算概率的随机事件，都可以通过大量重复试验，用频率估计其概率。
5. 实际应用：可以利用用频率估计概率的思路，解决估算种群数量、估算不规则图形面积等实际问题。
【知识点】
用频率估计概率、频率与概率的关系、频率估计概率的应用
【点评】
本题侧重引导学生回归课本梳理基础内容，能够帮助学生系统掌握用频率估计概率的相关核心知识，为后续运用该方法解决各类实际问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
1. 试验探究:掷硬币试验.
(1) 分组抛掷一枚均匀硬币500次,每隔100次记录“正面朝上”的次数,并算出“正面朝上”的频率,完成下表:
(2) 根据上表的数据,在下图中标出对应的点.
(3) 在画出的图中,用红笔画出表示频率为0.5的直线,你发现了什么?
(4) 下表中有历史上一些数学家所做掷硬币试验的数据,这些数据支持你发现的规律吗?
(1) 分组抛掷一枚均匀硬币500次,每隔100次记录“正面朝上”的次数,并算出“正面朝上”的频率,完成下表:
(2) 根据上表的数据,在下图中标出对应的点.
(3) 在画出的图中,用红笔画出表示频率为0.5的直线,你发现了什么?
(4) 下表中有历史上一些数学家所做掷硬币试验的数据,这些数据支持你发现的规律吗?
答案
解：
(1) 合理试验的填写结果示例如下：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
注：频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果。
(2) 在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 这些数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
(1) 合理试验的填写结果示例如下：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
注：频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果。
(2) 在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 这些数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
解析
【分析】
本题围绕掷硬币试验考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：①第(1)问：明确频数是试验中“正面朝上”的实际出现次数，数值符合均匀硬币抛掷的合理范围即可，频率可通过公式“频率=频数÷总抛掷次数”计算；②第(2)问：确定坐标系横轴为抛掷次数n，纵轴为对应“正面朝上”的频率，将每组(n,频率)作为坐标点依次描出即可；③第(3)问：结合频率的稳定性规律，观察描出的点和0.5直线的位置关系，总结随着抛掷次数增加频率的变化趋势；④第(4)问：将数学家的大样本试验数据和总结的规律对比，判断是否符合频率稳定于概率的特征即可。
【解析】
(1) 频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果，填写示例如：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
(2) 以抛掷次数为横坐标，对应“正面朝上”的频率为纵坐标，在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 画出频率为0.5的直线后可发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 历史上数学家的试验数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
【答案】
(1) 合理试验的填写结果示例如下：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
注：频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果。
(2) 在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 这些数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
【知识点】
频率的计算、频率的稳定性、用频率估计概率
【点评】
本题结合动手试验和历史数据，引导学生自主探究频率与概率的关系，既考验学生的实践操作、数据计算能力，也注重对规律总结、验证能力的考查，有助于直观理解频率估计概率的原理。
【难度系数】
0.8
本题围绕掷硬币试验考查用频率估计概率的相关知识，解题思路如下：①第(1)问：明确频数是试验中“正面朝上”的实际出现次数，数值符合均匀硬币抛掷的合理范围即可，频率可通过公式“频率=频数÷总抛掷次数”计算；②第(2)问：确定坐标系横轴为抛掷次数n，纵轴为对应“正面朝上”的频率，将每组(n,频率)作为坐标点依次描出即可；③第(3)问：结合频率的稳定性规律，观察描出的点和0.5直线的位置关系，总结随着抛掷次数增加频率的变化趋势；④第(4)问：将数学家的大样本试验数据和总结的规律对比，判断是否符合频率稳定于概率的特征即可。
【解析】
(1) 频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果，填写示例如：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
(2) 以抛掷次数为横坐标，对应“正面朝上”的频率为纵坐标，在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 画出频率为0.5的直线后可发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 历史上数学家的试验数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
【答案】
(1) 合理试验的填写结果示例如下：
| 抛掷次数$n$ | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
| ----------- | --- | ---- | ---- | --- | ---- |
| “正面朝上”的频数$m$ | 52 | 103 | 151 | 204 | 248 |
| “正面朝上”的频率$\frac{m}{n}$ | 0.52 | 0.515 | 0.503 | 0.51 | 0.496 |
注：频数为实际试验得到的合理数值即可，对应频率为对应频数除以抛掷次数的计算结果。
(2) 在坐标系中依次描出点$(100, 0.52)$、$(200, 0.515)$、$(300, 0.503)$、$(400, 0.51)$、$(500, 0.496)$即可。
(3) 发现：随着抛掷次数的增加，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.5这条直线附近，仅在0.5附近小幅波动。
(4) 这些数据支持上述规律：随着抛掷次数不断增大，所有试验得到的“正面朝上”的频率都越来越接近0.5，在0.5附近摆动，符合大量重复试验下频率的稳定性规律，验证了之前的发现。
【知识点】
频率的计算、频率的稳定性、用频率估计概率
【点评】
本题结合动手试验和历史数据，引导学生自主探究频率与概率的关系，既考验学生的实践操作、数据计算能力，也注重对规律总结、验证能力的考查，有助于直观理解频率估计概率的原理。
【难度系数】
0.8
