4.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的情况发生的概率是.

4. $\frac{1}{8}$

【分析】
解决这道题首先要明确每个路口遇到红、绿灯属于等可能事件，二者概率均为$\frac{1}{2}$，且三个路口的红绿灯出现情况相互独立、互不影响。我们可以先列举出经过三个路口所有等可能的结果总数，再找出三个路口都是绿灯的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率；也可以直接将每个路口遇到绿灯的概率相乘，得到三个路口全为绿灯的概率。
【解析】
方法一：用等可能事件概率公式计算
每个路口有红灯、绿灯2种等可能的情况，经过三个路口总的等可能结果总数为$2×2×2=8$种，其中三个路口都是绿灯的结果只有1种，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}$，可得所求概率为$\frac{1}{8}$。
方法二：用独立事件概率计算
每个路口遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}$，三个路口的红绿灯事件相互独立，因此三个路口都遇到绿灯的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
等可能事件概率计算，树状图法求概率，独立事件概率
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是明确事件的等可能性和独立性，既可以通过列举法梳理所有情况，也可以直接用概率乘法快速求解，基础扎实即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

5. 甲、乙两盒中分别放入编号为1,2,3,4的形状相同的4个小球,从甲盒中任意摸出一球,再从乙盒中任意摸出一球,将两球编号数相加得到一个数,则得到数的概率最大.

5. 5

【分析】
要判断哪个和的概率最大，首先明确这是古典概型问题，所有摸球结果都是等可能的。解题思路为：先算出从两盒各摸一球的总等可能结果数，再用列举法列出所有两球编号相加的和，统计每个和的出现次数，出现次数最多的和对应的概率就最大。
【解析】
从甲盒、乙盒各任意摸出1球，所有等可能的结果共有 $ 4 × 4 = 16 $ 种，列出所有两球编号相加的结果：
1. 甲盒摸出1时，和依次为：$1+1=2$，$1+2=3$，$1+3=4$，$1+4=5$
2. 甲盒摸出2时，和依次为：$2+1=3$，$2+2=4$，$2+3=5$，$2+4=6$
3. 甲盒摸出3时，和依次为：$3+1=4$，$3+2=5$，$3+3=6$，$3+4=7$
4. 甲盒摸出4时，和依次为：$4+1=5$，$4+2=6$，$4+3=7$，$4+4=8$
统计各和的出现次数：和为2出现1次，和为3出现2次，和为4出现3次，和为5出现4次，和为6出现3次，和为7出现2次，和为8出现1次。
因为和为5出现的次数最多，所以得到数5的概率最大。
【答案】
5
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 古典概型
3. 可能性大小判断
【点评】
本题属于概率基础题，核心是通过列举所有等可能的结果，统计目标事件的发生次数来判断概率大小，解题时要注意有序列举，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.8

6. 在体育课上,小明、小强、小华三人在学习踢足球,足球从一人传到另一人就记为踢一次.
(1) 如果从小强开始踢,经过两次踢球后,足球踢到了小华处的概率是多少?(用树状图表示或列表说明)
(2) 如果踢三次后,足球踢到了小明处的可能性最小,应从谁开始踢?请说明理由.

6. 解:(1)$P($踢到小华处$) = \frac{1}{4}$；
(2) 应从小明开始踢. 理由如下:若从小明开始踢,则画树状图如下：

$\therefore P_1($踢到小明处$) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
同理,若从小强开始踢,则$P_2($踢到小明处$) = \frac{3}{8}$；若从小华开始踢,则$P_3($踢到小明处$) = \frac{3}{8}$.
$\because \frac{1}{4} ＜ \frac{3}{8}$,$\therefore$ 应从小明开始踢.

【分析】
(1) 解决第一问时，首先明确传球规则：每次只能传给另外两人，不能传给自己，所有传球结果是等可能的。我们可以通过画树状图或列表的方式，枚举出从小强开始踢两次的所有等可能结果，再统计其中足球踢到小华处的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
(2) 解决第二问时，因为要找到“踢三次后到小明处可能性最小”的起始人，所以我们可以分别假设从小明、小强、小华开始踢，用树状图分别列举出踢三次的所有等可能结果，分别计算三种情况下足球到小明处的概率，再比较三个概率的大小，概率最小对应的起始人就是答案。
【解析】
(1) 从小强开始踢，两次传球共有4种等可能的结果：小强→小明→小强、小强→小明→小华、小强→小华→小强、小强→小华→小明，其中经过两次踢球后足球踢到小华处的结果有1种，根据概率公式可得对应概率。
(2) 分别计算从三人作为起始点传球三次后，足球到小明处的概率：
①若从小明开始踢，传球三次共有8种等可能结果，其中到小明处的结果有2种，对应概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
②若从小强开始踢，传球三次共有8种等可能结果，其中到小明处的结果有3种，对应概率为$\frac{3}{8}$；
③若从小华开始踢，传球三次的情况与从小强开始踢对称，到小明处的概率也为$\frac{3}{8}$。
比较三个概率的大小，即可得出结论。
【答案】
(1)$P($踢到小华处$) = \frac{1}{4}$；
(2) 应从小明开始踢。理由如下:若从小明开始踢,则画树状图如下：

$\therefore P_1($踢到小明处$) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
同理,若从小强开始踢,则$P_2($踢到小明处$) = \frac{3}{8}$；若从小华开始踢,则$P_3($踢到小明处$) = \frac{3}{8}$.
$\because \frac{1}{4} ＜ \frac{3}{8}$,$\therefore$ 应从小明开始踢.
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的传球场景考查概率的计算与应用，解题的核心是利用树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，再结合概率公式求解，需要注意传球时不能传给自己的隐含限制，第二问通过分类讨论分别计算概率再比较大小即可得出结论。
【难度系数】
0.7

7.（2024·苏州）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀.

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表的方法说明理由）

7. (1) $\frac{1}{4}$；(2) 画图略，$\frac{1}{6}$

【分析】
（1）本题为简单概率计算问题，首先明确所有等可能的结果总数：任意抽取1张书签，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果仅1种，直接代入古典概型的概率公式即可求解。
（2）本题为不放回抽样的概率计算问题，需通过列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的抽取结果，再筛选出“1张为‘春’、1张为‘秋’”的符合条件的结果，最后代入概率公式计算即可。注意第一张书签不放回，因此第二次抽取时仅剩余3种可选结果，不要和放回抽样混淆。
【解析】
（1）4张书签除图案外完全相同，任意抽取1张时，共有4种等可能的结果，其中抽到“夏”的结果有1种，因此恰好抽到“夏”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）将“春”“夏”“秋”“冬”四张书签分别记为A、B、C、D，根据不放回抽取的规则列表如下：
| 第一次\第二次 | A | B | C | D |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | (A,B) | (A,C) | (A,D) |
| B | (B,A) | - | (B,C) | (B,D) |
| C | (C,A) | (C,B) | - | (C,D) |
| D | (D,A) | (D,B) | (D,C) | - |
由表格可知，共有12种等可能的抽取结果，其中恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果共2种，分别为(A,C)和(C,A)，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
（也可通过画树状图的方法枚举所有结果，计算结果一致）
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
1. 古典概型概率计算
2. 列表法求概率
3. 不放回抽样概率
【点评】
本题是概率模块的基础常规题，第一问直接考查概率公式的简单应用，第二问重点考查枚举法（列表/树状图）在不放回事件中的应用，解题时需注意区分放回和不放回的规则差异，避免出现计数错误，掌握基础方法即可顺利得分。
【难度系数】
0.7