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1. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.五月初五早上,奶奶为小明准备了四个粽子:一个肉馅、一个花生馅、两个红枣馅.四个粽子除内部馅料不同外其他一切均相同.小明喜欢吃红枣馅的粽子.请用树状图预测一下小明吃两个粽子刚好都是红枣馅的概率.
答案
设肉馅粽子为A，花生馅粽子为B，两个红枣馅粽子为$C_1$、$C_2$，画树状图可得所有等可能的结果共12种，其中两个粽子都是红枣馅的结果有2种，因此$P(两个粽子刚好都是红枣馅)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确这是不放回抽取两个粽子的等可能概率问题。第一步需要给不同粽子标记代号，尤其两个红枣馅粽子是独立个体，需分别标记避免计数错误；第二步通过画树状图列举出所有等可能的抽取结果；第三步统计出两个粽子都是红枣馅的符合条件的结果数；最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算所求概率即可。
【解析】
解：设肉馅粽子为A，花生馅粽子为B，两个红枣馅粽子为$C_1$、$C_2$，抽取两个粽子属于不放回抽样，通过树状图列举所有等可能结果：
第一次抽取共有4种等可能的结果：A、B、$C_1$、$C_2$；
对应第一次的每一种结果，第二次抽取各有3种等可能的结果，因此所有等可能的结果共$4×3=12$种；
其中两个粽子都是红枣馅的结果为：$(C_1,C_2)$、$(C_2,C_1)$，共2种；
根据概率公式可得：
$P(两个粽子刚好都是红枣馅)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法求概率、概率计算公式、不放回抽样概率
【点评】
本题结合传统节日的生活场景考查概率计算，解题的关键是对同馅料的不同粽子进行区分标记，避免计数时出现遗漏或重复，同时要注意不放回抽取的特征，即第二次抽取的可选总数比第一次少1。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确这是不放回抽取两个粽子的等可能概率问题。第一步需要给不同粽子标记代号，尤其两个红枣馅粽子是独立个体，需分别标记避免计数错误；第二步通过画树状图列举出所有等可能的抽取结果；第三步统计出两个粽子都是红枣馅的符合条件的结果数；最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算所求概率即可。
【解析】
解：设肉馅粽子为A，花生馅粽子为B，两个红枣馅粽子为$C_1$、$C_2$，抽取两个粽子属于不放回抽样，通过树状图列举所有等可能结果：
第一次抽取共有4种等可能的结果：A、B、$C_1$、$C_2$；
对应第一次的每一种结果，第二次抽取各有3种等可能的结果，因此所有等可能的结果共$4×3=12$种；
其中两个粽子都是红枣馅的结果为：$(C_1,C_2)$、$(C_2,C_1)$，共2种；
根据概率公式可得：
$P(两个粽子刚好都是红枣馅)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
树状图法求概率、概率计算公式、不放回抽样概率
【点评】
本题结合传统节日的生活场景考查概率计算，解题的关键是对同馅料的不同粽子进行区分标记，避免计数时出现遗漏或重复，同时要注意不放回抽取的特征，即第二次抽取的可选总数比第一次少1。
【难度系数】
0.7
2. 通过化学学习我们知道,混合物和纯净物是物质存在的两种基本形态,性质和组成差异较大.为了加深对纯净物和混合物的理解,化学兴趣小组的玥玥和琪琪两名同学做了如下游戏:将一个可自由转动的转盘平均分成5个相等的扇形,并分别标上A.干冰、B.碘酒、C.海水、D.甲烷、E.生铁,如图所示.每名同学转动一次转盘,转盘停止后,判断指针所指扇形对应的物质属于纯净物还是混合物(若指针刚好落在分割线上,则重新转动转盘,直到指针指向某一扇形为止;这5种物质中,纯净物有干冰和甲烷,混合物有碘酒、海水和生铁).
(1)“玥玥转动一次转盘,转盘停止后指针指向B.碘酒”是
(2)若玥玥和琪琪各自转动一次转盘,且他们对每一种物质的基本形态判断均正确,请用列表法或画树状图的方法求玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的概率.
(1)“玥玥转动一次转盘,转盘停止后指针指向B.碘酒”是
随机
事件;(填“必然”或“随机”或“不可能”)(2)若玥玥和琪琪各自转动一次转盘,且他们对每一种物质的基本形态判断均正确,请用列表法或画树状图的方法求玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的概率.
答案
2. (1) 随机
(2) 用列表法列出所有等可能结果共25种，其中玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的结果有9种，因此所求概率为$\frac{9}{25}$。
(2) 用列表法列出所有等可能结果共25种，其中玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的结果有9种，因此所求概率为$\frac{9}{25}$。
解析
【分析】
(1) 首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。转动转盘时指针可指向5个扇形中的任意一个，指向B碘酒是可能发生也可能不发生的，据此可判断事件类型。
(2) 计算概率首先要确定总等可能结果数：两人各转动一次转盘，每人都有5种等可能的结果，因此总共有$5×5=25$种等可能结果；再确定符合条件的结果数：题目明确混合物共有3种，两人都选中混合物的情况有$3×3=9$种，最后根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算即可。
【解析】
(1) 玥玥转动一次转盘，指针可能指向A、B、C、D、E任意一个扇形，指向B碘酒是可能发生也可能不发生的事件，因此属于随机事件。
(2) 我们将3种混合物记为混₁、混₂、混₃，2种纯净物记为纯₁、纯₂，列表如下：
| 玥玥\琪琪 | 混₁ | 混₂ | 混₃ | 纯₁ | 纯₂ |
|-----------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 混₁ | （混₁,混₁） | （混₁,混₂） | （混₁,混₃） | （混₁,纯₁） | （混₁,纯₂） |
| 混₂ | （混₂,混₁） | （混₂,混₂） | （混₂,混₃） | （混₂,纯₁） | （混₂,纯₂） |
| 混₃ | （混₃,混₁） | （混₃,混₂） | （混₃,混₃） | （混₃,纯₁） | （混₃,纯₂） |
| 纯₁ | （纯₁,混₁） | （纯₁,混₂） | （纯₁,混₃） | （纯₁,纯₁） | （纯₁,纯₂） |
| 纯₂ | （纯₂,混₁） | （纯₂,混₂） | （纯₂,混₃） | （纯₂,纯₁） | （纯₂,纯₂） |
由表可知，共有25种等可能的结果，其中玥玥和琪琪判断结果都是混合物的结果有9种，因此所求概率$P=\frac{9}{25}$。
【答案】
(1) 随机
(2) $\frac{9}{25}$
【知识点】
事件的分类；列表法求概率
【点评】
本题结合化学中物质分类的常识考查概率相关内容，难度适中，解题时要注意列举所有等可能结果时做到不重不漏，准确区分事件类型、牢记概率计算公式即可正确求解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确三类事件的定义：必然事件是一定发生的事件，不可能事件是一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。转动转盘时指针可指向5个扇形中的任意一个，指向B碘酒是可能发生也可能不发生的，据此可判断事件类型。
(2) 计算概率首先要确定总等可能结果数：两人各转动一次转盘，每人都有5种等可能的结果，因此总共有$5×5=25$种等可能结果；再确定符合条件的结果数：题目明确混合物共有3种，两人都选中混合物的情况有$3×3=9$种，最后根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算即可。
【解析】
(1) 玥玥转动一次转盘，指针可能指向A、B、C、D、E任意一个扇形，指向B碘酒是可能发生也可能不发生的事件，因此属于随机事件。
(2) 我们将3种混合物记为混₁、混₂、混₃，2种纯净物记为纯₁、纯₂，列表如下：
| 玥玥\琪琪 | 混₁ | 混₂ | 混₃ | 纯₁ | 纯₂ |
|-----------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 混₁ | （混₁,混₁） | （混₁,混₂） | （混₁,混₃） | （混₁,纯₁） | （混₁,纯₂） |
| 混₂ | （混₂,混₁） | （混₂,混₂） | （混₂,混₃） | （混₂,纯₁） | （混₂,纯₂） |
| 混₃ | （混₃,混₁） | （混₃,混₂） | （混₃,混₃） | （混₃,纯₁） | （混₃,纯₂） |
| 纯₁ | （纯₁,混₁） | （纯₁,混₂） | （纯₁,混₃） | （纯₁,纯₁） | （纯₁,纯₂） |
| 纯₂ | （纯₂,混₁） | （纯₂,混₂） | （纯₂,混₃） | （纯₂,纯₁） | （纯₂,纯₂） |
由表可知，共有25种等可能的结果，其中玥玥和琪琪判断结果都是混合物的结果有9种，因此所求概率$P=\frac{9}{25}$。
【答案】
(1) 随机
(2) $\frac{9}{25}$
【知识点】
事件的分类；列表法求概率
【点评】
本题结合化学中物质分类的常识考查概率相关内容，难度适中，解题时要注意列举所有等可能结果时做到不重不漏，准确区分事件类型、牢记概率计算公式即可正确求解。
【难度系数】
0.7
1. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每名同学只能从中随机选择一个岗位进行体验，甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$
A
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{16}$
答案
1. A
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算题，解题核心思路是利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”求解。首先梳理总结果：甲、乙两名同学各有4个岗位可选，两人选择互相独立，因此总共有4×4=16种等可能的结果；再梳理符合条件的结果：两人恰好在同一岗位的情况，即两人同时选择四个岗位中的任意同一个，共4种结果；最后代入概率公式即可算出结果。也可简化思考：先确定甲的岗位，乙要和甲同岗位，只需在4个岗位中选甲选的那1个，直接可得概率为$\frac{1}{4}$。
【解析】
设四个岗位分别记为A、B、C、D。
甲选岗位有4种可选结果，对应甲的每一种选择，乙同样有4种可选结果，因此所有等可能的总结果数为$4×4=16$种。
其中两名同学恰好在同一岗位的结果有：(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两人同岗位})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础常见题型，考查等可能事件的概率计算，解题关键是准确计数总结果数和符合要求的结果数，既可以通过完整列举所有情况求解，也可以通过分步分析简化计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能事件的概率计算题，解题核心思路是利用“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”求解。首先梳理总结果：甲、乙两名同学各有4个岗位可选，两人选择互相独立，因此总共有4×4=16种等可能的结果；再梳理符合条件的结果：两人恰好在同一岗位的情况，即两人同时选择四个岗位中的任意同一个，共4种结果；最后代入概率公式即可算出结果。也可简化思考：先确定甲的岗位，乙要和甲同岗位，只需在4个岗位中选甲选的那1个，直接可得概率为$\frac{1}{4}$。
【解析】
设四个岗位分别记为A、B、C、D。
甲选岗位有4种可选结果，对应甲的每一种选择，乙同样有4种可选结果，因此所有等可能的总结果数为$4×4=16$种。
其中两名同学恰好在同一岗位的结果有：(A,A)、(B,B)、(C,C)、(D,D)，共4种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两人同岗位})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础常见题型，考查等可能事件的概率计算，解题关键是准确计数总结果数和符合要求的结果数，既可以通过完整列举所有情况求解，也可以通过分步分析简化计算，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两名同学相约打乒乓球，现有款式完全相同的4个乒乓球拍，分别记为A,B,C,D，如果甲同学先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，那么乙同学选中C号球拍的概率是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{7}{12}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{7}{12}$
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道不放回抽取的概率计算题，解题思路如下：首先明确试验是甲先从4个球拍中随机选1个，乙再从剩余3个中选1个，所有抽取结果都是等可能的。我们可以通过两种方法求解：一是列举出所有甲乙抽取的等可能组合，统计出乙选中C的组合数，再用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算；二是分步计算，先算甲没选到C的概率，再算此时乙选到C的概率，两者相乘即为最终概率。
【解析】
方法一：列举法
甲先选有4种可能，每种甲的选择对应乙有3种选择，总共有$4 × 3=12$种等可能的抽取结果，分别为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)。
其中乙选中C的结果有(A,C)、(B,C)、(D,C)，共3种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{乙选中C})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
方法二：分步概率法
要让乙选中C，首先甲不能选中C：甲从4个球拍中抽取，不选C的概率为$\frac{3}{4}$；
此时剩余3个球拍包含C，乙从3个中选中C的概率为$\frac{1}{3}$；
因此总概率为$\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，不放回抽样概率
【点评】
本题属于概率基础题，易错点是容易忽略甲可能先抽走C的情况，直接误以为剩余3个球拍乙抽中C的概率是$\frac{1}{3}$。解题时通过列举所有结果可以有效避免这类错误，也可记住：抽签类不放回抽取中，每个参与者抽到目标对象的概率与抽取顺序无关。
【难度系数】
0.7
这是一道不放回抽取的概率计算题，解题思路如下：首先明确试验是甲先从4个球拍中随机选1个，乙再从剩余3个中选1个，所有抽取结果都是等可能的。我们可以通过两种方法求解：一是列举出所有甲乙抽取的等可能组合，统计出乙选中C的组合数，再用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算；二是分步计算，先算甲没选到C的概率，再算此时乙选到C的概率，两者相乘即为最终概率。
【解析】
方法一：列举法
甲先选有4种可能，每种甲的选择对应乙有3种选择，总共有$4 × 3=12$种等可能的抽取结果，分别为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,A)、(B,C)、(B,D)、(C,A)、(C,B)、(C,D)、(D,A)、(D,B)、(D,C)。
其中乙选中C的结果有(A,C)、(B,C)、(D,C)，共3种。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{乙选中C})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
方法二：分步概率法
要让乙选中C，首先甲不能选中C：甲从4个球拍中抽取，不选C的概率为$\frac{3}{4}$；
此时剩余3个球拍包含C，乙从3个中选中C的概率为$\frac{1}{3}$；
因此总概率为$\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
等可能事件概率计算，不放回抽样概率
【点评】
本题属于概率基础题，易错点是容易忽略甲可能先抽走C的情况，直接误以为剩余3个球拍乙抽中C的概率是$\frac{1}{3}$。解题时通过列举所有结果可以有效避免这类错误，也可记住：抽签类不放回抽取中，每个参与者抽到目标对象的概率与抽取顺序无关。
【难度系数】
0.7
3.现有A,B两枚质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6).小王掷A,朝上的数字记作x;小张掷B,朝上的数字记作y.在平面直角坐标系中有一个矩形,四个顶点的坐标分别为(0,0),(6,0),(6,4)和(0,4).小王、小张各掷一次,所确定的点P(x,y)落在矩形内(不含矩形的边)的概率是(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{7}{12}$
B
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{7}{12}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是概率与平面直角坐标系结合的题目，解题思路如下：首先明确这是两步试验的概率问题，两枚骰子掷出的结果相互独立，先计算所有等可能的总结果数；再根据“点落在矩形内（不含边）”的要求，推导x、y的取值范围，统计符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：小王掷A骰子，x可取1、2、3、4、5、6共6种结果，小张掷B骰子，y可取1、2、3、4、5、6共6种结果，因此点P(x,y)的总等可能结果数为$6×6=36$种。
2. 推导符合条件的x、y范围：点落在矩形内（不含边）满足$0＜x＜6$且$0＜y＜4$，x、y均为正整数，因此x可取1、2、3、4、5共5个值，y可取1、2、3共3个值。
3. 计算符合条件的结果数：共$5×3=15$种。
4. 计算概率：根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率公式应用
2. 点的坐标特征
3. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率综合基础题，将坐标位置判定和概率计算结合，易错点是忽略“不含矩形的边”的限制，误将x=6、y=4计入符合条件的情况，解题时需仔细审题明确限制条件。
【难度系数】
0.6
本题是概率与平面直角坐标系结合的题目，解题思路如下：首先明确这是两步试验的概率问题，两枚骰子掷出的结果相互独立，先计算所有等可能的总结果数；再根据“点落在矩形内（不含边）”的要求，推导x、y的取值范围，统计符合条件的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到概率。
【解析】
1. 计算总等可能结果数：小王掷A骰子，x可取1、2、3、4、5、6共6种结果，小张掷B骰子，y可取1、2、3、4、5、6共6种结果，因此点P(x,y)的总等可能结果数为$6×6=36$种。
2. 推导符合条件的x、y范围：点落在矩形内（不含边）满足$0＜x＜6$且$0＜y＜4$，x、y均为正整数，因此x可取1、2、3、4、5共5个值，y可取1、2、3共3个值。
3. 计算符合条件的结果数：共$5×3=15$种。
4. 计算概率：根据概率公式，$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率公式应用
2. 点的坐标特征
3. 列举法求概率
【点评】
本题属于概率综合基础题，将坐标位置判定和概率计算结合，易错点是忽略“不含矩形的边”的限制，误将x=6、y=4计入符合条件的情况，解题时需仔细审题明确限制条件。
【难度系数】
0.6
