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例1 如图1,会议室还余有4个空座位,编号分别为1,2,3,5,甲、乙、丙三人同时进入会议室,每人随机选择一个未被占据的座位坐下.
(1) 求甲坐在奇数座位号的概率;
(2) 若甲没有坐到3号座位,佳佳用画树状图法求丙坐到3号座位的概率,树状图的部分图形如图2,请你补全树状图,并求丙坐到3号座位的概率.
(1) 求甲坐在奇数座位号的概率;
(2) 若甲没有坐到3号座位,佳佳用画树状图法求丙坐到3号座位的概率,树状图的部分图形如图2,请你补全树状图,并求丙坐到3号座位的概率.
答案
(1) 4个座位中奇数号座位为1、3、5共3个，甲随机选一个座位，所有等可能结果共4种，因此$P(甲坐在奇数座位号)=\frac{3}{4}$。
(2) 补全树状图见[图1]，甲不坐3号，甲可选座位为1、2、5共3种，后续乙、丙选剩余座位，所有等可能的结果共6种，其中丙坐到3号座位的结果有2种，因此$P(丙坐到3号座位)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 补全树状图见[图1]，甲不坐3号，甲可选座位为1、2、5共3种，后续乙、丙选剩余座位，所有等可能的结果共6种，其中丙坐到3号座位的结果有2种，因此$P(丙坐到3号座位)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 计算该概率需先明确甲选座位的所有等可能结果总数，再统计座位号为奇数的结果数，代入概率公式计算即可。
(2) 首先明确限制条件：甲不能选择3号座位，因此甲可选座位为1、2、5共3种。补全树状图时，按甲、乙、丙的选座顺序，依次列出每一步所有可选的剩余座位，再统计所有等可能的结果数和丙坐到3号座位的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知4个空座位编号为1、2、3、5，其中奇数座位号为1、3、5，共3个。
甲随机选择1个座位，所有等可能的结果共有4种，其中甲坐在奇数座位号的结果有3种，
根据概率公式可得：$P(\mathrm{甲坐在奇数座位号})=\frac{3}{4}$。
(2) 补全树状图：
从“开始”处出发，甲的分支为1、2、5三种：
① 甲选1时，剩余座位为2、3、5，乙的分支为2、3、5：
乙选2，剩余座位3、5，丙的分支为3、5；
乙选3，剩余座位2、5，丙的分支为2、5；
乙选5，剩余座位2、3，丙的分支为2、3。
② 甲选2时，剩余座位为1、3、5，乙的分支为1、3、5：
乙选1，剩余座位3、5，丙的分支为3、5；
乙选3，剩余座位1、5，丙的分支为1、5；
乙选5，剩余座位1、3，丙的分支为1、3。
③ 甲选5时，剩余座位为1、2、3，乙的分支为1、2、3：
乙选1，剩余座位2、3，丙的分支为2、3；
乙选2，剩余座位1、3，丙的分支为1、3；
乙选3，剩余座位1、2，丙的分支为1、2。
统计可得，甲不坐3号座位时，所有等可能的结果共6种，其中丙坐到3号座位的结果有2种，
因此$P(\mathrm{丙坐到3号座位})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 补全树状图见解析，丙坐到3号座位的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率公式应用
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确梳理限制条件，不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
(1) 计算该概率需先明确甲选座位的所有等可能结果总数，再统计座位号为奇数的结果数，代入概率公式计算即可。
(2) 首先明确限制条件：甲不能选择3号座位，因此甲可选座位为1、2、5共3种。补全树状图时，按甲、乙、丙的选座顺序，依次列出每一步所有可选的剩余座位，再统计所有等可能的结果数和丙坐到3号座位的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知4个空座位编号为1、2、3、5，其中奇数座位号为1、3、5，共3个。
甲随机选择1个座位，所有等可能的结果共有4种，其中甲坐在奇数座位号的结果有3种，
根据概率公式可得：$P(\mathrm{甲坐在奇数座位号})=\frac{3}{4}$。
(2) 补全树状图：
从“开始”处出发，甲的分支为1、2、5三种：
① 甲选1时，剩余座位为2、3、5，乙的分支为2、3、5：
乙选2，剩余座位3、5，丙的分支为3、5；
乙选3，剩余座位2、5，丙的分支为2、5；
乙选5，剩余座位2、3，丙的分支为2、3。
② 甲选2时，剩余座位为1、3、5，乙的分支为1、3、5：
乙选1，剩余座位3、5，丙的分支为3、5；
乙选3，剩余座位1、5，丙的分支为1、5；
乙选5，剩余座位1、3，丙的分支为1、3。
③ 甲选5时，剩余座位为1、2、3，乙的分支为1、2、3：
乙选1，剩余座位2、3，丙的分支为2、3；
乙选2，剩余座位1、3，丙的分支为1、3；
乙选3，剩余座位1、2，丙的分支为1、2。
统计可得，甲不坐3号座位时，所有等可能的结果共6种，其中丙坐到3号座位的结果有2种，
因此$P(\mathrm{丙坐到3号座位})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 补全树状图见解析，丙坐到3号座位的概率为$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 概率公式应用
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的关键是准确梳理限制条件，不重不漏地列举出所有等可能的情况，再结合概率公式求解即可。
【难度系数】
0.7
例2 某长途客运站每天6:30~7:30有开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同. 小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序. 两人采用不同的乘车方案:小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况，若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车. 若按这三辆车的舒适度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题:
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析，哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析，哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
答案
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有6种等可能的情况：(优,中,差)、(优,差,中)、(中,优,差)、(中,差,优)、(差,优,中)、(差,中,优)。
(2) 列表分析如下：
| 三车顺序 | 小张乘坐的车 | 小王乘坐的车 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优,中,差 | 优 | 差 |
| 优,差,中 | 优 | 中 |
| 中,优,差 | 中 | 优 |
| 中,差,优 | 中 | 优 |
| 差,优,中 | 差 | 优 |
| 差,中,优 | 差 | 中 |
小张乘坐优等车的情况共2种，因此$P(小张乘坐优等车)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；小王乘坐优等车的情况共3种，因此$P(小王乘坐优等车)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以小王的方案乘坐优等车的可能性更大。
(2) 列表分析如下：
| 三车顺序 | 小张乘坐的车 | 小王乘坐的车 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优,中,差 | 优 | 差 |
| 优,差,中 | 优 | 中 |
| 中,优,差 | 中 | 优 |
| 中,差,优 | 中 | 优 |
| 差,优,中 | 差 | 优 |
| 差,中,优 | 差 | 中 |
小张乘坐优等车的情况共2种，因此$P(小张乘坐优等车)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；小王乘坐优等车的情况共3种，因此$P(小王乘坐优等车)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以小王的方案乘坐优等车的可能性更大。
解析
【分析】
（1）求三辆车的先后顺序本质是对优、中、差三个不同等级做有序全排列，枚举时按照固定规则逐一罗列，保证不重复、不遗漏即可得到所有可能情况。（2）要比较两种方案乘坐优等车的可能性大小，需用古典概型计算对应概率：先列出所有等可能的发车顺序，再根据两人的乘车规则，对应找出每种顺序下两人分别乘坐的车辆，统计各自坐到优等车的情况数，用“符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）三辆车按出现的先后顺序为优、中、差的全排列，所有等可能的情况共6种，分别为：(优,中,差)、(优,差,中)、(中,优,差)、(中,差,优)、(差,优,中)、(差,中,优)。
（2）列表分析两种方案的乘车情况如下：
| 三车顺序 | 小张乘坐的车 | 小王乘坐的车 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优,中,差 | 优 | 差 |
| 优,差,中 | 优 | 中 |
| 中,优,差 | 中 | 优 |
| 中,差,优 | 中 | 优 |
| 差,优,中 | 差 | 优 |
| 差,中,优 | 差 | 中 |
总共有6种等可能的情况：
小张乘坐优等车的情况共2种，因此$P(小张乘坐优等车)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
小王乘坐优等车的情况共3种，因此$P(小王乘坐优等车)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性更大。
【答案】
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有6种等可能的情况：(优,中,差)、(优,差,中)、(中,优,差)、(中,差,优)、(差,优,中)、(差,中,优)。
(2) 小王的方案乘坐优等车的可能性更大。小张乘坐优等车的概率为$\frac{1}{3}$，小王乘坐优等车的概率为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，因此小王的方案更易坐到优等车。
【知识点】
列举法求概率、可能性大小比较、枚举排列
【点评】
本题结合生活实际乘车场景，考察概率知识在决策类问题中的应用，解题核心是枚举所有情况时做到不重不漏，准确统计目标事件的数量，能帮助学生理解概率对生活决策的指导意义。
【难度系数】
0.6
（1）求三辆车的先后顺序本质是对优、中、差三个不同等级做有序全排列，枚举时按照固定规则逐一罗列，保证不重复、不遗漏即可得到所有可能情况。（2）要比较两种方案乘坐优等车的可能性大小，需用古典概型计算对应概率：先列出所有等可能的发车顺序，再根据两人的乘车规则，对应找出每种顺序下两人分别乘坐的车辆，统计各自坐到优等车的情况数，用“符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算概率后比较大小即可得出结论。
【解析】
（1）三辆车按出现的先后顺序为优、中、差的全排列，所有等可能的情况共6种，分别为：(优,中,差)、(优,差,中)、(中,优,差)、(中,差,优)、(差,优,中)、(差,中,优)。
（2）列表分析两种方案的乘车情况如下：
| 三车顺序 | 小张乘坐的车 | 小王乘坐的车 |
| ---- | ---- | ---- |
| 优,中,差 | 优 | 差 |
| 优,差,中 | 优 | 中 |
| 中,优,差 | 中 | 优 |
| 中,差,优 | 中 | 优 |
| 差,优,中 | 差 | 优 |
| 差,中,优 | 差 | 中 |
总共有6种等可能的情况：
小张乘坐优等车的情况共2种，因此$P(小张乘坐优等车)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；
小王乘坐优等车的情况共3种，因此$P(小王乘坐优等车)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
因为$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性更大。
【答案】
(1) 三辆车按出现的先后顺序共有6种等可能的情况：(优,中,差)、(优,差,中)、(中,优,差)、(中,差,优)、(差,优,中)、(差,中,优)。
(2) 小王的方案乘坐优等车的可能性更大。小张乘坐优等车的概率为$\frac{1}{3}$，小王乘坐优等车的概率为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$，因此小王的方案更易坐到优等车。
【知识点】
列举法求概率、可能性大小比较、枚举排列
【点评】
本题结合生活实际乘车场景，考察概率知识在决策类问题中的应用，解题核心是枚举所有情况时做到不重不漏，准确统计目标事件的数量，能帮助学生理解概率对生活决策的指导意义。
【难度系数】
0.6
