6. (2024·东城区期末) 某班开展“讲数学家故事”的活动. 下列是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A,B,C,D,卡片除图案外其他均相同. 将四张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,小明同学从中随机抽取两张,讲述卡片上数学家的故事.

(1) 请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；
(2) 求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率.

(1) AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC；(2) $\frac{1}{2}$

【分析】
(1) 要列出抽取两张卡片的所有等可能结果，因为抽取过程存在先后顺序（先抽某张和后抽某张属于不同结果），我们可以按第一张抽取的卡片分别为A、B、C、D的顺序，依次列举第二张卡片的所有可能，做到不重复、不遗漏即可得到全部结果。
(2) 求恰好抽到有华罗庚图案卡片的概率，先从第一问得到的所有结果中找出包含C（华罗庚对应卡片为C）的结果数，再根据概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
(1) 按抽取顺序分类列举所有结果：
① 第一张抽A时，第二张可抽B、C、D，对应结果：AB、AC、AD；
② 第一张抽B时，第二张可抽A、C、D，对应结果：BA、BC、BD；
③ 第一张抽C时，第二张可抽A、B、D，对应结果：CA、CB、CD；
④ 第一张抽D时，第二张可抽A、B、C，对应结果：DA、DB、DC。
因此所有可能出现的结果为AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC，共12种，每种结果出现的可能性相等。
(2) 上述12种结果中，包含卡片C（华罗庚图案）的结果有AC、BC、CA、CD、DC、CB，共6种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{恰好有华罗庚邮票图案})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率基础题型，核心考查列举法的应用和概率公式的计算，解题时要注意是否考虑抽取顺序，避免漏算或多算结果，熟练掌握基础方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8

1. 每次的试验包含两步，并且产生的结果较多时，我们采用的比较方便的列举方法是。

1. 列表法

【分析】
首先回忆求概率时的常用列举方法：直接列举法、列表法、树状图法。我们根据题目给出的条件匹配对应方法：直接列举法仅适合试验步骤少、结果总数少的场景，容易出现重复或遗漏；树状图法更适合三步及以上的多步试验。对于包含两步、结果较多的试验，我们可以将第一步的所有可能结果设为表格的行，第二步的所有可能结果设为表格的列，就能系统、不重不漏地列出所有结果，这种方法就是适配本题场景的列表法。
【解析】
求概率时不同列举方法的适用场景不同：直接列举法适用于试验步骤少、结果总数少的情况；列表法适用于两步试验、结果数目较多的情况，可清晰呈现所有等可能结果，避免重复或遗漏；树状图法适用于三步及以上的多步试验。本题符合列表法的适用条件，因此填列表法。
【答案】
列表法
【知识点】
列举法求概率；列表法的适用条件
【点评】
本题考查基础概念的识记与区分，只要明确不同列举方法的适用场景，即可快速得出答案，属于易得分题。
【难度系数】
0.9

2. 一个布袋中放有红、黄、白三种颜色的球各一个，三个球的大小、形状、质地等均相同，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，试用列表法分析小亮两次都能摸到白球的概率。
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列表如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,白) |
| 黄 | (黄,红) | (黄,黄) | (黄,白) |
| 白 | (白,红) | (白,黄) | (白,白) |
所有等可能的结果共9种，其中两次都摸到白球的结果只有1种，因此小亮两次都能摸到白球的概率为$\frac{1}{9}$。

【分析】
这是放回式摸球的概率问题，两次摸球相互独立，所有摸球结果都是等可能的，适合用列表法求解。解题思路为：先枚举两次摸球的所有等可能结果，再从中筛选出两次都摸到白球的结果，最后根据等可能事件的概率公式计算即可，列表时要先明确第一次、第二次摸球分别有3种可能，对应组合就能得到全部结果。
【解析】
我们通过列表列举两次摸球的所有等可能结果，如下：
| 第一次\第二次 | 红 | 黄 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,白) |
| 黄 | (黄,红) | (黄,黄) | (黄,白) |
| 白 | (白,红) | (白,黄) | (白,白) |
由表可得，所有等可能的结果共有9种，其中两次都摸到白球的结果只有1种，根据概率公式可得小亮两次都摸到白球的概率为$\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
列表法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对列表法的掌握，解题核心是不重不漏地列出所有等可能的试验结果，再对应找到符合条件的结果计算概率。
【难度系数】
0.8

教科书第112页例2.
分析:弄清题意后,先思考:从3个口袋中每次各随机地取出一个球,共3个球,这就是说每一次试验涉及3个因素,这样的取法共有多少种呢?你打算用什么方法求得?
在充分思考和交流的前提下,理解画树状图的方法.
第一步,可能产生的结果为A和B,两者出现的可能性相同且不分先后,写在第一行.
第二步,可能产生的结果有C,D和E,三者出现的可能性相同且不分先后,从A和B分别画出三个分支,在分支下的第二行分别写上C,D和E.
第三步,可能产生的结果有两个H和I,两者出现的可能性相同且不分先后,从C,D和E分别画出两个分支,在分支下的第三行分别写上H和I.(如果有更多的步骤可依上继续)
第四步,按竖向,把各种可能的结果竖着写在下面,就得到了所有可能结果的总数,再找出符合要求的种数,就可以利用概率和意义计算概率了.
问:此题可以用列表法求出所有可能吗?
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不可以，列表法仅适用于试验涉及2个因素的情况，本题试验涉及3个因素，用列表法无法清晰不重不漏地列出所有可能结果，因此适合用树状图法求解，所有等可能的结果共12种。

【分析】
解题时首先要明确列表法和树状图法各自的适用场景：第一步先确定本次试验涉及的因素数量，本题试验是从3个不同口袋各取1个球，共涉及3个独立的因素；第二步回忆列表法的特点，列表法通过二维表格呈现结果，仅能容纳两个因素的所有组合；第三步对比因素数量和列表法的适用范围，即可判断能否使用列表法。
【解析】
首先明确列表法的适用条件：当一次试验仅涉及2个因素时，可将两个因素分别作为表格的行和列，通过列表不重不漏地列出所有等可能结果。
本题中一次试验需要从3个口袋各取1个球，共涉及3个独立的影响因素，二维列表无法同时清晰呈现3个因素的所有组合，容易出现结果重复或遗漏的问题，因此不能使用列表法。
结合树状图的计算规则，所有等可能的结果总数为2×3×2=12种，适合用树状图法列举所有结果。
【答案】
不可以，列表法仅适用于试验涉及2个因素的情况，本题试验涉及3个因素，用列表法无法清晰不重不漏地列出所有可能结果，因此适合用树状图法求解，所有等可能的结果共12种。
【知识点】
1.列举法求概率
2.列表法适用范围
3.树状图法适用范围
【点评】
本题考查概率列举方法的选择，解题关键是先明确试验涉及的因素数量，再匹配对应的列举方法，才能保证列出的所有等可能结果不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.8