5. 以上方程在形式和解法上有什么相同点？可归纳为怎样的步骤？

形式上的相同点：都可以化为$A^2=p$（$p≥0$，A是含未知数的整式）的形式；解法上的相同点：都通过直接开平方降次转化为一元一次方程求解。
步骤：① 将方程整理变形为完全平方等于非负数的形式$A^2=p$（$p≥0$）；② 根据平方根的定义开平方，得到$A=\sqrt{p}$和$A=-\sqrt{p}$两个一元一次方程；③ 解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。

【分析】
这是一道直接开平方法解一元二次方程的规律归纳题，解题时可分两个维度梳理思路：①形式维度：回忆可用直接开平方求解的一元二次方程的共同特征，无论原始方程形式如何，最终都能转化为含未知数的整式的平方等于非负数的标准结构；②解法维度：明确这类方程的求解核心是降次，把陌生的一元二次方程转化为已经掌握的一元一次方程求解；最后按照从变形到求解的操作逻辑，梳理出通用解题步骤即可。
【解析】
相同点分析
1. 形式上：所有这类可直接开平方求解的方程，经过整理后都能统一化为$A^2=p$的形式，其中$p≥0$，$A$是包含未知数的整式；
2. 解法上：求解的核心逻辑都是降次，利用平方根的定义对等式两边直接开平方，把二次的一元二次方程转化为一元一次方程后求解。
步骤归纳
① 变形整理：先对原方程做移项、系数化为1等变形，得到$A^2=p$（$p≥0$，$A$为含未知数的整式）的标准形式；
② 开方降次：根据平方根的定义对等式两边开平方，将原一元二次方程拆分为$A=\sqrt{p}$和$A=-\sqrt{p}$两个一元一次方程，完成降次；
③ 求解得根：分别解拆分得到的两个一元一次方程，两个方程的解就是原一元二次方程的两个根。
【答案】
形式上的相同点：都可以化为$A^2=p$（$p≥0$，A是含未知数的整式）的形式；解法上的相同点：都通过直接开平方降次转化为一元一次方程求解。
步骤：① 将方程整理变形为完全平方等于非负数的形式$A^2=p$（$p≥0$）；② 根据平方根的定义开平方，得到$A=\sqrt{p}$和$A=-\sqrt{p}$两个一元一次方程；③ 解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 降次思想
3. 平方根的定义
【点评】
本题侧重对直接开平方法本质的理解与归纳，引导学生从形式、解法两个角度梳理同类问题的共性，既夯实了基础解法的掌握，也为后续学习其他一元二次方程解法搭建了思路框架。
【难度系数】
0.8

1. 分析：
$x^2=4$
↓依据：
$x=\pm2$
即$x_1=2,x_2=-2$.
类比：
$(x+3)^2=5$
$x+3=$
$x=$
$x_1=$,$x_2=$.

1. 平方根的定义；±√5；$-3±\sqrt{5}$；$-3+\sqrt{5}$；$-3-\sqrt{5}$

【分析】
解题时先观察推导过程：①由$x^2=4$推出$x=\pm2$，回忆平方根的定义：若一个数的平方等于$a$（$a≥0$），则这个数叫做$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，即可确定依据。②类比该推导解$(x+3)^2=5$时，运用整体思想，把$x+3$看作整体，相当于第一个式子中的$x$，同样依据平方根的定义先得到$x+3$的取值，再移项求解即可得到$x$的两个解。
【解析】
1. 确定推导依据：
根据平方根的定义：若$p^2=a$（$a≥0$），则$p=\pm\sqrt{a}$，因此由$x^2=4$推出$x=\pm2$的依据是平方根的定义。
2. 类比求解方程：
把$x+3$看作整体，根据平方根的定义，由$(x+3)^2=5$可得：
$x+3=\pm\sqrt{5}$
移项得：$x=-3\pm\sqrt{5}$
拆分后得两个解：$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
【答案】
平方根的定义；$\pm\sqrt{5}$；$-3\pm\sqrt{5}$；$-3+\sqrt{5}$；$-3-\sqrt{5}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是运用整体思想，将含未知数的平方项底数看作整体，利用平方根的定义将二次方程降为一次方程求解，掌握整体代换思想即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 解下列方程:
(1) $2x^2 -8=0$;
(2) $9x^2 -5=3$.
【归纳总结】一般地, 对于形如 $x^2 = p$ ($p≥0$) 的方程, 根据平方根的定义, 可得 $x_1 =$ , $x_2 =$ . 这种解一元二次方程的方法叫作直接开平方法.
由方程 $(mx+n)^2 = p$ ($p≥0$) 可得 $mx+n =$ .

2. (1) 解：移项得$2x^2=8$，两边除以2得$x^2=4$，开平方得$x=±2$，所以$x_1=2$，$x_2=-2$；
(2) 解：移项合并得$9x^2=8$，两边除以9得$x^2=\frac{8}{9}$，开平方得$x=±\frac{2\sqrt{2}}{3}$，所以$x_1=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
归纳总结：√p；-√p；±√p

【分析】
这两道一元二次方程都缺少一次项，适合用直接开平方法求解。解题思路为：先通过移项、合并同类项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，把方程整理为$x^2=p(p≥0)$的形式，最后根据平方根的定义开平方得到两个解，注意不要遗漏负根。归纳总结部分考查直接开平方法的核心原理，将含未知数的平方部分看作整体，结合平方根的性质即可填出对应结果。
【解析】
(1) 解$2x^2 -8=0$：
移项得$2x^2=8$，
两边同时除以2，将二次项系数化为1，得$x^2=4$，
根据平方根的定义开平方，得$x=\pm2$，
因此方程的解为$x_1=2$，$x_2=-2$。
(2) 解$9x^2 -5=3$：
移项、合并同类项得$9x^2=8$，
两边同时除以9，将二次项系数化为1，得$x^2=\frac{8}{9}$，
根据平方根的定义开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{8}{9}}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
因此方程的解为$x_1=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
归纳总结：对于$x^2=p(p≥0)$，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，因此$x_1=\sqrt{p}$，$x_2=-\sqrt{p}$；对于$(mx+n)^2=p(p≥0)$，把$mx+n$看作整体，可得$mx+n=\pm\sqrt{p}$。
【答案】
(1) $x_1=2$，$x_2=-2$；
(2) $x_1=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
归纳总结：$\sqrt{p}$；$-\sqrt{p}$；$\pm\sqrt{p}$
【知识点】
直接开平方法，平方根的定义，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练将方程变形为“平方项等于非负常数”的形式，开平方时要注意根的个数，避免漏写负根，掌握本题内容是后续学习其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.85

例 解下列方程：
(1) $4x^2 - 3 = 0$；
(2) $(x + 2)^2 - 9 = 0$；
(3) $9x^2 + 6x + 1 = 4$。

例 (1) 解：移项得$4x^2=3$，$x^2=\frac{3}{4}$，开平方得$x=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2) 解：移项得$(x+2)^2=9$，开平方得$x+2=±3$，即$x+2=3$或$x+2=-3$，所以$x_1=1$，$x_2=-5$；
(3) 解：左边因式分解得$(3x+1)^2=4$，开平方得$3x+1=±2$，即$3x+1=2$或$3x+1=-2$，所以$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$。

【分析】
这三道一元二次方程均可通过变形为“平方项等于非负常数”的结构，选用直接开平方法求解：1. 第(1)题是无一次项的一元二次方程，先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，最后开平方得到两个一元一次方程求解即可；2. 第(2)题可将$(x+2)$看作一个整体，先移项得到整体平方等于常数的形式，再开平方转化为两个一元一次方程求解；3. 第(3)题左侧恰好是完全平方式，先利用完全平方公式将左侧因式分解为平方形式，再开平方降次求解即可，注意开平方时正负根都要考虑，避免漏解。
【解析】
(1) 移项得$4x^2=3$，
系数化为1得$x^2=\frac{3}{4}$，
开平方得$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(2) 移项得$(x+2)^2=9$，
开平方得$x+2=\pm3$，
即$x+2=3$或$x+2=-3$，
解得$x_1=1$，$x_2=-5$；
(3) 左边利用完全平方公式因式分解得$(3x+1)^2=4$，
开平方得$3x+1=\pm2$，
即$3x+1=2$或$3x+1=-2$，
解得$x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；(2) $x_1=1$，$x_2=-5$；(3) $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法 2. 完全平方公式 3. 降次求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题核心是观察方程结构，将其转化为“平方项等于非负常数”的形式，开平方时注意不要遗漏负根，第(2)(3)题运用整体思想可以简化计算，熟练掌握该方法是后续学习配方法等其他解方程方法的基础。
【难度系数】
0.8

1. 下列解方程的过程,正确的是()

A.$x^2=-2$,解方程得$x=\pm\sqrt{2}$
B.$(x-2)^2=4$,解方程得$x-2=2,x=4$
C.$4(x-1)^2=9$,解方程得$4(x-1)=\pm3$,
$x_1=\frac{1}{4},x_2=\frac{7}{4}$

1. D

【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题时需结合平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，负数没有实数平方根），逐个判断每个选项的解方程步骤是否正确，排除错误选项即可得到答案。解题思路：先回忆直接开平方法的运算规则，对于形如$a(x+m)^2=b$（$a≠0$，$ab≥0$）的方程，先将$(x+m)^2$的系数化为1，再开平方得到两个一次方程，分别求解即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的解方程过程：
选项A：方程$x^2=-2$，等号右侧为负数，负数在实数范围内没有平方根，因此该方程无实数根，A选项解法错误。
选项B：方程$(x-2)^2=4$，开平方可得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，选项B只计算了正的平方根，漏掉负的平方根导致漏解，解法错误。
选项C：方程$4(x-1)^2=9$，先将完全平方式的系数化为1，得$(x-1)^2=\frac{9}{4}$，开平方得$x-1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$；选项C开平方时运算错误，得到$4(x-1)=\pm3$，第一步就出错，最终解也错误。
综上，A、B、C的解方程过程均错误，故正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，易错点为开平方时漏记负的平方根，或是未将完全平方式的系数化为1就直接开平方，解题时要严格按照直接开平方法的步骤计算，同时注意负数没有实数平方根，遇到等号右侧为负的情况可直接判断方程无实根。
【难度系数】
0.8