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D. $(2x+3)^2=25$, 解方程得 $2x+3=\pm5$, $x_1=1$, $x_2=-4$
答案
解：
对$(2x+3)^2=25$直接开平方，得
$2x+3=\pm5$
当$2x+3=5$时，
$2x=5-3$
$2x=2$
$x_1=1$
当$2x+3=-5$时，
$2x=-5-3$
$2x=-8$
$x_2=-4$
所以方程的解为$x_1=1$，$x_2=-4$。
对$(2x+3)^2=25$直接开平方，得
$2x+3=\pm5$
当$2x+3=5$时，
$2x=5-3$
$2x=2$
$x_1=1$
当$2x+3=-5$时，
$2x=-5-3$
$2x=-8$
$x_2=-4$
所以方程的解为$x_1=1$，$x_2=-4$。
解析
【分析】
观察方程形式，左边是完全平方式$(2x+3)^2$，右边是正数25，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先将$2x+3$看作一个整体，根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，得到$2x+3=\pm5$，再将其拆分为两个一元一次方程分别求解，即可得到原方程的两个根。
【解析】
对$(2x+3)^2=25$直接开平方，得：
$2x+3=\pm5$
当$2x+3=5$时，
移项得$2x=5-3$，
合并同类项得$2x=2$，
系数化为1得$x_1=1$；
当$2x+3=-5$时，
移项得$2x=-5-3$，
合并同类项得$2x=-8$，
系数化为1得$x_2=-4$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时注意将完全平方式看作整体计算，同时开平方后要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.85
观察方程形式，左边是完全平方式$(2x+3)^2$，右边是正数25，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题时先将$2x+3$看作一个整体，根据平方根的性质：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，得到$2x+3=\pm5$，再将其拆分为两个一元一次方程分别求解，即可得到原方程的两个根。
【解析】
对$(2x+3)^2=25$直接开平方，得：
$2x+3=\pm5$
当$2x+3=5$时，
移项得$2x=5-3$，
合并同类项得$2x=2$，
系数化为1得$x_1=1$；
当$2x+3=-5$时，
移项得$2x=-5-3$，
合并同类项得$2x=-8$，
系数化为1得$x_2=-4$。
【答案】
$x_1=1$，$x_2=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时注意将完全平方式看作整体计算，同时开平方后要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.85
2. 解下列方程:
(1)$3x^2 -27=0$;
(2)$(2t-1)^2=16$;
(3)$3(x+1)^2 -6=0$;
(4)$x^2 -4x +4=5$.
(1)$3x^2 -27=0$;
(2)$(2t-1)^2=16$;
(3)$3(x+1)^2 -6=0$;
(4)$x^2 -4x +4=5$.
答案
(1) 解：移项得$3x^2=27$，$x^2=9$，开平方得$x=±3$，$x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) 解：开平方得$2t-1=±4$，即$2t-1=4$或$2t-1=-4$，解得$t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 解：移项得$3(x+1)^2=6$，$(x+1)^2=2$，开平方得$x+1=±\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) 解：左边化为完全平方得$(x-2)^2=5$，开平方得$x-2=±\sqrt{5}$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
(2) 解：开平方得$2t-1=±4$，即$2t-1=4$或$2t-1=-4$，解得$t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 解：移项得$3(x+1)^2=6$，$(x+1)^2=2$，开平方得$x+1=±\sqrt{2}$，解得$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) 解：左边化为完全平方得$(x-2)^2=5$，开平方得$x-2=±\sqrt{5}$，解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
解析
【分析】
这4道方程都适合用直接开平方法求解，解题核心思路是先将方程整理为“完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的根，注意开平方后不要遗漏负根。
(1)题先移项、系数化为1，得到$x^2=9$的形式再开方；(2)题左边已经是完全平方式，直接开方即可；(3)题先移项、系数化为1，得到$(x+1)^2=2$的形式再开方；(4)题先将左边用完全平方公式因式分解，得到$(x-2)^2=5$的形式再开方。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2=27$，
系数化为1得：$x^2=9$，
开平方得：$x=\pm3$，
即 $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) 开平方得：$2t-1=\pm4$，
即 $2t-1=4$ 或 $2t-1=-4$，
解这两个一元一次方程得：$t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 移项得：$3(x+1)^2=6$，
系数化为1得：$(x+1)^2=2$，
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{2}$，
解得：$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) 左边利用完全平方公式变形得：$(x-2)^2=5$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) $t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) $x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) $x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是用直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是熟练将方程转化为完全平方式等于非负数的形式，开平方时要注意结果有正负两个值，避免漏解，计算过程注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
这4道方程都适合用直接开平方法求解，解题核心思路是先将方程整理为“完全平方式=非负数”的形式，再根据平方根的定义开平方，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的根，注意开平方后不要遗漏负根。
(1)题先移项、系数化为1，得到$x^2=9$的形式再开方；(2)题左边已经是完全平方式，直接开方即可；(3)题先移项、系数化为1，得到$(x+1)^2=2$的形式再开方；(4)题先将左边用完全平方公式因式分解，得到$(x-2)^2=5$的形式再开方。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2=27$，
系数化为1得：$x^2=9$，
开平方得：$x=\pm3$，
即 $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) 开平方得：$2t-1=\pm4$，
即 $2t-1=4$ 或 $2t-1=-4$，
解这两个一元一次方程得：$t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) 移项得：$3(x+1)^2=6$，
系数化为1得：$(x+1)^2=2$，
开平方得：$x+1=\pm\sqrt{2}$，
解得：$x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) 左边利用完全平方公式变形得：$(x-2)^2=5$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=-3$；
(2) $t_1=\frac{5}{2}$，$t_2=-\frac{3}{2}$；
(3) $x_1=-1+\sqrt{2}$，$x_2=-1-\sqrt{2}$；
(4) $x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是用直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是熟练将方程转化为完全平方式等于非负数的形式，开平方时要注意结果有正负两个值，避免漏解，计算过程注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8
1. 你今天学会了哪种类型的一元二次方程的解法？其步骤有哪些？
答案
学会了可以化为$A^2=p$（$p≥0$，A是含未知数的一次整式）形式的一元二次方程的解法，即直接开平方法。
步骤：① 移项、系数化1等变形操作，将方程整理为完全平方等于非负数的形式；② 直接开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程；③ 分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
步骤：① 移项、系数化1等变形操作，将方程整理为完全平方等于非负数的形式；② 直接开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程；③ 分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
解析
【分析】
这是一元二次方程解法的基础概念考查题，对应配方法第1课时的核心内容。思考时首先回忆本节课所学的第一种一元二次方程解法：直接开平方法，先明确其适用的方程形式，再结合平方根的性质梳理求解逻辑：首先要将方程变形为“含未知数的一次整式的平方=非负常数”的标准形式，再利用平方根的性质开平方实现降次，把二次方程转化为熟悉的一次方程求解即可。
【解析】
本节课学习的是可化为$A^2=p$（$p≥0$，$A$为含未知数的一次整式）形式的一元二次方程的解法，该解法称为直接开平方法。具体求解步骤如下：
1. 变形整理：通过移项、系数化为1等操作，将原方程转化为完全平方式等于非负数的形式；
2. 开方降次：对整理后的方程直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
3. 求解得根：分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。
【答案】
学会了可以化为$A^2=p$（$p≥0$，A是含未知数的一次整式）形式的一元二次方程的解法，即直接开平方法。
步骤：① 移项、系数化1等变形操作，将方程整理为完全平方等于非负数的形式；② 直接开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程；③ 分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程降次、平方根性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对一元二次方程基础解法的概念和步骤的记忆掌握情况，直接开平方法是后续学习配方法、公式法等其他解法的重要基础，熟练掌握其适用条件和操作流程，能为后续一元二次方程的学习打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
这是一元二次方程解法的基础概念考查题，对应配方法第1课时的核心内容。思考时首先回忆本节课所学的第一种一元二次方程解法：直接开平方法，先明确其适用的方程形式，再结合平方根的性质梳理求解逻辑：首先要将方程变形为“含未知数的一次整式的平方=非负常数”的标准形式，再利用平方根的性质开平方实现降次，把二次方程转化为熟悉的一次方程求解即可。
【解析】
本节课学习的是可化为$A^2=p$（$p≥0$，$A$为含未知数的一次整式）形式的一元二次方程的解法，该解法称为直接开平方法。具体求解步骤如下：
1. 变形整理：通过移项、系数化为1等操作，将原方程转化为完全平方式等于非负数的形式；
2. 开方降次：对整理后的方程直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
3. 求解得根：分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。
【答案】
学会了可以化为$A^2=p$（$p≥0$，A是含未知数的一次整式）形式的一元二次方程的解法，即直接开平方法。
步骤：① 移项、系数化1等变形操作，将方程整理为完全平方等于非负数的形式；② 直接开平方，将一元二次方程降次为两个一元一次方程；③ 分别解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
【知识点】
直接开平方法、一元二次方程降次、平方根性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对一元二次方程基础解法的概念和步骤的记忆掌握情况，直接开平方法是后续学习配方法、公式法等其他解法的重要基础，熟练掌握其适用条件和操作流程，能为后续一元二次方程的学习打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
2.今天学习的过程中用到了哪些数学思想方法？
答案
用到的数学思想方法有转化（降次）思想、类比思想。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回顾本节课的核心学习内容：配方法解一元二次方程的原理与操作步骤，再对应梳理过程中用到的数学思想：
1. 解一元二次方程的核心是将陌生的二次方程转化为我们已经会解的一元一次方程，通过配方后开平方实现降次，对应转化（降次）思想；
2. 配方的操作是对照完全平方公式的结构特征，给二次项、一次项搭配合适的常数项凑成完全平方式，探究解法的过程也借鉴了已学的整式变形、方程求解的经验，对应类比思想。
【解析】
结合本节课配方法解一元二次方程的学习过程分析：
1. 我们学习将一般形式的一元二次方程通过配方变形为$(x+m)^2=n$的形式，再利用开平方运算将二次方程降次为一元一次方程求解，将未知问题转化为已知问题解决，体现了转化（降次）思想；
2. 配方的操作是类比完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征，给含未知数的二次项、一次项补充合适的常数项凑成完全平方式，探究解法时也类比了已掌握的方程求解、整式变形的经验，体现了类比思想。
【答案】
用到的数学思想方法有转化（降次）思想、类比思想。
【知识点】
配方法，一元二次方程解法，数学思想方法
【点评】
本题考查对学习过程中蕴含的数学思想的提炼能力，引导大家在掌握知识技能的同时，关注背后的数学逻辑与方法，加深对数学学习的理解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回顾本节课的核心学习内容：配方法解一元二次方程的原理与操作步骤，再对应梳理过程中用到的数学思想：
1. 解一元二次方程的核心是将陌生的二次方程转化为我们已经会解的一元一次方程，通过配方后开平方实现降次，对应转化（降次）思想；
2. 配方的操作是对照完全平方公式的结构特征，给二次项、一次项搭配合适的常数项凑成完全平方式，探究解法的过程也借鉴了已学的整式变形、方程求解的经验，对应类比思想。
【解析】
结合本节课配方法解一元二次方程的学习过程分析：
1. 我们学习将一般形式的一元二次方程通过配方变形为$(x+m)^2=n$的形式，再利用开平方运算将二次方程降次为一元一次方程求解，将未知问题转化为已知问题解决，体现了转化（降次）思想；
2. 配方的操作是类比完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征，给含未知数的二次项、一次项补充合适的常数项凑成完全平方式，探究解法时也类比了已掌握的方程求解、整式变形的经验，体现了类比思想。
【答案】
用到的数学思想方法有转化（降次）思想、类比思想。
【知识点】
配方法，一元二次方程解法，数学思想方法
【点评】
本题考查对学习过程中蕴含的数学思想的提炼能力，引导大家在掌握知识技能的同时，关注背后的数学逻辑与方法，加深对数学学习的理解。
【难度系数】
0.8
1. 方程$3x^2+9=0$的根为(
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.无实数根
D
)A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.无实数根
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有实数根，有两种常用思路：一是先将方程变形为$x^2=p$的形式，根据平方的非负性，若$p≥0$则有实根，若$p＜0$则无实根；二是代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断：$\Delta＞0$有两个不等实根，$\Delta=0$有两个相等实根，$\Delta＜0$无实根。本题两种方法都适用，计算都很简便。
【解析】
解法一：对原方程移项，得$3x^2=-9$，
两边同时除以3，得$x^2=-3$，
∵任意实数的平方都满足$x^2≥0$，不可能等于-3，
∴该方程无实数根。
解法二：原方程是一元二次方程的标准形式，对应$a=3$，$b=0$，$c=9$，
代入根的判别式得：$\Delta=b^2-4ac=0^2-4×3×9=-108＜0$，
∴该方程无实数根。
【答案】
D
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判断类基础题，两种解题方法都是核心应知应会内容，解题时注意不要忽略实数平方的取值范围，错误对负数开平方得到错解。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程是否有实数根，有两种常用思路：一是先将方程变形为$x^2=p$的形式，根据平方的非负性，若$p≥0$则有实根，若$p＜0$则无实根；二是代入根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断：$\Delta＞0$有两个不等实根，$\Delta=0$有两个相等实根，$\Delta＜0$无实根。本题两种方法都适用，计算都很简便。
【解析】
解法一：对原方程移项，得$3x^2=-9$，
两边同时除以3，得$x^2=-3$，
∵任意实数的平方都满足$x^2≥0$，不可能等于-3，
∴该方程无实数根。
解法二：原方程是一元二次方程的标准形式，对应$a=3$，$b=0$，$c=9$，
代入根的判别式得：$\Delta=b^2-4ac=0^2-4×3×9=-108＜0$，
∴该方程无实数根。
【答案】
D
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判断类基础题，两种解题方法都是核心应知应会内容，解题时注意不要忽略实数平方的取值范围，错误对负数开平方得到错解。
【难度系数】
0.9
2. 若关于x的一元二次方程$x^2=m$的解为有理数，则实数m不能是下列四个数中的（
A.4
B.144
C.$2\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
D
）A.4
B.144
C.$2\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
2. D
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程$x^2=m$的解的形式：当$m≥0$时，方程的解为$x=\pm\sqrt{m}$。题目要求解为有理数，因此$\sqrt{m}$必须是有理数，即m开平方后结果为有理数。解题时只需逐个计算四个选项中m的算术平方根，判断是否为有理数，找到算术平方根为无理数对应的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2=m$，其解为$x=\pm\sqrt{m}$，若解为有理数，则$\sqrt{m}$需为有理数。
逐个分析选项：
A. 当$m=4$时，$\sqrt{4}=2$，是有理数，方程的解为$x=\pm2$，符合要求；
B. 当$m=144$时，$\sqrt{144}=12$，是有理数，方程的解为$x=\pm12$，符合要求；
C. 当$m=2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$时，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，是有理数，方程的解为$x=\pm\frac{3}{2}$，符合要求；
D. 当$m=\frac{1}{8}$时，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{4}$是无理数，方程的解为无理数，不符合要求。
因此实数m不能是$\frac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；有理数的判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是将“方程的解为有理数”转化为“m的算术平方根为有理数”，再通过二次根式的化简逐一判断即可，考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程$x^2=m$的解的形式：当$m≥0$时，方程的解为$x=\pm\sqrt{m}$。题目要求解为有理数，因此$\sqrt{m}$必须是有理数，即m开平方后结果为有理数。解题时只需逐个计算四个选项中m的算术平方根，判断是否为有理数，找到算术平方根为无理数对应的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2=m$，其解为$x=\pm\sqrt{m}$，若解为有理数，则$\sqrt{m}$需为有理数。
逐个分析选项：
A. 当$m=4$时，$\sqrt{4}=2$，是有理数，方程的解为$x=\pm2$，符合要求；
B. 当$m=144$时，$\sqrt{144}=12$，是有理数，方程的解为$x=\pm12$，符合要求；
C. 当$m=2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$时，$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$，是有理数，方程的解为$x=\pm\frac{3}{2}$，符合要求；
D. 当$m=\frac{1}{8}$时，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此$\frac{\sqrt{2}}{4}$是无理数，方程的解为无理数，不符合要求。
因此实数m不能是$\frac{1}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；有理数的判定；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是将“方程的解为有理数”转化为“m的算术平方根为有理数”，再通过二次根式的化简逐一判断即可，考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
3.若$8x^2 -16=0$,则$x$的值是
$\pm\sqrt{2}$
.答案
3. $\pm\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先通过移项把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；接着将未知数的二次项系数化为1，得到x²等于正数的形式；最后根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方即可得到x的值，注意不要漏写负根。
【解析】
解：对原方程$8x^2 -16=0$移项，得：
$8x^2 = 16$
两边同时除以8，将二次项系数化为1，得：
$x^2 = 2$
对等式两边开平方，可得：
$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，主要考查直接开平方法解一元二次方程，解题时需注意正数开平方后有两个互为相反数的根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先通过移项把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；接着将未知数的二次项系数化为1，得到x²等于正数的形式；最后根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，开平方即可得到x的值，注意不要漏写负根。
【解析】
解：对原方程$8x^2 -16=0$移项，得：
$8x^2 = 16$
两边同时除以8，将二次项系数化为1，得：
$x^2 = 2$
对等式两边开平方，可得：
$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，主要考查直接开平方法解一元二次方程，解题时需注意正数开平方后有两个互为相反数的根，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
4. 一元二次方程$(x-3)^2=1$的两个解恰好分别是等腰$△ ABC$的底边长和腰长，则其周长为
10
。答案
4. 10
解析
【分析】
解题可按3步思考：第一步，先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到两个根；第二步，因为题目未明确两个根哪个是等腰三角形的底边长、哪个是腰长，所以需要分类讨论两种情况；第三步，每种情况都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-3)^2=1$直接开平方，得$x-3=\pm1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
2. 分类讨论等腰三角形的边长：
情况1：若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形
周长为：$2+4+4=10$
情况2：若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为4、2、2
验证三边关系：$2+2=4$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，三角形周长为10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的基础综合题，解题关键是要注意分类讨论思想的应用，同时在涉及三角形边长的问题时，一定要用三边关系验证所构三角形是否存在，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题可按3步思考：第一步，先利用直接开平方法求解一元二次方程，得到两个根；第二步，因为题目未明确两个根哪个是等腰三角形的底边长、哪个是腰长，所以需要分类讨论两种情况；第三步，每种情况都要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
1. 解一元二次方程：
对$(x-3)^2=1$直接开平方，得$x-3=\pm1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
2. 分类讨论等腰三角形的边长：
情况1：若底边长为2，腰长为4，此时三角形三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边关系，可构成三角形
周长为：$2+4+4=10$
情况2：若底边长为4，腰长为2，此时三角形三边长为4、2、2
验证三边关系：$2+2=4$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，三角形周长为10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于方程与几何的基础综合题，解题关键是要注意分类讨论思想的应用，同时在涉及三角形边长的问题时，一定要用三边关系验证所构三角形是否存在，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
5. 解下列方程：
(1)$(2-x)^2=4$；
(2)$x^2-\sqrt{64}=0$；
(3)$2(1-x)^2-18=0$.
(1)$(2-x)^2=4$；
(2)$x^2-\sqrt{64}=0$；
(3)$2(1-x)^2-18=0$.
答案
(1) $x_1 = 0, x_2 = 4$；(2) $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$；(3) $x_1 = -2, x_2 = 4$
解析
【分析】
这三道题均为可通过直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心思路是先将方程变形为“含未知数的式子的平方=非负常数”的形式，再根据平方根的定义，两边同时开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根：(1)原式已经是平方等于常数的形式，可直接开平方计算；(2)先移项化简得到平方项等于常数的形式再开平方；(3)先移项、系数化为1得到完全平方式等于常数的形式，再开平方求解。
【解析】
(1) 解方程$\boldsymbol{(2-x)^2=4}$：
根据平方根的定义，两边同时开平方得：
$2-x=\pm2$
拆分得两个一元一次方程：
$2-x=2$ 或 $2-x=-2$
分别求解：
当$2-x=2$时，解得$x=0$；
当$2-x=-2$时，解得$x=4$。
(2) 解方程$\boldsymbol{x^2-\sqrt{64}=0}$：
先化简计算$\sqrt{64}=8$，移项得：
$x^2=8$
两边开平方得：
$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(3) 解方程$\boldsymbol{2(1-x)^2-18=0}$：
移项得：$2(1-x)^2=18$
两边同时除以2，系数化为1得：
$(1-x)^2=9$
两边开平方得：
$1-x=\pm3$
拆分得两个一元一次方程：
$1-x=3$ 或 $1-x=-3$
分别求解：
当$1-x=3$时，解得$x=-2$；
当$1-x=-3$时，解得$x=4$。
【答案】
(1) $x_1 = 0, x_2 = 4$；(2) $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$；(3) $x_1 = -2, x_2 = 4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时注意先将方程整理为可开平方的标准形式，开平方时不要遗漏负根，计算结果注意将二次根式化为最简形式即可。
【难度系数】
0.8
这三道题均为可通过直接开平方法求解的一元二次方程，解题核心思路是先将方程变形为“含未知数的式子的平方=非负常数”的形式，再根据平方根的定义，两边同时开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根：(1)原式已经是平方等于常数的形式，可直接开平方计算；(2)先移项化简得到平方项等于常数的形式再开平方；(3)先移项、系数化为1得到完全平方式等于常数的形式，再开平方求解。
【解析】
(1) 解方程$\boldsymbol{(2-x)^2=4}$：
根据平方根的定义，两边同时开平方得：
$2-x=\pm2$
拆分得两个一元一次方程：
$2-x=2$ 或 $2-x=-2$
分别求解：
当$2-x=2$时，解得$x=0$；
当$2-x=-2$时，解得$x=4$。
(2) 解方程$\boldsymbol{x^2-\sqrt{64}=0}$：
先化简计算$\sqrt{64}=8$，移项得：
$x^2=8$
两边开平方得：
$x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$。
(3) 解方程$\boldsymbol{2(1-x)^2-18=0}$：
移项得：$2(1-x)^2=18$
两边同时除以2，系数化为1得：
$(1-x)^2=9$
两边开平方得：
$1-x=\pm3$
拆分得两个一元一次方程：
$1-x=3$ 或 $1-x=-3$
分别求解：
当$1-x=3$时，解得$x=-2$；
当$1-x=-3$时，解得$x=4$。
【答案】
(1) $x_1 = 0, x_2 = 4$；(2) $x_1 = 2\sqrt{2}, x_2 = -2\sqrt{2}$；(3) $x_1 = -2, x_2 = 4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的定义，二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时注意先将方程整理为可开平方的标准形式，开平方时不要遗漏负根，计算结果注意将二次根式化为最简形式即可。
【难度系数】
0.8
