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7. 根据下列表格的对应值,可判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c$为常数)的一个解$x$的取值范围是(
A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
C
)A.$3＜x＜3.23$
B.$3.23＜x＜3.24$
C.$3.24＜x＜3.25$
D.$3.25＜x＜3.26$
答案
7. C
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需明确方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的抛物线，因此当函数值在某两个$x$的取值之间由负变正（或由正变负）时，这两个取值之间一定存在一个$x$使得函数值为0，也就是方程的解在这个区间内，接下来观察表格中函数值的正负变化即可找到对应区间。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，一定存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解的取值范围是$3.24＜x＜3.25$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程的解，解题关键是建立方程的解与对应二次函数函数值的联系，通过观察函数值的正负变化区间即可得到答案，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，需明确方程的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的值。二次函数的图象是连续的抛物线，因此当函数值在某两个$x$的取值之间由负变正（或由正变负）时，这两个取值之间一定存在一个$x$使得函数值为0，也就是方程的解在这个区间内，接下来观察表格中函数值的正负变化即可找到对应区间。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=3.24$时，$ax^2+bx+c=-0.02＜0$；
当$x=3.25$时，$ax^2+bx+c=0.03＞0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$3.24＜x＜3.25$的范围内，一定存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程的一个解的取值范围是$3.24＜x＜3.25$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化估算一元二次方程的解，解题关键是建立方程的解与对应二次函数函数值的联系，通过观察函数值的正负变化区间即可得到答案，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
8. 已知一个三角形的两边长分别为3 cm和6 cm,第三边长是a cm(其中a为整数),且满足方程$a^2 -10a +16=0$,求此三角形的周长.
答案
17 cm
解析
【分析】
解题需分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到第三边a的可能取值；第二步结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），对求出的a的取值进行取舍，筛选出符合实际的边长；第三步将三边长度相加得到三角形的周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$a^2 -10a +16=0$：
对左侧因式分解得：$(a-2)(a-8)=0$
所以$a-2=0$或$a-8=0$，解得$a_1=2$，$a_2=8$。
2. 根据三角形三边关系筛选符合条件的边长：
已知三角形两边长为3cm和6cm，若第三边为2cm，此时$3+2=5＜6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去$a=2$；
若第三边为8cm，此时$3+6=9＞8$，$6-3=3＜8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算三角形周长：
周长$=3+6+8=17(\mathrm{cm})$。
【答案】
17 cm
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，易错点是求出方程的根后忽略三角形三边关系的限制条件，直接代入计算周长，解题时要注意结合实际隐含条件对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题需分三步进行：第一步先求解一元二次方程，得到第三边a的可能取值；第二步结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），对求出的a的取值进行取舍，筛选出符合实际的边长；第三步将三边长度相加得到三角形的周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$a^2 -10a +16=0$：
对左侧因式分解得：$(a-2)(a-8)=0$
所以$a-2=0$或$a-8=0$，解得$a_1=2$，$a_2=8$。
2. 根据三角形三边关系筛选符合条件的边长：
已知三角形两边长为3cm和6cm，若第三边为2cm，此时$3+2=5＜6$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，故舍去$a=2$；
若第三边为8cm，此时$3+6=9＞8$，$6-3=3＜8$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
3. 计算三角形周长：
周长$=3+6+8=17(\mathrm{cm})$。
【答案】
17 cm
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系、三角形周长计算
【点评】
本题是方程与几何结合的基础题型，易错点是求出方程的根后忽略三角形三边关系的限制条件，直接代入计算周长，解题时要注意结合实际隐含条件对结果进行取舍。
【难度系数】
0.7
1. 一个正数有
两
个平方根，负数没有
平方根，0的平方根是0
.答案
1. 两 没有 0
解析
【分析】
解题时从平方根的定义出发推导性质即可：首先回忆平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根；接着分别分析三类数的情况：对于正数，能找到两个互为相反数的数满足平方等于该正数；对于负数，任何实数的平方都为非负数，不存在实数的平方是负数；对于0，只有0本身的平方等于0，据此就能得出对应结论。
【解析】
根据平方根的性质分析：
1. 任意正数的平方为正，其相反数的平方也等于这个正数，因此一个正数有2个平方根，二者互为相反数；
2. 所有实数的平方都是非负数，不存在平方为负数的实数，因此负数没有平方根；
3. 因为$0^2=0$，因此0的平方根是0。
【答案】
两；没有；0
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题是对平方根基础概念的考查，属于识记类基础题，熟练掌握平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时从平方根的定义出发推导性质即可：首先回忆平方根的定义：若一个数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么x叫做a的平方根；接着分别分析三类数的情况：对于正数，能找到两个互为相反数的数满足平方等于该正数；对于负数，任何实数的平方都为非负数，不存在实数的平方是负数；对于0，只有0本身的平方等于0，据此就能得出对应结论。
【解析】
根据平方根的性质分析：
1. 任意正数的平方为正，其相反数的平方也等于这个正数，因此一个正数有2个平方根，二者互为相反数；
2. 所有实数的平方都是非负数，不存在平方为负数的实数，因此负数没有平方根；
3. 因为$0^2=0$，因此0的平方根是0。
【答案】
两；没有；0
【知识点】
平方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题是对平方根基础概念的考查，属于识记类基础题，熟练掌握平方根的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 如果$x^2=a(a≥0)$，那么$x$就叫作$a$的平方根，即$x=$
±√a
.答案
2. ±√a
解析
【分析】
这道题是对平方根基础概念的考查，解题时先回忆平方根的定义特征：如果一个数的平方等于非负数a，那么这个数就是a的平方根，正数的平方根有2个，且互为相反数，0的平方根是0，我们只需要按照平方根的标准表示形式写出结果即可。
【解析】
根据平方根的定义，已知$x^2=a(a≥0)$，则非负数a的平方根有两个，分别为正的算术平方根和对应的负平方根，合并可写作$\pm\sqrt{a}$，因此$x=\pm\sqrt{a}$。
【答案】
$\pm\sqrt{a}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的表示方法
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对平方根定义的记忆与理解，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这道题是对平方根基础概念的考查，解题时先回忆平方根的定义特征：如果一个数的平方等于非负数a，那么这个数就是a的平方根，正数的平方根有2个，且互为相反数，0的平方根是0，我们只需要按照平方根的标准表示形式写出结果即可。
【解析】
根据平方根的定义，已知$x^2=a(a≥0)$，则非负数a的平方根有两个，分别为正的算术平方根和对应的负平方根，合并可写作$\pm\sqrt{a}$，因此$x=\pm\sqrt{a}$。
【答案】
$\pm\sqrt{a}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的表示方法
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对平方根定义的记忆与理解，熟练掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 求出下列各数的平方根：
(1)$\frac{9}{25}$；(2)5；(3)0；(4)0.04；(5)121.
(1)$\frac{9}{25}$；(2)5；(3)0；(4)0.04；(5)121.
答案
3. (1) ±3/5 (2) ±√5 (3) 0 (4) ±0.2 (5) ±11
解析
【分析】
解题需依据平方根的定义进行：如果一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根。解题时首先明确平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。对每个待求数，找到所有满足平方后等于该数的$x$即可，开方开不尽的数直接保留根号形式，正数注意不要漏写负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm \frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$，所以$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm \frac{3}{5}$；
(2) 因为$(\pm \sqrt{5})^2 = 5$，所以5的平方根是$\pm \sqrt{5}$；
(3) 因为$0^2 = 0$，所以0的平方根是0；
(4) 因为$(\pm 0.2)^2 = 0.04$，所以0.04的平方根是$\pm 0.2$；
(5) 因为$(\pm 11)^2 = 121$，所以121的平方根是$\pm 11$。
【答案】
(1) ±3/5 (2) ±√5 (3) 0 (4) ±0.2 (5) ±11
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 平方根的性质
【点评】
本题是平方根计算的基础题型，重点考查对平方根概念的理解，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根，无法开得尽方的数直接用带根号的形式表示结果即可。
【难度系数】
0.85
解题需依据平方根的定义进行：如果一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就叫做$a$的平方根。解题时首先明确平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。对每个待求数，找到所有满足平方后等于该数的$x$即可，开方开不尽的数直接保留根号形式，正数注意不要漏写负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm \frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$，所以$\frac{9}{25}$的平方根是$\pm \frac{3}{5}$；
(2) 因为$(\pm \sqrt{5})^2 = 5$，所以5的平方根是$\pm \sqrt{5}$；
(3) 因为$0^2 = 0$，所以0的平方根是0；
(4) 因为$(\pm 0.2)^2 = 0.04$，所以0.04的平方根是$\pm 0.2$；
(5) 因为$(\pm 11)^2 = 121$，所以121的平方根是$\pm 11$。
【答案】
(1) ±3/5 (2) ±√5 (3) 0 (4) ±0.2 (5) ±11
【知识点】
1. 平方根的定义 2. 平方根的性质
【点评】
本题是平方根计算的基础题型，重点考查对平方根概念的理解，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根，无法开得尽方的数直接用带根号的形式表示结果即可。
【难度系数】
0.85
4. 自学教材第5、6页,并标记出你认为重点的内容,然后回答下列问题.
(1)你发现方程$(x+3)^2=5$与方程$x^2=4$的相同点是什么? 不同点是什么? 由$(x+3)^2=5$得$(x+3)=\pm\sqrt{5}$的依据是什么?
(2)由$(x+3)^2=5$得$(x+3)=\sqrt{5}$或$(x+3)=-\sqrt{5}$是你学过的哪一类方程? 这一过程体现的数学思想方法是什么? 原方程的根是什么?
(3)观察方程$x^2+6x+9=2$,它的左边是什么形式? 把它化成与方程$(x+3)^2=5$相同的形式:
(1)你发现方程$(x+3)^2=5$与方程$x^2=4$的相同点是什么? 不同点是什么? 由$(x+3)^2=5$得$(x+3)=\pm\sqrt{5}$的依据是什么?
(2)由$(x+3)^2=5$得$(x+3)=\sqrt{5}$或$(x+3)=-\sqrt{5}$是你学过的哪一类方程? 这一过程体现的数学思想方法是什么? 原方程的根是什么?
(3)观察方程$x^2+6x+9=2$,它的左边是什么形式? 把它化成与方程$(x+3)^2=5$相同的形式:
$(x+3)^2=2$
. 对其进行降次(开平方),得到$x+3=\pm\sqrt{2}$
,方程的两根为$x_1=$$-3+\sqrt{2}$
, $x_2=$$-3-\sqrt{2}$
.答案
4. (1) 相同点：等号左边都是完全平方的形式，等号右边都是非负数；不同点：$x^2=4$的平方底数是单个未知数x，$(x+3)^2=5$的平方底数是含未知数的一次式$x+3$；依据是平方根的定义。
(2) 是一元一次方程；体现了转化（降次）的数学思想方法；原方程的根是$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 完全平方式；$(x+3)^2=2$；$x+3=\pm\sqrt{2}$；$-3+\sqrt{2}$；$-3-\sqrt{2}$
(2) 是一元一次方程；体现了转化（降次）的数学思想方法；原方程的根是$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 完全平方式；$(x+3)^2=2$；$x+3=\pm\sqrt{2}$；$-3+\sqrt{2}$；$-3-\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时从方程的结构特征入手逐步分析：①解决第(1)问时，先分别观察两个方程左右两边的形式，对比平方底数的差异，再回忆开平方运算的理论依据即可作答；②解决第(2)问时，明确开平方后二次式转化为一次式，属于已学的一元一次方程，这种将未知问题转化为已知问题的思路就是转化（降次）思想，再分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根；③解决第(3)问时，先利用完全平方公式判断左边多项式的形式，再将其改写为“完全平方=常数”的标准形式，最后用直接开平方法降次求解即可。
【解析】
(1) 对比两个方程的结构：
两个方程等号左侧均为完全平方形式，等号右侧均为非负数，这是二者的相同点；二者的差异为：$x^2=4$的平方底数是单个未知数$x$，$(x+3)^2=5$的平方底数是含未知数的一次式$x+3$。
根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，因此由$(x+3)^2=5$推导$x+3=\pm\sqrt{5}$的依据是平方根的定义。
(2) 开平方后得到的$x+3=\sqrt{5}$和$x+3=-\sqrt{5}$都只含一个未知数，且未知数最高次数为1，属于一元一次方程；
该过程将陌生的一元二次方程转化为已学的一元一次方程求解，体现了转化（降次）的数学思想；
分别解两个一元一次方程：当$x+3=\sqrt{5}$时，$x=-3+\sqrt{5}$；当$x+3=-\sqrt{5}$时，$x=-3-\sqrt{5}$，即原方程的根为$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 方程左边$x^2+6x+9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（其中$a=x,b=3$），是完全平方式；
可化为$(x+3)^2=2$；
开平方降次得$x+3=\pm\sqrt{2}$；
分别求解得$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 相同点：等号左边都是完全平方的形式，等号右边都是非负数；不同点：$x^2=4$的平方底数是单个未知数x，$(x+3)^2=5$的平方底数是含未知数的一次式$x+3$；依据是平方根的定义。
(2) 是一元一次方程；体现了转化（降次）的数学思想方法；原方程的根是$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 完全平方式；$(x+3)^2=2$；$x+3=\pm\sqrt{2}$；$-3+\sqrt{2}$；$-3-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本题聚焦直接开平方法的核心原理，通过对比方程结构、识别完全平方式，引导理解降次的转化思想，是学习配方法解一元二次方程的基础性练习，有助于巩固新旧知识的关联。
【难度系数】
0.8
解题时从方程的结构特征入手逐步分析：①解决第(1)问时，先分别观察两个方程左右两边的形式，对比平方底数的差异，再回忆开平方运算的理论依据即可作答；②解决第(2)问时，明确开平方后二次式转化为一次式，属于已学的一元一次方程，这种将未知问题转化为已知问题的思路就是转化（降次）思想，再分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根；③解决第(3)问时，先利用完全平方公式判断左边多项式的形式，再将其改写为“完全平方=常数”的标准形式，最后用直接开平方法降次求解即可。
【解析】
(1) 对比两个方程的结构：
两个方程等号左侧均为完全平方形式，等号右侧均为非负数，这是二者的相同点；二者的差异为：$x^2=4$的平方底数是单个未知数$x$，$(x+3)^2=5$的平方底数是含未知数的一次式$x+3$。
根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，因此由$(x+3)^2=5$推导$x+3=\pm\sqrt{5}$的依据是平方根的定义。
(2) 开平方后得到的$x+3=\sqrt{5}$和$x+3=-\sqrt{5}$都只含一个未知数，且未知数最高次数为1，属于一元一次方程；
该过程将陌生的一元二次方程转化为已学的一元一次方程求解，体现了转化（降次）的数学思想；
分别解两个一元一次方程：当$x+3=\sqrt{5}$时，$x=-3+\sqrt{5}$；当$x+3=-\sqrt{5}$时，$x=-3-\sqrt{5}$，即原方程的根为$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 方程左边$x^2+6x+9$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$（其中$a=x,b=3$），是完全平方式；
可化为$(x+3)^2=2$；
开平方降次得$x+3=\pm\sqrt{2}$；
分别求解得$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 相同点：等号左边都是完全平方的形式，等号右边都是非负数；不同点：$x^2=4$的平方底数是单个未知数x，$(x+3)^2=5$的平方底数是含未知数的一次式$x+3$；依据是平方根的定义。
(2) 是一元一次方程；体现了转化（降次）的数学思想方法；原方程的根是$x_1=-3+\sqrt{5}$，$x_2=-3-\sqrt{5}$。
(3) 完全平方式；$(x+3)^2=2$；$x+3=\pm\sqrt{2}$；$-3+\sqrt{2}$；$-3-\sqrt{2}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 完全平方公式
【点评】
本题聚焦直接开平方法的核心原理，通过对比方程结构、识别完全平方式，引导理解降次的转化思想，是学习配方法解一元二次方程的基础性练习，有助于巩固新旧知识的关联。
【难度系数】
0.8
