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例1 下面哪些数是方程$2x^2 +10x +12=0$的根？
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析:要判定一个数是否为方程的根,只要将其代入等式,看能否使等式两边相等即可.
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
分析:要判定一个数是否为方程的根,只要将其代入等式,看能否使等式两边相等即可.
答案
例1 将各数代入方程验证，当x=-3时，$2×(-3)^2+10×(-3)+12=18-30+12=0$；当x=-2时，$2×(-2)^2+10×(-2)+12=8-20+12=0$，所以-3和-2是方程的根。
解析
【分析】
要判断给定的数是否为一元二次方程的根，首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此解题思路为：依次将题干给出的数值代入方程左边的代数式计算结果，再将计算结果与方程右边的0比较，若相等则该数是方程的根，反之则不是。
【解析】
将题干给出的数依次代入方程$2x^2 +10x +12=0$的左边验证：
当$x=-3$时，左边$=2×(-3)^2+10×(-3)+12=18-30+12=0$，与右边相等，故$x=-3$是方程的根；
当$x=-2$时，左边$=2×(-2)^2+10×(-2)+12=8-20+12=0$，与右边相等，故$x=-2$是方程的根；
将剩余的-4、-1、0、1、2、3、4分别代入方程左边计算，所得结果均不等于0，都不是方程的根。
【答案】
-3、-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题是方程根定义的基础应用，核心考查代入验证法的使用，解题时只要准确计算代入后的代数式值即可得出正确结果，属于基础类习题。
【难度系数】
0.9
要判断给定的数是否为一元二次方程的根，首先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。因此解题思路为：依次将题干给出的数值代入方程左边的代数式计算结果，再将计算结果与方程右边的0比较，若相等则该数是方程的根，反之则不是。
【解析】
将题干给出的数依次代入方程$2x^2 +10x +12=0$的左边验证：
当$x=-3$时，左边$=2×(-3)^2+10×(-3)+12=18-30+12=0$，与右边相等，故$x=-3$是方程的根；
当$x=-2$时，左边$=2×(-2)^2+10×(-2)+12=8-20+12=0$，与右边相等，故$x=-2$是方程的根；
将剩余的-4、-1、0、1、2、3、4分别代入方程左边计算，所得结果均不等于0，都不是方程的根。
【答案】
-3、-2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题是方程根定义的基础应用，核心考查代入验证法的使用，解题时只要准确计算代入后的代数式值即可得出正确结果，属于基础类习题。
【难度系数】
0.9
例2 若$x=3$是方程$x^2 + kx = 0$的一个根，试求常数k的值。
答案
例2 把x=3代入方程得$3^2 + 3k = 0$，即$9+3k=0$，解得k=-3。
解析
【分析】
解题时首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=3是给定方程的根，因此将x=3代入原方程后等式一定成立，此时原方程就转化为仅含未知数k的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
根据方程根的定义，把$x=3$代入方程$x^2 + kx = 0$，得：
$3^2 + 3k = 0$
整理计算得：$9 + 3k = 0$
移项得：$3k = -9$
系数化为1，解得：$k = -3$
【答案】
$k=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查方程根的定义的应用，通过代入已知根将求参数的问题转化为常见的一元一次方程求解问题，解题逻辑清晰易掌握。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=3是给定方程的根，因此将x=3代入原方程后等式一定成立，此时原方程就转化为仅含未知数k的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到k的值。
【解析】
根据方程根的定义，把$x=3$代入方程$x^2 + kx = 0$，得：
$3^2 + 3k = 0$
整理计算得：$9 + 3k = 0$
移项得：$3k = -9$
系数化为1，解得：$k = -3$
【答案】
$k=-3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查方程根的定义的应用，通过代入已知根将求参数的问题转化为常见的一元一次方程求解问题，解题逻辑清晰易掌握。
【难度系数】
0.9
变式 若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 2(m-1)x + m^2 -4 = 0$的一个根是0，则$m$的值为
-2
。答案
变式 -2
解析
【分析】
解题需结合两个核心条件推导：①已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程等式仍然成立，据此可列出关于m的方程，求出m的初步取值；②题目明确该方程是一元二次方程，需满足一元二次方程的核心限制：二次项系数不为0，据此对m的初步取值进行筛选，排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数 $ m-2 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 2 $
又
∵ x=0是方程的一个根，将x=0代入原方程得：
$ (m-2) × 0^2 + 2(m-1) × 0 + m^2 -4 = 0 $
整理得 $ m^2 - 4 = 0 $
解得 $ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
结合 $ m ≠ 2 $ 的限制条件，舍去m=2
∴ m的值为-2
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念类的常见易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接将代入求解得到的所有m值当作答案，做此类题时要注意先明确方程类型，对所求结果进行检验。
【难度系数】
0.6
解题需结合两个核心条件推导：①已知x=0是方程的根，根据方程根的定义，将x=0代入原方程等式仍然成立，据此可列出关于m的方程，求出m的初步取值；②题目明确该方程是一元二次方程，需满足一元二次方程的核心限制：二次项系数不为0，据此对m的初步取值进行筛选，排除不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数 $ m-2 ≠ 0 $，即 $ m ≠ 2 $
又
∵ x=0是方程的一个根，将x=0代入原方程得：
$ (m-2) × 0^2 + 2(m-1) × 0 + m^2 -4 = 0 $
整理得 $ m^2 - 4 = 0 $
解得 $ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
结合 $ m ≠ 2 $ 的限制条件，舍去m=2
∴ m的值为-2
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的定义
【点评】
本题是一元二次方程概念类的常见易错题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，直接将代入求解得到的所有m值当作答案，做此类题时要注意先明确方程类型，对所求结果进行检验。
【难度系数】
0.6
1. 下面哪些数是$x^2 - x - 6 = 0$的根？
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$
$-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$
答案
代入验证得x=-2和x=3是方程的根。
解析
【分析】要判断给定的数是不是一元二次方程的根，依据是一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题思路是将给出的每个数依次代入方程左边的代数式$x^2 - x - 6$中计算，若计算结果等于右边的0，那么这个数就是方程的根，反之则不是。
【解析】根据一元二次方程根的定义，将各数分别代入$x^2 - x - 6$计算：
当$x=-4$时，$(-4)^2 - (-4) -6 = 16 + 4 -6 = 14 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=-3$时，$(-3)^2 - (-3) -6 = 9 + 3 -6 = 6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=-2$时，$(-2)^2 - (-2) -6 = 4 + 2 -6 = 0$，是方程的根；
当$x=-1$时，$(-1)^2 - (-1) -6 = 1 + 1 -6 = -4 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=0$时，$0^2 - 0 -6 = -6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=1$时，$1^2 - 1 -6 = -6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=2$时，$2^2 - 2 -6 = 4 - 2 -6 = -4 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=3$时，$3^2 - 3 -6 = 9 - 3 -6 = 0$，是方程的根；
当$x=4$时，$4^2 - 4 -6 = 16 - 4 -6 = 6 ≠ 0$，不是方程的根。
【答案】$-2,3$
【知识点】1. 一元二次方程根的定义 2. 代数式求值
【点评】本题考查对一元二次方程根的概念的掌握，采用代入验证法即可快速求解，属于基础题型，核心是理解方程的根满足方程这一性质。
【难度系数】0.9
【解析】根据一元二次方程根的定义，将各数分别代入$x^2 - x - 6$计算：
当$x=-4$时，$(-4)^2 - (-4) -6 = 16 + 4 -6 = 14 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=-3$时，$(-3)^2 - (-3) -6 = 9 + 3 -6 = 6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=-2$时，$(-2)^2 - (-2) -6 = 4 + 2 -6 = 0$，是方程的根；
当$x=-1$时，$(-1)^2 - (-1) -6 = 1 + 1 -6 = -4 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=0$时，$0^2 - 0 -6 = -6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=1$时，$1^2 - 1 -6 = -6 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=2$时，$2^2 - 2 -6 = 4 - 2 -6 = -4 ≠ 0$，不是方程的根；
当$x=3$时，$3^2 - 3 -6 = 9 - 3 -6 = 0$，是方程的根；
当$x=4$时，$4^2 - 4 -6 = 16 - 4 -6 = 6 ≠ 0$，不是方程的根。
【答案】$-2,3$
【知识点】1. 一元二次方程根的定义 2. 代数式求值
【点评】本题考查对一元二次方程根的概念的掌握，采用代入验证法即可快速求解，属于基础题型，核心是理解方程的根满足方程这一性质。
【难度系数】0.9
2. 试写出 $x^2 - 2x = 0$ 的根，你能写出几个？
答案
因式分解得$x(x-2)=0$，根为$x_1=0$，$x_2=2$，共2个根。
解析
【分析】
这是一道求一元二次方程根的基础题，解题时先观察方程结构：左边是二次二项式，两项都含有公因式$x$，因此优先选择因式分解法求解。依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，可将二次方程降为两个一次方程，分别求解即可得到所有根，注意不能随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，因式分解得：
$x(x - 2) = 0$
根据“两式相乘值为0，至少其中一式值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；
当$x-2=0$时，解得$x=2$。
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$，共有2个根。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$，共2个根
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，用因式分解法求解更加简便，解题时要注意不能直接约去方程两边的$x$，否则会漏掉$x=0$这个根，熟练掌握基础解方程方法和注意事项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这是一道求一元二次方程根的基础题，解题时先观察方程结构：左边是二次二项式，两项都含有公因式$x$，因此优先选择因式分解法求解。依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理，可将二次方程降为两个一次方程，分别求解即可得到所有根，注意不能随意约去含未知数的公因式，避免漏根。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x = 0$左边提取公因式$x$，因式分解得：
$x(x - 2) = 0$
根据“两式相乘值为0，至少其中一式值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，满足方程；
当$x-2=0$时，解得$x=2$。
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=2$，共有2个根。
【答案】
$x_1=0$，$x_2=2$，共2个根
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求根的基础题型，用因式分解法求解更加简便，解题时要注意不能直接约去方程两边的$x$，否则会漏掉$x=0$这个根，熟练掌握基础解方程方法和注意事项即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3. 方程$x^2+4x+3=0$的两个根为(
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.$x_1=-1,x_2=-3$
D
)A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=1,x_2=-3$
D.$x_1=-1,x_2=-3$
答案
3. D
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的两个根，可优先选择简便的因式分解法求解，也可使用求根公式计算。首先观察方程左边的二次三项式$x^2+4x+3$，常数项3可拆为1和3的乘积，且$1+3=4$正好等于一次项系数，因此可以用十字相乘法将左边因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求出两个根；若对因式分解不熟练，也可代入一元二次方程求根公式直接计算。
【解析】
解法一：因式分解法
对等式左边因式分解，十字相乘可得：
$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
因此原方程转化为：
$(x+1)(x+3)=0$
根据乘法的性质，得：
$x+1=0$ 或 $x+3=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
解法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
本题中$a=1,b=4,c=3$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×3=16-12=4＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-4±2}{2}$
因此$x_1=\frac{-4+2}{2}=-1$，$x_2=\frac{-4-2}{2}=-3$
综上，方程的两个根为$x_1=-1,x_2=-3$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基本解法，熟练掌握因式分解、公式法等常用解法即可快速得到答案，其中因式分解法在适用时能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的两个根，可优先选择简便的因式分解法求解，也可使用求根公式计算。首先观察方程左边的二次三项式$x^2+4x+3$，常数项3可拆为1和3的乘积，且$1+3=4$正好等于一次项系数，因此可以用十字相乘法将左边因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理求出两个根；若对因式分解不熟练，也可代入一元二次方程求根公式直接计算。
【解析】
解法一：因式分解法
对等式左边因式分解，十字相乘可得：
$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$
因此原方程转化为：
$(x+1)(x+3)=0$
根据乘法的性质，得：
$x+1=0$ 或 $x+3=0$
分别解得：$x_1=-1$，$x_2=-3$
解法二：公式法
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
本题中$a=1,b=4,c=3$，先计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×3=16-12=4＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式得：
$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2×1}=\frac{-4±2}{2}$
因此$x_1=\frac{-4+2}{2}=-1$，$x_2=\frac{-4-2}{2}=-3$
综上，方程的两个根为$x_1=-1,x_2=-3$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的基本解法，熟练掌握因式分解、公式法等常用解法即可快速得到答案，其中因式分解法在适用时能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.9
4.若$x=1$是方程$x^2 - 2x + a = 0$的根，则$a=$
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知根x=1代入原方程，得到只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$x^2 - 2x + a = 0$的根，
∴将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 2×1 + a = 0$
计算化简得：$1 - 2 + a = 0$，即$-1 + a = 0$
解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确根一定满足原方程，代入后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此我们可以将已知根x=1代入原方程，得到只含未知数a的一元一次方程，解这个方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵$x=1$是方程$x^2 - 2x + a = 0$的根，
∴将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 2×1 + a = 0$
计算化简得：$1 - 2 + a = 0$，即$-1 + a = 0$
解得：$a = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确根一定满足原方程，代入后转化为一元一次方程求解即可，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
1. 方程$x(x-2)+x-2=0$的解是(
A.$x=2$
B.$x_1=-2,x_2=1$
C.$x=-1$
D.$x_1=2,x_2=-1$
D
)A.$x=2$
B.$x_1=-2,x_2=1$
C.$x=-1$
D.$x_1=2,x_2=-1$
答案
1. D
解析
【分析】
拿到本题不要直接展开方程化为一般式求解，先观察方程左边的结构：两项中都含有公因式$x-2$，因此可以优先选择因式分解法求解。首先提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，拆分为两个一元一次方程分别求解，即可得到方程的两个解，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x-2$，可得：
$(x-2)(x+1)=0$
根据乘法的性质，得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，$x_1=2$；
当$x+1=0$时，$x_2=-1$。
因此方程的解为$x_1=2,x_2=-1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题时优先观察方程的结构特征选择简便解法，熟练运用因式分解能大幅提升解题效率，避免展开计算可能出现的运算失误。
【难度系数】
0.8
拿到本题不要直接展开方程化为一般式求解，先观察方程左边的结构：两项中都含有公因式$x-2$，因此可以优先选择因式分解法求解。首先提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，拆分为两个一元一次方程分别求解，即可得到方程的两个解，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程左边提取公因式$x-2$，可得：
$(x-2)(x+1)=0$
根据乘法的性质，得：
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，$x_1=2$；
当$x+1=0$时，$x_2=-1$。
因此方程的解为$x_1=2,x_2=-1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，解题时优先观察方程的结构特征选择简便解法，熟练运用因式分解能大幅提升解题效率，避免展开计算可能出现的运算失误。
【难度系数】
0.8
2.若$x=1$是一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$的一个根，则$a^2 + b^2 + 2ab$的值为
1
。答案
2. 1
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，将x=1代入方程可得到a与b的和的关系式；再观察所求代数式的结构，符合完全平方和公式的展开形式，对代数式因式分解后，将a与b的和的数值代入即可求出结果。
【解析】
第一步：根据一元二次方程根的定义，把x=1代入方程$x^2 + ax + b = 0$，可得：
$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得：$a + b = -1$
第二步：化简所求代数式，根据完全平方和公式：
$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
第三步：将$a + b = -1$代入上式，得：
$(a + b)^2 = (-1)^2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；完全平方公式
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题核心是先结合方程根的性质得到参数的关系，再利用公式对所求式子变形，整体代入求解，无需单独计算a、b的具体数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，将x=1代入方程可得到a与b的和的关系式；再观察所求代数式的结构，符合完全平方和公式的展开形式，对代数式因式分解后，将a与b的和的数值代入即可求出结果。
【解析】
第一步：根据一元二次方程根的定义，把x=1代入方程$x^2 + ax + b = 0$，可得：
$1^2 + a×1 + b = 0$
整理得：$a + b = -1$
第二步：化简所求代数式，根据完全平方和公式：
$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$
第三步：将$a + b = -1$代入上式，得：
$(a + b)^2 = (-1)^2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义；完全平方公式
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题核心是先结合方程根的性质得到参数的关系，再利用公式对所求式子变形，整体代入求解，无需单独计算a、b的具体数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
3.若$x^2 - 2x = 2$，则$2x^2 -4x +3 =$
7
.答案
3. 7
解析
【分析】
观察所求代数式与已知等式的结构特征，可发现所求代数式的前两项$2x^2-4x$提取公因式2后，恰好是已知等式左边$x^2-2x$的2倍，因此无需计算$x$的具体取值，采用整体代入法即可快速求出结果。
【解析】
已知$x^2 - 2x = 2$，
对$2x^2 -4x +3$变形可得：
$2x^2 -4x +3 = 2(x^2 - 2x) + 3$
将$x^2 - 2x = 2$代入上式：
原式$= 2×2 + 3 = 4 + 3 = 7$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，解题核心是找到所求式子与已知条件的关联，运用整体代入法可简化计算过程，规避求解方程的多余步骤，该方法是代数式求值中的常用技巧。
【难度系数】
0.9
观察所求代数式与已知等式的结构特征，可发现所求代数式的前两项$2x^2-4x$提取公因式2后，恰好是已知等式左边$x^2-2x$的2倍，因此无需计算$x$的具体取值，采用整体代入法即可快速求出结果。
【解析】
已知$x^2 - 2x = 2$，
对$2x^2 -4x +3$变形可得：
$2x^2 -4x +3 = 2(x^2 - 2x) + 3$
将$x^2 - 2x = 2$代入上式：
原式$= 2×2 + 3 = 4 + 3 = 7$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，解题核心是找到所求式子与已知条件的关联，运用整体代入法可简化计算过程，规避求解方程的多余步骤，该方法是代数式求值中的常用技巧。
【难度系数】
0.9
4. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$有一个非零根$-b$，则$a - b$的值为
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此我们先将已知根$x=-b$代入原方程，得到关于$a$、$b$的等式；再结合题目给出的根是非零根的条件，对等式进行化简，最终即可求出$a-b$的值。
【解析】
∵ $x=-b$ 是一元二次方程 $x^2 + ax + b = 0$ 的非零根
∴ 将 $x=-b$ 代入方程，等式成立，即：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式$b$可得：$b(b - a + 1) = 0$
∵ 根$-b$是非零根，即$-b≠0$，$\therefore b≠0$
∴ 等式两边同时除以$b$，得：$b - a + 1 = 0$
移项整理得：$a - b = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解的应用
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握方程根的定义，将已知根代入方程得到参数间的关系式，解题时要注意利用非零根的条件，避免出现除以0的错误。
【难度系数】
0.8
根据一元二次方程根的定义，方程的根代入方程可使等式成立，因此我们先将已知根$x=-b$代入原方程，得到关于$a$、$b$的等式；再结合题目给出的根是非零根的条件，对等式进行化简，最终即可求出$a-b$的值。
【解析】
∵ $x=-b$ 是一元二次方程 $x^2 + ax + b = 0$ 的非零根
∴ 将 $x=-b$ 代入方程，等式成立，即：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
整理得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式$b$可得：$b(b - a + 1) = 0$
∵ 根$-b$是非零根，即$-b≠0$，$\therefore b≠0$
∴ 等式两边同时除以$b$，得：$b - a + 1 = 0$
移项整理得：$a - b = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解的应用
3. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握方程根的定义，将已知根代入方程得到参数间的关系式，解题时要注意利用非零根的条件，避免出现除以0的错误。
【难度系数】
0.8
5. 写出下列方程的解：
(1)$x^2 -4=0$；
(2)$16x^2=1$；
(3)$49x^2=81$；
(4)$x^2=5$。
(1)$x^2 -4=0$；
(2)$16x^2=1$；
(3)$49x^2=81$；
(4)$x^2=5$。
答案
5. (1)$x_1 = 2,x_2 = -2$;(2)$x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{1}{4}$;(3)$x_1 = \frac{9}{7},x_2 = -\frac{9}{7}$;(4)$x_1 = \sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$.
解析
【分析】
这4个方程均为不含一次项的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先通过移项、系数化为1，将方程整理为$x^2=p$（$p≥0$）的形式；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对$x^2=p$开平方即可得到两个解$x=\pm\sqrt{p}$，注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$x^2=4$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
(2) 系数化为1得：$x^2=\frac{1}{16}$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{16}}=\pm\frac{1}{4}$，
即$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$。
(3) 系数化为1得：$x^2=\frac{81}{49}$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{81}{49}}=\pm\frac{9}{7}$，
即$x_1=\frac{9}{7},x_2=-\frac{9}{7}$。
(4) 直接开平方得：$x=\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$x_1 = 2,x_2 = -2$;(2)$x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{1}{4}$;(3)$x_1 = \frac{9}{7},x_2 = -\frac{9}{7}$;(4)$x_1 = \sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
这4个方程均为不含一次项的一元二次方程，适合用直接开平方法求解。解题思路为：首先通过移项、系数化为1，将方程整理为$x^2=p$（$p≥0$）的形式；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对$x^2=p$开平方即可得到两个解$x=\pm\sqrt{p}$，注意不要遗漏负根。
【解析】
(1) 移项得：$x^2=4$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
(2) 系数化为1得：$x^2=\frac{1}{16}$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{16}}=\pm\frac{1}{4}$，
即$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$。
(3) 系数化为1得：$x^2=\frac{81}{49}$，
开平方得：$x=\pm\sqrt{\frac{81}{49}}=\pm\frac{9}{7}$，
即$x_1=\frac{9}{7},x_2=-\frac{9}{7}$。
(4) 直接开平方得：$x=\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)$x_1 = 2,x_2 = -2$;(2)$x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{1}{4}$;(3)$x_1 = \frac{9}{7},x_2 = -\frac{9}{7}$;(4)$x_1 = \sqrt{5},x_2 = -\sqrt{5}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
6.若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，$a,b,c$满足$4a+2b+c=0$和$4a-2b+c=0$，则方程的根是(
A.$2,-2$
B.$1,-1$
C.$1,0$
D.$-1,0$
A
)A.$2,-2$
B.$1,-1$
C.$1,0$
D.$-1,0$
答案
6. A
解析
【分析】
解题可从两个符合学段要求的思路入手：思路一：利用一元二次方程根的定义，根就是代入方程后能使等式成立的未知数的值，观察题目给出的两个等式，对比方程$ax^2+bx+c=0$的左边形式，直接判断$x$取何值时能匹配已知等式即可。思路二：通过已知的两个等式消元，先求出$b$、$c$与$a$的关系，再代入原方程求解得到根。
【解析】
方法一（根的定义法）：
根据一元二次方程根的定义，若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则代入后等式$ax^2+bx+c=0$成立。
当$x=2$时，代入方程左边得：$a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c$，已知$4a+2b+c=0$，因此$x=2$是方程的根；
当$x=-2$时，代入方程左边得：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，已知$4a-2b+c=0$，因此$x=-2$是方程的根。
综上，方程的根为$2$和$-2$。
方法二（消元求解法）：
将已知的两个等式相减：
$(4a+2b+c)-(4a-2b+c)=0-0$
化简得$4b=0$，即$b=0$；
把$b=0$代入$4a+2b+c=0$，得$4a+c=0$，即$c=-4a$；
将$b=0$、$c=-4a$代入原方程$ax^2+bx+c=0$，得：
$ax^2-4a=0$
$\because a≠0$，方程两边同时除以$a$得$x^2-4=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$，即方程的根为$2$和$-2$。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，既可以通过根的定义快速验证得到答案，也可以通过消元计算求解，熟练运用根的定义可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可从两个符合学段要求的思路入手：思路一：利用一元二次方程根的定义，根就是代入方程后能使等式成立的未知数的值，观察题目给出的两个等式，对比方程$ax^2+bx+c=0$的左边形式，直接判断$x$取何值时能匹配已知等式即可。思路二：通过已知的两个等式消元，先求出$b$、$c$与$a$的关系，再代入原方程求解得到根。
【解析】
方法一（根的定义法）：
根据一元二次方程根的定义，若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则代入后等式$ax^2+bx+c=0$成立。
当$x=2$时，代入方程左边得：$a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c$，已知$4a+2b+c=0$，因此$x=2$是方程的根；
当$x=-2$时，代入方程左边得：$a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，已知$4a-2b+c=0$，因此$x=-2$是方程的根。
综上，方程的根为$2$和$-2$。
方法二（消元求解法）：
将已知的两个等式相减：
$(4a+2b+c)-(4a-2b+c)=0-0$
化简得$4b=0$，即$b=0$；
把$b=0$代入$4a+2b+c=0$，得$4a+c=0$，即$c=-4a$；
将$b=0$、$c=-4a$代入原方程$ax^2+bx+c=0$，得：
$ax^2-4a=0$
$\because a≠0$，方程两边同时除以$a$得$x^2-4=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$，即方程的根为$2$和$-2$。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，既可以通过根的定义快速验证得到答案，也可以通过消元计算求解，熟练运用根的定义可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
