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1. 设$a$，$b$，$c$是三个互不相同的正数，如果$\frac{a - c}{b} = \frac{c}{a + b} = \frac{b}{a}$，那么（）.
A.$3b=2c$
B.$3a=2b$
C.$2b=c$
D.$2a=b$
A.$3b=2c$
B.$3a=2b$
C.$2b=c$
D.$2a=b$
答案
A
解析
【分析】
本题给出连等的比例式，且a、b、c均为互不相同的正数，可优先利用比例的等比性质求解公共比值：首先根据等比性质，将所有比例的分子相加、分母相加，所得比值等于原比例的公共比值，先求出公共比值，再将公共比值代入原式推导a、b、c的数量关系，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
设$\frac{a - c}{b} = \frac{c}{a + b} = \frac{b}{a} = k$，
∵a、b、c均为正数，
∴$a+b≠0$，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a - c)+c + b}{b + (a + b) + a}=\frac{a + b}{2a + 2b}=\frac{a + b}{2(a + b)}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，即$a=2b$，
将$a=2b$代入$\frac{c}{a + b}=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{c}{2b + b}=\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{3b}=\frac{1}{2}$，
交叉相乘得$2c=3b$，即$3b=2c$。
【答案】
A
【知识点】
比例的等比性质；比例的基本性质
【点评】
本题核心是比例性质的应用，解题关键是借助连等比例的特征合理运用等比性质快速求出公共比值，注意使用等比性质时要保证分母之和不为0，题干给出的正数条件可直接满足该要求，整体解题思路清晰，属于比例线段章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
本题给出连等的比例式，且a、b、c均为互不相同的正数，可优先利用比例的等比性质求解公共比值：首先根据等比性质，将所有比例的分子相加、分母相加，所得比值等于原比例的公共比值，先求出公共比值，再将公共比值代入原式推导a、b、c的数量关系，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
设$\frac{a - c}{b} = \frac{c}{a + b} = \frac{b}{a} = k$，
∵a、b、c均为正数，
∴$a+b≠0$，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a - c)+c + b}{b + (a + b) + a}=\frac{a + b}{2a + 2b}=\frac{a + b}{2(a + b)}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，即$a=2b$，
将$a=2b$代入$\frac{c}{a + b}=\frac{1}{2}$，得：
$\frac{c}{2b + b}=\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{3b}=\frac{1}{2}$，
交叉相乘得$2c=3b$，即$3b=2c$。
【答案】
A
【知识点】
比例的等比性质；比例的基本性质
【点评】
本题核心是比例性质的应用，解题关键是借助连等比例的特征合理运用等比性质快速求出公共比值，注意使用等比性质时要保证分母之和不为0，题干给出的正数条件可直接满足该要求，整体解题思路清晰，属于比例线段章节的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
2. 如果三条线段的长$a$，$b$，$c$满足$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，那么$(a,b,c)$叫作黄金线段组.黄金线段组中的三条线段().
A.必构成锐角三角形
B.必构成直角三角形
C.必构成钝角三角形
D.不能构成三角形
A.必构成锐角三角形
B.必构成直角三角形
C.必构成钝角三角形
D.不能构成三角形
答案
D
解析
【分析】要判断三条线段能否构成三角形及构成三角形的形状，首先需依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，优先验证较短两边之和与最长边的大小关系。我们可根据题目给出的比例关系，将b、c都用含a的代数式表示，再计算较短两条线段的和，与最长边a比较大小即可得出结论。
【解析】已知$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
根据比例的基本性质可得：
$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$，将$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$代入上式得：
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × \frac{\sqrt{5}-1}{2}a = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}a = \frac{5 - 2\sqrt{5} +1}{4}a = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}a = \frac{3-\sqrt{5}}{2}a$。
比较三条线段长度可知a为最长边，计算较短两边b、c的和：
$b + c = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a + \frac{3-\sqrt{5}}{2}a = \frac{(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})}{2}a = \frac{2}{2}a = a$。
根据三角形三边关系，构成三角形需满足任意两边之和大于第三边，此处$b+c=a$，不满足构成三角形的条件，因此三条线段不能构成三角形。
【答案】D
【知识点】比例的性质，三角形三边关系
【点评】本题易错点是未优先验证三角形三边关系，直接尝试判断三角形的角的类型导致错选，解题时需先判断三条线段能否构成三角形，再进行后续分析。
【难度系数】0.7
【解析】已知$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
根据比例的基本性质可得：
$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2}b$，将$b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$代入上式得：
$c=\frac{\sqrt{5}-1}{2} × \frac{\sqrt{5}-1}{2}a = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}a = \frac{5 - 2\sqrt{5} +1}{4}a = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}a = \frac{3-\sqrt{5}}{2}a$。
比较三条线段长度可知a为最长边，计算较短两边b、c的和：
$b + c = \frac{\sqrt{5}-1}{2}a + \frac{3-\sqrt{5}}{2}a = \frac{(\sqrt{5}-1)+(3-\sqrt{5})}{2}a = \frac{2}{2}a = a$。
根据三角形三边关系，构成三角形需满足任意两边之和大于第三边，此处$b+c=a$，不满足构成三角形的条件，因此三条线段不能构成三角形。
【答案】D
【知识点】比例的性质，三角形三边关系
【点评】本题易错点是未优先验证三角形三边关系，直接尝试判断三角形的角的类型导致错选，解题时需先判断三条线段能否构成三角形，再进行后续分析。
【难度系数】0.7
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=15$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交边$DC$的延长线于点$F$，$BG⊥ AE$于点$G$。若$BG=8$，则$△ CEF$的周长为（）。
A.16
B.17
C.24
D.25
A.16
B.17
C.24
D.25
答案
A
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推出△ABE是等腰三角形，得到BE的长度，进而求出EC的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出AE的长度，得到△ABE的周长；最后由AB//CF可得△CEF与△BEA相似，结合相似三角形周长比等于相似比，即可求出△CEF的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB//DC，AB=CD=10，AD=BC=15
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=10
∴EC=BC-BE=15-10=5
∵BG⊥AE，△ABE是等腰三角形
∴G是AE中点，AG=GE
在Rt△ABG中，AB=10，BG=8
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB//DF，
∴∠BAE=∠F，又∠AEB=∠FEC
∴△CEF∽△BEA，相似比为$EC:BE=5:10=1:2$
∵相似三角形周长比等于相似比
∴△CEF的周长=△ABE的周长×$\frac{1}{2}$=32×$\frac{1}{2}$=16
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形、相似三角形的相关性质，解题的关键是先推出等腰三角形求出相关线段长度，再利用相似三角形的周长比等于相似比求解，属于典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义，可推出△ABE是等腰三角形，得到BE的长度，进而求出EC的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出AE的长度，得到△ABE的周长；最后由AB//CF可得△CEF与△BEA相似，结合相似三角形周长比等于相似比，即可求出△CEF的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AB//DC，AB=CD=10，AD=BC=15
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=10
∴EC=BC-BE=15-10=5
∵BG⊥AE，△ABE是等腰三角形
∴G是AE中点，AG=GE
在Rt△ABG中，AB=10，BG=8
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴AE=2AG=12
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=10+10+12=32
∵AB//DF，
∴∠BAE=∠F，又∠AEB=∠FEC
∴△CEF∽△BEA，相似比为$EC:BE=5:10=1:2$
∵相似三角形周长比等于相似比
∴△CEF的周长=△ABE的周长×$\frac{1}{2}$=32×$\frac{1}{2}$=16
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了平行四边形、等腰三角形、相似三角形的相关性质，解题的关键是先推出等腰三角形求出相关线段长度，再利用相似三角形的周长比等于相似比求解，属于典型的几何综合基础题。
【难度系数】
0.6
4. 若$\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{6}=\frac{c+a}{9}(abc≠0)$，则$a:b:c=$；若$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$，且$a+b-c≠0$，则$\frac{a+b+c}{a+b-c}=$
答案
$\boldsymbol{5:2:4}$；$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
对于第一个填空，遇到连等的比例式，可采用设参数k的方法，将比例式转化为三个关于a、b、c、k的等式，联立求出a、b、c分别与k的关系，即可得到三者的比值；对于第二个填空，同样设连等比例的比值为k，通过等式推导得出a、b、c的数量关系，再代入所求代数式计算即可，解题时注意题目给出的不为0的约束条件，排除分母为0的情况。
【解析】
1. 求$a:b:c$的值：
设$\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{6}=\frac{c+a}{9}=k$（$k≠0$），可得：
$\begin{cases}a+b=7k \quad ① \\ b+c=6k \quad ② \\ c+a=9k \quad ③\end{cases}$
将①+②+③得：$2(a+b+c)=22k$，即$a+b+c=11k$ ④
用④分别减去①②③：
$c=11k-7k=4k$，$a=11k-6k=5k$，$b=11k-9k=2k$
因为$abc≠0$，故$k≠0$，因此$a:b:c=5k:2k:4k=5:2:4$。
2. 求$\frac{a+b+c}{a+b-c}$的值：
设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$（$k≠0$），则$a=bk$，$b=ck$，$c=ak$，将三式相乘得：$abc=abck^3$。
因为$abc≠0$，两边同时除以$abc$得$k^3=1$，解得$k=1$，因此$a=b=c$。
又因为$a+b-c≠0$，代入代数式得：
$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a+a+a}{a+a-a}=\frac{3a}{a}=3$。
【答案】
$5:2:4$；$3$
【知识点】
比例的基本性质，参数法解比例，代数式求值
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，设参数k是解决连等比例式的常用通用方法，解题时要注意题目给出的分母不为0的限制条件，避免运算无意义，属于比例相关的基础常规题型，掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
对于第一个填空，遇到连等的比例式，可采用设参数k的方法，将比例式转化为三个关于a、b、c、k的等式，联立求出a、b、c分别与k的关系，即可得到三者的比值；对于第二个填空，同样设连等比例的比值为k，通过等式推导得出a、b、c的数量关系，再代入所求代数式计算即可，解题时注意题目给出的不为0的约束条件，排除分母为0的情况。
【解析】
1. 求$a:b:c$的值：
设$\frac{a+b}{7}=\frac{b+c}{6}=\frac{c+a}{9}=k$（$k≠0$），可得：
$\begin{cases}a+b=7k \quad ① \\ b+c=6k \quad ② \\ c+a=9k \quad ③\end{cases}$
将①+②+③得：$2(a+b+c)=22k$，即$a+b+c=11k$ ④
用④分别减去①②③：
$c=11k-7k=4k$，$a=11k-6k=5k$，$b=11k-9k=2k$
因为$abc≠0$，故$k≠0$，因此$a:b:c=5k:2k:4k=5:2:4$。
2. 求$\frac{a+b+c}{a+b-c}$的值：
设$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=k$（$k≠0$），则$a=bk$，$b=ck$，$c=ak$，将三式相乘得：$abc=abck^3$。
因为$abc≠0$，两边同时除以$abc$得$k^3=1$，解得$k=1$，因此$a=b=c$。
又因为$a+b-c≠0$，代入代数式得：
$\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a+a+a}{a+a-a}=\frac{3a}{a}=3$。
【答案】
$5:2:4$；$3$
【知识点】
比例的基本性质，参数法解比例，代数式求值
【点评】
本题重点考查比例性质的应用，设参数k是解决连等比例式的常用通用方法，解题时要注意题目给出的分母不为0的限制条件，避免运算无意义，属于比例相关的基础常规题型，掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$□ ABCD$中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则$\frac{EF}{AF}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
解析
【分析】
首先利用平行四边形的性质得到对边平行、对角线互相平分的结论；再由DC//AB可证△DFE与△BAE相似，结合E是OD中点、O是BD中点，可推出两个相似三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，得到EF与AE的比值，进一步换算即可得到EF与AF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，OD=OB（平行四边形对边平行，对角线互相平分）。
∵E为OD的中点，
∴$DE=EO=\frac{1}{2}OD$，
∴$DE:EB = DE:(EO+OB) = DE:(DE + 2DE) = 1:3$。
∵DC//AB，
∴∠FDE=∠ABE，∠DFE=∠BAE，
∴△DFE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$EF:AE = DE:BE = 1:3$。
设$EF=x$，则$AE=3x$，
∴$AF=AE+EF=3x+x=4x$，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，比例线段
【点评】
本题是比例线段的常见应用题型，解题的关键是结合平行四边形的平行性质构造相似三角形，再根据线段的数量关系确定相似比，进而求得对应线段的比例，难度适中，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先利用平行四边形的性质得到对边平行、对角线互相平分的结论；再由DC//AB可证△DFE与△BAE相似，结合E是OD中点、O是BD中点，可推出两个相似三角形的相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，得到EF与AE的比值，进一步换算即可得到EF与AF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，OD=OB（平行四边形对边平行，对角线互相平分）。
∵E为OD的中点，
∴$DE=EO=\frac{1}{2}OD$，
∴$DE:EB = DE:(EO+OB) = DE:(DE + 2DE) = 1:3$。
∵DC//AB，
∴∠FDE=∠ABE，∠DFE=∠BAE，
∴△DFE∽△BAE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$EF:AE = DE:BE = 1:3$。
设$EF=x$，则$AE=3x$，
∴$AF=AE+EF=3x+x=4x$，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，比例线段
【点评】
本题是比例线段的常见应用题型，解题的关键是结合平行四边形的平行性质构造相似三角形，再根据线段的数量关系确定相似比，进而求得对应线段的比例，难度适中，考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图，AD为$△ ABC$的角平分线，$DE // AB$交AC于点E，如果$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，则$\frac{AC}{AB}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，结合角平分线定义和平行线的性质，推导得到∠ADE=∠CAD，判定△ADE是等腰三角形，得到AE=DE；第二步，根据DE//AB，利用平行线分线段成比例定理，得到$\frac{DC}{BD}=\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$；第三步，根据角平分线定理，角平分线分对边的比等于邻边的比，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，代入比值即可求出$\frac{AC}{AB}$的结果。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ BAD=∠ ADE$，
∴$∠ ADE=∠ CAD$，
∴$AE=DE$，
∵$DE// AB$，由平行线分线段成比例可得：
$\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}$，
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DC}{BD}=\frac{5}{3}$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$，
根据角平分线定理：AD平分$∠ BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$
【知识点】
角平分线定理，平行线的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例线段的基础应用题目，解题的核心是利用平行线和角平分线的性质得到线段比例关系，再结合角平分线定理即可快速求解，需要熟练掌握几何中常见的能推出比例关系的模型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，结合角平分线定义和平行线的性质，推导得到∠ADE=∠CAD，判定△ADE是等腰三角形，得到AE=DE；第二步，根据DE//AB，利用平行线分线段成比例定理，得到$\frac{DC}{BD}=\frac{EC}{AE}=\frac{5}{3}$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$；第三步，根据角平分线定理，角平分线分对边的比等于邻边的比，即$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，代入比值即可求出$\frac{AC}{AB}$的结果。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的角平分线，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
∵$DE// AB$，
∴$∠ BAD=∠ ADE$，
∴$∠ ADE=∠ CAD$，
∴$AE=DE$，
∵$DE// AB$，由平行线分线段成比例可得：
$\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}$，
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DC}{BD}=\frac{5}{3}$，即$\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$，
根据角平分线定理：AD平分$∠ BAC$，则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$
【知识点】
角平分线定理，平行线的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例线段的基础应用题目，解题的核心是利用平行线和角平分线的性质得到线段比例关系，再结合角平分线定理即可快速求解，需要熟练掌握几何中常见的能推出比例关系的模型。
【难度系数】
0.7
