三、解答题
7. 如图，在线段AB上求作点C，使得AC：BC=2：1.(保留作图痕迹)

解：
作图步骤如下：
1. 过点A作任意一条与AB不共线的射线AM；
2. 在射线AM上顺次截取AD = DE = EF，使AD、DE、EF长度相等；
3. 连接FB，过点E作EC//FB，交AB于点C。
点C即为所求作的点，满足AC:BC=2:1，保留所有作图痕迹即可。

【分析】
要得到AC:BC=2:1，本质是将线段AB按2:1的比例分割，可利用平行线分线段成比例的性质转移比例关系。首先过A作一条不与AB重合的射线，在射线上顺次截取3段等长的线段，使前两段总长与第三段的比为2:1，再通过作平行线即可将该比例对应到AB上，得到符合要求的点C。
【解析】
1. 过点A作任意一条与AB不共线的射线AM；
2. 使用圆规在射线AM上顺次截取AD = DE = EF，保证三段长度相等；
3. 连接FB，过点E作EC//FB，交AB于点C。
根据平行线分线段成比例定理，可得AE:EF=AC:BC=2:1，因此点C满足题目要求。
【答案】
作图步骤如下：
1. 过点A作任意一条与AB不共线的射线AM；
2. 在射线AM上顺次截取AD = DE = EF，使AD、DE、EF长度相等；
3. 连接FB，过点E作EC//FB，交AB于点C。
点C即为所求作的点，保留所有作图痕迹即可。
【知识点】
平行线分线段成比例、尺规作图
【点评】
本题是基础的比例分割作图题，考察对平行线分线段成比例性质的应用，作图时要注意截取的等长线段长度一致，平行线绘制规范，按要求保留所有作图痕迹即可。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$中,D为边AC上一点,E为边CB延长线上一点,且$\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{FD}$, DG // AB. 求证:AD=EB.

证明：
∵ $DG // AB$，
∴ $△ EFB ∽ △ EDG$，得 $\frac{EF}{FD}=\frac{EB}{BG}$。
又∵ $DG // AB$，由平行线分线段成比例得 $\frac{AD}{DC}=\frac{BG}{GC}$，
根据比例的合比性质：$\frac{AD}{AD+DC}=\frac{BG}{BG+GC}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{BG}{BC}$，
变形得 $\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BG}$。
已知 $\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{FD}$，
∴ $\frac{AD}{BG}=\frac{EB}{BG}$，
∴ $AD=EB$。

【分析】
要证明AD=EB，可结合已知的平行线条件和比例关系推导：首先由DG//AB，可分别在△EDG和△ABC中得到相关的比例式：一是△EFB与△EDG相似，将$\frac{EF}{FD}$转化为$\frac{EB}{BG}$；二是由平行线分线段成比例，将$\frac{AC}{BC}$转化为$\frac{AD}{BG}$。再结合已知$\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{FD}$，即可得到AD与EB的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $DG // AB$，
∴ $△ EFB ∽ △ EDG$，得 $\frac{EF}{FD}=\frac{EB}{BG}$。
又
∵ $DG // AB$，由平行线分线段成比例得 $\frac{AD}{DC}=\frac{BG}{GC}$，
根据比例的合比性质：$\frac{AD}{AD+DC}=\frac{BG}{BG+GC}$，即 $\frac{AD}{AC}=\frac{BG}{BC}$，
变形得 $\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BG}$。
已知 $\frac{AC}{BC}=\frac{EF}{FD}$，
∴ $\frac{AD}{BG}=\frac{EB}{BG}$，
∴ $AD=EB$。
【答案】
$AD=EB$，得证
【知识点】
平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、比例的性质
【点评】
本题是比例线段的典型应用题，解题关键是利用平行线构造比例关系，通过中间比传递等量，进而证明线段相等，熟练掌握平行线相关的比例性质能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7

9. 如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD=4DE，连接BE并延长交AC于点F，求AF：FC的值.

解：过点D作DG//BF，交AC于点G。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
∵DG//BF，
∴由平行线分线段成比例定理可得CG=FG。
∵AD=4DE，
∴AE=AD-DE=3DE，即$\frac{AE}{DE}=3$。
∵EF//DG，
∴在△ADG中，$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}=3$，即$AF=3FG$。
又∵FC=FG+CG=2FG，
∴$AF:FC=3FG:2FG=3:2$。

【分析】
要求AF:FC的值，已知AD是△ABC的中线、AD=4DE，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的基本图形求解。首先过点D作DG//BF交AC于点G，一方面利用D是BC中点，结合DG//BF可得G是FC中点，即FG=CG；另一方面结合AD与DE的数量关系，得到AE与DE的比例，再利用EF//DG得到AF与FG的比例，最后将AF、FC都用FG表示，即可求出比值。
【解析】
解：过点D作DG//BF，交AC于点G。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC。
∵DG//BF，
∴由平行线分线段成比例定理可得CG=FG。
∵AD=4DE，
∴AE=AD-DE=3DE，即$\frac{AE}{DE}=3$。
∵EF//DG，
∴在△ADG中，$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}=3$，即$AF=3FG$。
又
∵FC=FG+CG=2FG，
∴$AF:FC=3FG:2FG=3:2$。
【答案】
$3:2$
【知识点】
平行线分线段成比例，三角形中线，比例线段计算
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，解题的关键是合理添加平行线辅助线，结合中线的性质转化线段间的比例关系，进而求出所求线段的比值，能够很好地考查学生对比例相关定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6