三、解答题
7. 如图，AB // CD // EF，AC与BD相交于点E.若CE=4，CF=3，AE=BC.
（1）求AE的长；
（2）若BE=10，求DE的长.

解：
（1）设AE的长为$x$。
$\because AE=BC$，
$\therefore BC=x$，
$\therefore BF=BC-CF=x-3$。
$\because EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}$，
将$CE=4$，$CF=3$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{3}{x-3}$
去分母得：$4(x-3)=3x$，
解得：$x=12$，
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
$\therefore AE$的长为$12$。
（2）$\because AB// CD$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{CE}{AE}$，
将$BE=10$，$CE=4$，$AE=12$代入得：
$\frac{DE}{10}=\frac{4}{12}$
解得：$DE=\frac{10}{3}$。
答：（1）$AE$的长为$12$；（2）$DE$的长为$\frac{10}{3}$。

【分析】
（1）要求AE的长，已知AE=BC，结合EF//AB的条件，可利用平行线分线段成比例定理得到线段比例关系$\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}$。我们设AE的长度为$x$，则$BC=x$，$BF=BC-CF=x-3$，代入比例式即可得到关于$x$的分式方程，解方程并检验即可求出AE的长。
（2）要求DE的长，已知AB//CD，同样利用平行线分线段成比例定理可得$\frac{DE}{BE}=\frac{CE}{AE}$，将第一问求出的AE长度和已知的BE、CE长度代入比例式，计算即可得到DE的长度。
【解析】
（1）设AE的长为$x$。
$\because AE=BC$，
$\therefore BC=x$，
$\therefore BF=BC-CF=x-3$。
$\because EF// AB$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore \frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}$，
将$CE=4$，$CF=3$代入得：
$\frac{4}{x}=\frac{3}{x-3}$
去分母得：$4(x-3)=3x$，
解得：$x=12$，
经检验，$x=12$是原分式方程的解，且符合实际意义。
$\therefore AE$的长为12。
（2）$\because AB// CD$，根据平行线分线段成比例定理，
$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{CE}{AE}$，
将$BE=10$，$CE=4$，$AE=12$代入得：
$\frac{DE}{10}=\frac{4}{12}$
解得：$DE=\frac{10}{3}$。
【答案】
（1）$\boxed{12}$；（2）$\boxed{\dfrac{10}{3}}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；分式方程的解法；比例的性质
【点评】
本题是比例线段应用的基础题型，核心是结合平行条件找到对应的成比例线段，通过设未知数列方程的方式求解，解题时要注意分式方程需要检验，同时要准确对应比例式中的线段，避免混淆线段关系出错。
【难度系数】
0.7

8. 如图，在$□ ABCD$中，E是边BA延长线上一点，CE交DB于点G，交AD于点F，求证：
$\frac{CG}{GE}=\frac{GF}{CG}$。

证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$。
由$CD// BE$，根据平行线分线段成比例的推论，可得：
$\frac{CG}{GE}=\frac{DG}{GB}$
由$AD// BC$，同理可得：
$\frac{GF}{CG}=\frac{DG}{GB}$
∴ $\frac{CG}{GE}=\frac{GF}{CG}$。

【分析】
要证明$\frac{CG}{GE}=\frac{GF}{CG}$，可通过寻找共同的中间比完成推导。首先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行关系，再结合平行线分线段成比例的推论，分别将待证等式左右两边的比例式与同一个中间比$\frac{DG}{GB}$建立相等关系，最后通过等量代换即可得到结论。思考路径：先回忆平行四边形性质得到$AB// CD$、$AD// BC$，再分别由两组平行关系推导出对应的比例式，找到公共的中间比后代换即可。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$。
由$CD// BE$，根据平行线分线段成比例的推论，可得：
$\frac{CG}{GE}=\frac{DG}{GB}$
由$AD// BC$，同理可得：
$\frac{GF}{CG}=\frac{DG}{GB}$
∴ $\frac{CG}{GE}=\frac{GF}{CG}$
【答案】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$。
由$CD// BE$，根据平行线分线段成比例的推论，可得：
$\frac{CG}{GE}=\frac{DG}{GB}$
由$AD// BC$，同理可得：
$\frac{GF}{CG}=\frac{DG}{GB}$
∴ $\frac{CG}{GE}=\frac{GF}{CG}$。
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例、等量代换
【点评】
本题是比例线段证明的基础题型，解题的关键是利用平行关系找到合适的中间比，将待证的两个比例式关联起来，这种用中间比代换的方法是解决比例相等问题的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,D为边BC的中点,E为边AC上的任意一点,BE交AD于点O,且$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{n}$,求$\frac{AO}{OD}$的值.

解：
过点D作$DF// BE$，交AC于点F。
∵ D为BC的中点，且$DF// BE$，
∴ F是EC的中点，即$EF=FC=\frac{1}{2}EC$。
已知$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{n}$，可得$EC=n· AE$，
∴ $EF=\frac{1}{2}· n· AE=\frac{n}{2}AE$。
又∵ $OE// DF$，由平行线分线段成比例定理得：
$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EF}=\frac{AE}{\frac{n}{2}· AE}=\frac{2}{n}$。
最终$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{n}$。

【分析】
本题是三角形内线段比例求解问题，已知D为BC中点、$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{n}$，要求$\frac{AO}{OD}$的值。解题时可通过构造平行辅助线转化比例关系：首先过D作BE的平行线交AC于F，结合D是BC中点的性质，可得到F为EC中点，即可用含AE的式子表示EF的长度；再根据OE与DF平行的关系，利用平行线分线段成比例定理，将$\frac{AO}{OD}$转化为$\frac{AE}{EF}$，代入化简即可得到结果。
【解析】
过点D作$DF// BE$，交AC于点F。
∵ D为BC的中点，且$DF// BE$，
根据平行线分线段成比例定理，可得F是EC的中点，即$EF=FC=\frac{1}{2}EC$。
已知$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{n}$，变形得$EC=n· AE$，
∴ $EF=\frac{1}{2}· n· AE=\frac{n}{2}AE$。
又
∵ $OE// DF$，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AO}{OD}=\frac{AE}{EF}=\frac{AE}{\frac{n}{2}· AE}=\frac{2}{n}$。
【答案】
$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{n}$
【知识点】
平行线分线段成比例，线段中点性质，比例化简
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，核心解题技巧是构造平行辅助线，将所求线段比例转化为已知相关的线段比例求解，掌握这类作平行线的辅助线构造方法，可快速解决多数三角形内的线段比例问题。
【难度系数】
0.6