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1. 河堤横断面如图所示，堤高BC是5 m，迎水坡AB的坡度是$1:\sqrt{3}$，则AC的长是().
A.$5\sqrt{3}$ m
B.10 m
C.15 m
D.$10\sqrt{3}$ m
A.$5\sqrt{3}$ m
B.10 m
C.15 m
D.$10\sqrt{3}$ m
答案
A
解析
【分析】
解题首先需要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度对应堤高BC（铅直高度）与AC（水平宽度）的比，已知BC的长度和坡度值，代入比例关系即可求出AC的长度。
【解析】
根据坡度的定义，坡面的坡度$i$等于铅直高度与水平宽度的比值，即：
$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}$
由题可知，$i=1:\sqrt{3}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
交叉相乘解得：$AC=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，核心考查对坡度定义的理解，属于基础题，掌握坡度的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先需要明确坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。本题中迎水坡AB的坡度对应堤高BC（铅直高度）与AC（水平宽度）的比，已知BC的长度和坡度值，代入比例关系即可求出AC的长度。
【解析】
根据坡度的定义，坡面的坡度$i$等于铅直高度与水平宽度的比值，即：
$i=\frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}=\frac{BC}{AC}$
由题可知，$i=1:\sqrt{3}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
交叉相乘解得：$AC=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
A
【知识点】
坡度的概念；解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用，核心考查对坡度定义的理解，属于基础题，掌握坡度的计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，有一段防洪大坝，横断面为四边形ABCD，AB//CD，斜坡AD的坡度$i_1=1:1.2$，斜坡BC的坡度$i_2=1:0.8$。若大坝底宽AB为10 m，坝高2 m，则坝顶CD宽为().
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先要明确坡度的含义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。对于梯形横断面的大坝，我们可以通过作两条高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，利用坝高和两个斜坡的坡度，分别求出两个直角三角形的水平直角边长，再用下底AB的长度减去两个水平边长，即可得到坝顶CD的宽度。
【解析】
分别过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F：
则DE=CF=2m（坝高），且四边形DEFC为矩形，故CD=EF。
1. 求AE的长度：
已知斜坡AD的坡度$i_1=DE:AE=1:1.2$，代入DE=2m，可得：
$AE=1.2× DE=1.2×2=2.4\ \mathrm{m}$
2. 求FB的长度：
已知斜坡BC的坡度$i_2=CF:FB=1:0.8$，代入CF=2m，可得：
$FB=0.8× CF=0.8×2=1.6\ \mathrm{m}$
3. 计算CD的长度：
$CD=EF=AB-AE-FB=10-2.4-1.6=6\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念；梯形辅助线做法；解直角三角形应用
【点评】
本题是坡度在实际问题中的基础应用，解题的核心是通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，结合坡度公式计算对应边长即可，解题时注意不要搞反坡度定义中铅直高度和水平宽度的比例。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确坡度的含义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。对于梯形横断面的大坝，我们可以通过作两条高将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，利用坝高和两个斜坡的坡度，分别求出两个直角三角形的水平直角边长，再用下底AB的长度减去两个水平边长，即可得到坝顶CD的宽度。
【解析】
分别过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F：
则DE=CF=2m（坝高），且四边形DEFC为矩形，故CD=EF。
1. 求AE的长度：
已知斜坡AD的坡度$i_1=DE:AE=1:1.2$，代入DE=2m，可得：
$AE=1.2× DE=1.2×2=2.4\ \mathrm{m}$
2. 求FB的长度：
已知斜坡BC的坡度$i_2=CF:FB=1:0.8$，代入CF=2m，可得：
$FB=0.8× CF=0.8×2=1.6\ \mathrm{m}$
3. 计算CD的长度：
$CD=EF=AB-AE-FB=10-2.4-1.6=6\ \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
坡度的概念；梯形辅助线做法；解直角三角形应用
【点评】
本题是坡度在实际问题中的基础应用，解题的核心是通过作高将梯形问题转化为熟悉的直角三角形和矩形问题，结合坡度公式计算对应边长即可，解题时注意不要搞反坡度定义中铅直高度和水平宽度的比例。
【难度系数】
0.7
3. 如图，某拓展训练营的一个自行车爬坡项目有两条不同路线，路线一：从C到B，路线二：从D到A，AB为垂直升降梯.其中BC的坡度为$i=1:2$，$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$，$CD=8\ \mathrm{m}$，$∠ D=36°$(其中A，B，C，D均在同一平面内)，则垂直升降梯AB的高度约为().(结果精确到0.1 m，参考数据：$\tan 36°\approx0.73$，$\cos 36°\approx0.81$，$\sin 36°\approx0.59)$
A.8.6 m
B.11.4 m
C.13.9 m
D.23.4 m
A.8.6 m
B.11.4 m
C.13.9 m
D.23.4 m
答案
B
解析
【分析】
首先将实际问题转化为解直角三角形的问题，通过作辅助线延长AB交DC的延长线于H，构造两个直角三角形Rt△BCH和Rt△ADH。第一步先利用BC的坡度和BC的长度，结合勾股定理求出BH、CH的长度；第二步计算DH的总长度，在Rt△ADH中利用∠D的正切值求出AH的长度；最后用AH减去BH即可得到AB的高度。
【解析】
延长AB交DC的延长线于点H，由题意得AH⊥DH，即∠H=90°。
1. 在Rt△BCH中，BC的坡度$i=\frac{BH}{CH}=\frac{1}{2}$，设$BH=x\ \mathrm{m}$，则$CH=2x\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理：$BH^2+CH^2=BC^2$，代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$得：
$x^2+(2x)^2=(12\sqrt{5})^2$
$5x^2=720$
解得$x=12$（长度为正，舍去负根），故$BH=12\ \mathrm{m}$，$CH=2×12=24\ \mathrm{m}$。
2. 计算DH的长度：$DH=CD+CH=8+24=32\ \mathrm{m}$。
3. 在Rt△ADH中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AH}{DH}$，则：
$AH=DH·\tan36°\approx32×0.73=23.36\ \mathrm{m}$。
4. 计算AB的高度：$AB=AH-BH\approx23.36-12=11.36\approx11.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合坡度定义、勾股定理和锐角三角函数的性质逐步计算，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.6
首先将实际问题转化为解直角三角形的问题，通过作辅助线延长AB交DC的延长线于H，构造两个直角三角形Rt△BCH和Rt△ADH。第一步先利用BC的坡度和BC的长度，结合勾股定理求出BH、CH的长度；第二步计算DH的总长度，在Rt△ADH中利用∠D的正切值求出AH的长度；最后用AH减去BH即可得到AB的高度。
【解析】
延长AB交DC的延长线于点H，由题意得AH⊥DH，即∠H=90°。
1. 在Rt△BCH中，BC的坡度$i=\frac{BH}{CH}=\frac{1}{2}$，设$BH=x\ \mathrm{m}$，则$CH=2x\ \mathrm{m}$。
根据勾股定理：$BH^2+CH^2=BC^2$，代入$BC=12\sqrt{5}\ \mathrm{m}$得：
$x^2+(2x)^2=(12\sqrt{5})^2$
$5x^2=720$
解得$x=12$（长度为正，舍去负根），故$BH=12\ \mathrm{m}$，$CH=2×12=24\ \mathrm{m}$。
2. 计算DH的长度：$DH=CD+CH=8+24=32\ \mathrm{m}$。
3. 在Rt△ADH中，$∠ D=36°$，$\tan D=\frac{AH}{DH}$，则：
$AH=DH·\tan36°\approx32×0.73=23.36\ \mathrm{m}$。
4. 计算AB的高度：$AB=AH-BH\approx23.36-12=11.36\approx11.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形，结合坡度定义、勾股定理和锐角三角函数的性质逐步计算，计算时需注意结果的精度要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 若坡面长是12 m，坡高6 m，则坡角的大小是，坡比是。
4. 若坡面长是12 m，坡高6 m，则坡角的大小是，坡比是。
答案
$30°$；$1:\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确坡角、坡比的定义：坡角是坡面与水平面的锐角夹角，坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。第一步求坡角：已知坡面长（直角三角形斜边）和坡高（坡角的对边），可通过正弦三角函数得到坡角的正弦值，结合特殊角的三角函数值确定坡角度数；第二步求坡比：先通过勾股定理算出坡面的水平宽度，再用坡高比水平宽度化简得到坡比。
【解析】
设坡角为$α$，坡面的水平宽度为$l$。
1. 求坡角：
在坡面、水平宽度、坡高构成的直角三角形中，$\sinα=\frac{\mathrm{坡高}}{\mathrm{坡面长}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$α$为锐角，所以$α=30°$。
2. 求坡比：
由勾股定理得，水平宽度$l=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
坡比$i=\mathrm{坡高}:\mathrm{水平宽度}=6:6\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$。
【答案】
$30°$；$1:\sqrt{3}$
【知识点】
坡角与坡比的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理的应用
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，核心考查对坡面相关概念的理解，以及基础三角函数、勾股定理的运用，掌握相关定义和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确坡角、坡比的定义：坡角是坡面与水平面的锐角夹角，坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。第一步求坡角：已知坡面长（直角三角形斜边）和坡高（坡角的对边），可通过正弦三角函数得到坡角的正弦值，结合特殊角的三角函数值确定坡角度数；第二步求坡比：先通过勾股定理算出坡面的水平宽度，再用坡高比水平宽度化简得到坡比。
【解析】
设坡角为$α$，坡面的水平宽度为$l$。
1. 求坡角：
在坡面、水平宽度、坡高构成的直角三角形中，$\sinα=\frac{\mathrm{坡高}}{\mathrm{坡面长}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$α$为锐角，所以$α=30°$。
2. 求坡比：
由勾股定理得，水平宽度$l=\sqrt{12^2 - 6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
坡比$i=\mathrm{坡高}:\mathrm{水平宽度}=6:6\sqrt{3}=1:\sqrt{3}$。
【答案】
$30°$；$1:\sqrt{3}$
【知识点】
坡角与坡比的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理的应用
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，核心考查对坡面相关概念的理解，以及基础三角函数、勾股定理的运用，掌握相关定义和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 某水库大坝的横断面是四边形，上底面和下底面平行，坝内斜坡的坡度$i_1=1:\sqrt{3}$，坝外斜坡的坡度$i_2=1:1$，则两个坡角的和等于。
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
【分析】首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值，等于对应坡角的正切值。解题时先设两个坡角分别为α、β，根据给出的两个坡度分别求出对应坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值得到两个坡角的度数，最后求和即可。
【解析】设坝内斜坡的坡角为α，坝外斜坡的坡角为β。
根据坡度的定义可知：坡度i等于坡角的正切值，即$i=\tanθ$（θ为坡角）。
对于坝内斜坡：$i_1 = \tanα = 1:\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α为锐角，且$\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$α = 30°$。
对于坝外斜坡：$i_2 = \tanβ = 1:1 = 1$，
∵β为锐角，且$\tan45° = 1$，
∴$β = 45°$。
因此两个坡角的和为$α + β = 30° + 45° = 75°$。
【答案】$\boldsymbol{75°}$
【知识点】坡度与坡角、特殊角的三角函数值、解直角三角形
【点评】本题是解直角三角形在实际问题中的基础应用，核心是掌握坡度与坡角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】设坝内斜坡的坡角为α，坝外斜坡的坡角为β。
根据坡度的定义可知：坡度i等于坡角的正切值，即$i=\tanθ$（θ为坡角）。
对于坝内斜坡：$i_1 = \tanα = 1:\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α为锐角，且$\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$α = 30°$。
对于坝外斜坡：$i_2 = \tanβ = 1:1 = 1$，
∵β为锐角，且$\tan45° = 1$，
∴$β = 45°$。
因此两个坡角的和为$α + β = 30° + 45° = 75°$。
【答案】$\boldsymbol{75°}$
【知识点】坡度与坡角、特殊角的三角函数值、解直角三角形
【点评】本题是解直角三角形在实际问题中的基础应用，核心是掌握坡度与坡角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】0.8
6. 右图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图.其中AB段是助滑坡,倾斜角$∠ 1=37°$,BC段是水平起跳台,CD段是着陆坡,倾斜角$∠ 2=30°$, $\sin 37°\approx 0.6$, $\cos 37°\approx 0.8$.若整个赛道长度(包括AB，BC，CD段)为300 m,平台BC的长度是60 m,整个赛道的垂直落差AN是131 m,则AB段的长度大约是.
答案
解：设AB段的长度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意得，CD段的长度为$300 - 60 - x = (240 - x)\ \mathrm{m}$。
过点$B$作$BM⊥ AN$于点$M$，过点$C$作$CP⊥ DN$于点$P$。
由$∠ 1=37°$，得$AM = AB·\sin37° \approx 0.6x$，
由$∠ 2=30°$，得$CP = CD·\sin30° = 0.5(240 - x)$。
因为$BC// DN$，$BM// CP$，所以$MN = CP$。
结合$AN = AM + MN = 131\ \mathrm{m}$，代入得：
$0.6x + 0.5(240 - x) = 131$
整理得：$0.1x = 11$，解得$x=110$。
答：AB段的长度大约是$\boldsymbol{110\ \mathrm{m}}$。
由题意得，CD段的长度为$300 - 60 - x = (240 - x)\ \mathrm{m}$。
过点$B$作$BM⊥ AN$于点$M$，过点$C$作$CP⊥ DN$于点$P$。
由$∠ 1=37°$，得$AM = AB·\sin37° \approx 0.6x$，
由$∠ 2=30°$，得$CP = CD·\sin30° = 0.5(240 - x)$。
因为$BC// DN$，$BM// CP$，所以$MN = CP$。
结合$AN = AM + MN = 131\ \mathrm{m}$，代入得：
$0.6x + 0.5(240 - x) = 131$
整理得：$0.1x = 11$，解得$x=110$。
答：AB段的长度大约是$\boldsymbol{110\ \mathrm{m}}$。
解析
【分析】
要求AB段的长度，我们可以设其为未知数x，首先根据总赛道长度和已知的BC段长度，表示出CD段的长度。总垂直落差AN由两部分组成：AB段对应的垂直高度、CD段对应的垂直高度，因为BC是水平段，两段垂直高度相加等于总落差AN。接下来我们利用两个倾斜角的正弦三角函数，分别把两段垂直高度用含x的式子表示，再结合AN的总长度列一元一次方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
设AB段的长度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意得，CD段的长度为$300 - 60 - x = (240 - x)\ \mathrm{m}$。
过点$B$作$BM⊥ AN$于点$M$，过点$C$作$CP⊥ DN$于点$P$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ 1=37°$，由正弦函数定义得$AM = AB·\sin37° \approx 0.6x$。
在$\mathrm{Rt}△ CDP$中，$∠ 2=30°$，由正弦函数定义得$CP = CD·\sin30° = 0.5(240 - x)$。
因为$BC// DN$，$BM// CP$，所以四边形BMNC为矩形，可得$MN = CP$。
结合总垂直落差$AN = AM + MN = 131\ \mathrm{m}$，代入得方程：
$0.6x + 0.5(240 - x) = 131$
整理得：$0.1x = 11$，解得$x=110$。
【答案】
$\boldsymbol{110\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，一元一次方程
【点评】
本题结合实际运动场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线将总垂直落差拆分为两段坡面的垂直高度之和，再利用三角函数建立等量关系求解，需要准确梳理各线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
要求AB段的长度，我们可以设其为未知数x，首先根据总赛道长度和已知的BC段长度，表示出CD段的长度。总垂直落差AN由两部分组成：AB段对应的垂直高度、CD段对应的垂直高度，因为BC是水平段，两段垂直高度相加等于总落差AN。接下来我们利用两个倾斜角的正弦三角函数，分别把两段垂直高度用含x的式子表示，再结合AN的总长度列一元一次方程，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
设AB段的长度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意得，CD段的长度为$300 - 60 - x = (240 - x)\ \mathrm{m}$。
过点$B$作$BM⊥ AN$于点$M$，过点$C$作$CP⊥ DN$于点$P$。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，$∠ 1=37°$，由正弦函数定义得$AM = AB·\sin37° \approx 0.6x$。
在$\mathrm{Rt}△ CDP$中，$∠ 2=30°$，由正弦函数定义得$CP = CD·\sin30° = 0.5(240 - x)$。
因为$BC// DN$，$BM// CP$，所以四边形BMNC为矩形，可得$MN = CP$。
结合总垂直落差$AN = AM + MN = 131\ \mathrm{m}$，代入得方程：
$0.6x + 0.5(240 - x) = 131$
整理得：$0.1x = 11$，解得$x=110$。
【答案】
$\boldsymbol{110\ \mathrm{m}}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，一元一次方程
【点评】
本题结合实际运动场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线将总垂直落差拆分为两段坡面的垂直高度之和，再利用三角函数建立等量关系求解，需要准确梳理各线段的数量关系。
【难度系数】
0.7
