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6. 如图，港口A在观测站O的正东方向，$OA=4\ \mathrm{km}$，某船从港口A出发，沿北偏东$15°$方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东$60°$的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为。
答案
解：过点A作AD⊥OB，垂足为D。
由题意得：∠AOB = 90° - 60° = 30°，
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，OA=4 km，
∴ AD = OA·sin∠AOD = 4×sin30° = 4×$\frac{1}{2}$ = 2 km。
∵ ∠OAB = 90° + 15° = 105°，
∴ ∠ABO = 180° - ∠AOB - ∠OAB = 180° - 30° - 105° = 45°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴ AB = $\frac{AD}{\sin∠ABO}$ = $\frac{2}{\sin45°}$ = $\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $2\sqrt{2}$ km。
答：该船航行的距离AB的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
由题意得：∠AOB = 90° - 60° = 30°，
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，OA=4 km，
∴ AD = OA·sin∠AOD = 4×sin30° = 4×$\frac{1}{2}$ = 2 km。
∵ ∠OAB = 90° + 15° = 105°，
∴ ∠ABO = 180° - ∠AOB - ∠OAB = 180° - 30° - 105° = 45°。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴ AB = $\frac{AD}{\sin∠ABO}$ = $\frac{2}{\sin45°}$ = $\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ = $2\sqrt{2}$ km。
答：该船航行的距离AB的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方位角实际应用题，解题思路如下：1. 先根据方位角的定义，求出△OAB的两个内角∠AOB和∠OAB的度数，再利用三角形内角和求出∠ABO的度数，可得30°、45°两个特殊角；2. 为了利用特殊角的三角函数求解边长，过点A作AD⊥OB于D，将△OAB拆分为两个直角三角形；3. 先在Rt△AOD中，利用30°角的三角函数求出AD的长度；4. 再在Rt△ABD中，利用45°角的三角函数求出AB的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥OB，垂足为D。
由题意得：$∠ AOB = 90° - 60° = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$OA=4\ \mathrm{km}$，
∴ $AD = OA·\sin∠ AOD = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{km}$。
∵ 港口A在O的正东方向，船从A沿北偏东$15°$航行，
∴ $∠ OAB = 90° + 15° = 105°$，
根据三角形内角和定理：
$∠ ABO = 180° - ∠ AOB - ∠ OAB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
∴ $AB = \frac{AD}{\sin∠ ABO} = \frac{2}{\sin45°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是正确将方位角转化为三角形的内角，通过作高构造含特殊角的直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解未知边长，需要注意辅助线的构造要适配特殊角的使用需求。
【难度系数】
0.6
这是一道解直角三角形的方位角实际应用题，解题思路如下：1. 先根据方位角的定义，求出△OAB的两个内角∠AOB和∠OAB的度数，再利用三角形内角和求出∠ABO的度数，可得30°、45°两个特殊角；2. 为了利用特殊角的三角函数求解边长，过点A作AD⊥OB于D，将△OAB拆分为两个直角三角形；3. 先在Rt△AOD中，利用30°角的三角函数求出AD的长度；4. 再在Rt△ABD中，利用45°角的三角函数求出AB的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥OB，垂足为D。
由题意得：$∠ AOB = 90° - 60° = 30°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$OA=4\ \mathrm{km}$，
∴ $AD = OA·\sin∠ AOD = 4×\sin30° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{km}$。
∵ 港口A在O的正东方向，船从A沿北偏东$15°$航行，
∴ $∠ OAB = 90° + 15° = 105°$，
根据三角形内角和定理：
$∠ ABO = 180° - ∠ AOB - ∠ OAB = 180° - 30° - 105° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，
∴ $AB = \frac{AD}{\sin∠ ABO} = \frac{2}{\sin45°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
【答案】
$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是正确将方位角转化为三角形的内角，通过作高构造含特殊角的直角三角形，结合特殊角的三角函数值求解未知边长，需要注意辅助线的构造要适配特殊角的使用需求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. 如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东$60°$方向距离12 n mile的B处有一艘走私船，该船正以18 n mile/h的速度沿南偏西$30°$方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在C处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？
7. 如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东$60°$方向距离12 n mile的B处有一艘走私船，该船正以18 n mile/h的速度沿南偏西$30°$方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在C处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？
答案
解：
由题意得，$AB=12\ \mathrm{n mile}$，走私船的行驶时间为$0.5\ \mathrm{h}$，
$\therefore BC = 18 × 0.5 = 9\ \mathrm{n mile}$。
$\because AD // BG$，$∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ ABG = ∠ DAB = 60°$。
又$\because ∠ EBC = 30°$，点$G$、$B$、$E$共线，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ABG - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore$ 我军巡逻艇的航行速度为 $15 ÷ 0.5 = 30\ \mathrm{n mile/h}$。
答：我军巡逻艇的航行速度是$30\ \mathrm{n mile/h}$。
由题意得，$AB=12\ \mathrm{n mile}$，走私船的行驶时间为$0.5\ \mathrm{h}$，
$\therefore BC = 18 × 0.5 = 9\ \mathrm{n mile}$。
$\because AD // BG$，$∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ ABG = ∠ DAB = 60°$。
又$\because ∠ EBC = 30°$，点$G$、$B$、$E$共线，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ABG - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore$ 我军巡逻艇的航行速度为 $15 ÷ 0.5 = 30\ \mathrm{n mile/h}$。
答：我军巡逻艇的航行速度是$30\ \mathrm{n mile/h}$。
解析
【分析】
解题时先从行程类已知条件入手，首先根据走私船的行驶速度和追赶时长，计算出走私船行驶的路程BC的长度；接下来分析方位角的关系：A、B两点的正北方向线互相平行，利用平行线的内错角相等的性质可求出∠ABG的度数，再结合B处南偏西30°的方位角条件，可推导得出∠ABC为直角，确定△ABC是直角三角形；随后运用勾股定理求出AC的长度，也就是我军巡逻艇行驶的总路程；最后用路程除以行驶时间，即可算出巡逻艇的航行速度。
【解析】
由题意得，$AB=12\ \mathrm{n mile}$，走私船的行驶时间为$0.5\ \mathrm{h}$，
$\therefore BC = 18 × 0.5 = 9\ \mathrm{n mile}$。
$\because AD // BG$，$∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ ABG = ∠ DAB = 60°$。
又$\because ∠ EBC = 30°$，点$G$、$B$、$E$共线，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ABG - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore$ 我军巡逻艇的航行速度为 $15 ÷ 0.5 = 30\ \mathrm{n mile/h}$。
答：我军巡逻艇的航行速度是$30\ \mathrm{n mile/h}$。
【答案】
$30\ \mathrm{n mile/h}$
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，行程问题计算
【点评】
本题将方位角知识、几何计算和行程问题相结合，解题的核心是通过方位角的关系推导得到直角三角形，再结合勾股定理求解路程，需要同学们准确理解方位角的含义，熟练运用相关公式计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从行程类已知条件入手，首先根据走私船的行驶速度和追赶时长，计算出走私船行驶的路程BC的长度；接下来分析方位角的关系：A、B两点的正北方向线互相平行，利用平行线的内错角相等的性质可求出∠ABG的度数，再结合B处南偏西30°的方位角条件，可推导得出∠ABC为直角，确定△ABC是直角三角形；随后运用勾股定理求出AC的长度，也就是我军巡逻艇行驶的总路程；最后用路程除以行驶时间，即可算出巡逻艇的航行速度。
【解析】
由题意得，$AB=12\ \mathrm{n mile}$，走私船的行驶时间为$0.5\ \mathrm{h}$，
$\therefore BC = 18 × 0.5 = 9\ \mathrm{n mile}$。
$\because AD // BG$，$∠ DAB = 60°$，
$\therefore ∠ ABG = ∠ DAB = 60°$。
又$\because ∠ EBC = 30°$，点$G$、$B$、$E$共线，
$\therefore ∠ ABC = 180° - ∠ ABG - ∠ EBC = 180° - 60° - 30° = 90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\ \mathrm{n mile}$。
$\therefore$ 我军巡逻艇的航行速度为 $15 ÷ 0.5 = 30\ \mathrm{n mile/h}$。
答：我军巡逻艇的航行速度是$30\ \mathrm{n mile/h}$。
【答案】
$30\ \mathrm{n mile/h}$
【知识点】
方向角的应用，勾股定理，行程问题计算
【点评】
本题将方位角知识、几何计算和行程问题相结合，解题的核心是通过方位角的关系推导得到直角三角形，再结合勾股定理求解路程，需要同学们准确理解方位角的含义，熟练运用相关公式计算。
【难度系数】
0.7
8. 如图,一个半径为20 n mile的暗礁群中央P处建有一个灯塔,一艘货轮由东向西航行,第一次在A处观测此灯塔在北偏西$60°$方向,航行了20 n mile后到B处,第二次观测灯塔在北偏西$30°$方向.这艘货轮沿原方向航行有无危险?(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732$)
答案
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得：AB=20 n mile，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-30°=60°。
在Rt△PAC中，∠PAC=30°，
$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，即$AC=\frac{PC}{\tan30°}=\sqrt{3}PC$。
在Rt△PBC中，∠PBC=60°，
$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，即$BC=\frac{PC}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}PC$。
因为$AC-BC=AB$，
所以$\sqrt{3}PC-\frac{\sqrt{3}}{3}PC=20$，
解得$PC=10\sqrt{3}\approx17.32\ \mathrm{n mile}$。
因为$17.32＜20$，
答：这艘货轮沿原方向航行有危险。
由题意得：AB=20 n mile，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-30°=60°。
在Rt△PAC中，∠PAC=30°，
$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，即$AC=\frac{PC}{\tan30°}=\sqrt{3}PC$。
在Rt△PBC中，∠PBC=60°，
$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，即$BC=\frac{PC}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}PC$。
因为$AC-BC=AB$，
所以$\sqrt{3}PC-\frac{\sqrt{3}}{3}PC=20$，
解得$PC=10\sqrt{3}\approx17.32\ \mathrm{n mile}$。
因为$17.32＜20$，
答：这艘货轮沿原方向航行有危险。
解析
【分析】
要判断货轮航行是否有危险，核心是求灯塔P到货轮航行路线AB的最短距离：过点P作PC⊥AB于C，比较PC长度与暗礁群半径20 n mile的大小即可，若PC＜20则有危险，反之无危险。首先根据观测的方向角计算出两个直角三角形的内角，再利用锐角三角函数分别用PC表示出AC、BC的长度，结合AC-BC=AB=20 n mile的等量关系列方程，求出PC后比对半径即可得到结论。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得：$AB=20\ \mathrm{n\ mile}$，$∠ PAB=90°-60°=30°$，$∠ PBC=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$∠ PAC=30°$，
$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，即$AC=\frac{PC}{\tan30°}=\sqrt{3}PC$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PBC=60°$，
$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，即$BC=\frac{PC}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}PC$。
因为$AC-BC=AB$，
所以$\sqrt{3}PC-\frac{\sqrt{3}}{3}PC=20$，
解得$PC=10\sqrt{3}\approx17.32\ \mathrm{n\ mile}$。
因为$17.32＜20$，所以货轮沿原方向航行有触礁危险。
【答案】
这艘货轮沿原方向航行有危险。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合实际航行场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将方向角转化为三角形内角，利用三角函数建立边的等量关系，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断货轮航行是否有危险，核心是求灯塔P到货轮航行路线AB的最短距离：过点P作PC⊥AB于C，比较PC长度与暗礁群半径20 n mile的大小即可，若PC＜20则有危险，反之无危险。首先根据观测的方向角计算出两个直角三角形的内角，再利用锐角三角函数分别用PC表示出AC、BC的长度，结合AC-BC=AB=20 n mile的等量关系列方程，求出PC后比对半径即可得到结论。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C。
由题意得：$AB=20\ \mathrm{n\ mile}$，$∠ PAB=90°-60°=30°$，$∠ PBC=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$∠ PAC=30°$，
$\tan∠ PAC=\frac{PC}{AC}$，即$AC=\frac{PC}{\tan30°}=\sqrt{3}PC$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$∠ PBC=60°$，
$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，即$BC=\frac{PC}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}PC$。
因为$AC-BC=AB$，
所以$\sqrt{3}PC-\frac{\sqrt{3}}{3}PC=20$，
解得$PC=10\sqrt{3}\approx17.32\ \mathrm{n\ mile}$。
因为$17.32＜20$，所以货轮沿原方向航行有触礁危险。
【答案】
这艘货轮沿原方向航行有危险。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题结合实际航行场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，将方向角转化为三角形内角，利用三角函数建立边的等量关系，能很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
