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1. 如图，小明从A处出发沿北偏东$60°$方向行走至B处，又沿北偏西$20°$方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）。
A.右转$80°$
B.左转$80°$
C.右转$100°$
D.左转$100°$
A.右转$80°$
B.左转$80°$
C.右转$100°$
D.左转$100°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确不同观测点的正北方向是互相平行的，先结合两次行走的方向角求出AB与BC两条路线的夹角，再判断要将方向调整到与出发时（AB方向）一致的转向方式和角度：先确定当前在C点的行走方向，再对比出发方向，计算需要转动的角度和方向即可。
【解析】
∵ 所有正北方向都互相平行，
∴ A处正北与B处正北平行，
∵ 从A到B为北偏东60°，根据平行线内错角相等，可得AB与B处正北方向的夹角为60°，
又
∵ 从B到C为北偏西20°，即BC与B处正北方向的夹角为20°，
∴ AB与BC的夹角为60°+20°=80°，
当前在C点的行走方向为BC的延伸方向，要调整到与出发时的AB方向一致，需要右转80°。
【答案】
A
【知识点】
方向角、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于方向角的基础应用题，解题的关键是理解方向角的定义，结合平行线的性质准确求出两个行走方向的夹角，再结合实际转向判断转动角度即可，这类题是解直角三角形实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确不同观测点的正北方向是互相平行的，先结合两次行走的方向角求出AB与BC两条路线的夹角，再判断要将方向调整到与出发时（AB方向）一致的转向方式和角度：先确定当前在C点的行走方向，再对比出发方向，计算需要转动的角度和方向即可。
【解析】
∵ 所有正北方向都互相平行，
∴ A处正北与B处正北平行，
∵ 从A到B为北偏东60°，根据平行线内错角相等，可得AB与B处正北方向的夹角为60°，
又
∵ 从B到C为北偏西20°，即BC与B处正北方向的夹角为20°，
∴ AB与BC的夹角为60°+20°=80°，
当前在C点的行走方向为BC的延伸方向，要调整到与出发时的AB方向一致，需要右转80°。
【答案】
A
【知识点】
方向角、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于方向角的基础应用题，解题的关键是理解方向角的定义，结合平行线的性质准确求出两个行走方向的夹角，再结合实际转向判断转动角度即可，这类题是解直角三角形实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
2. 已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东$30°$和南偏西$45°$方向上，符合条件的示意图是().
答案
D。
解析
【分析】
解题时首先要明确方向判断规则为“上北下南，左西右东”，再结合已知条件逐步判断：第一步，先确定P、Q的相对位置，P在Q正西方，因此PQ为水平线段，P在左侧、Q在右侧；第二步，分析两个观测点的方向角：方向角“南偏东/西x°”是以观测点的正南方向为始边，向东/西旋转x°得到的角，因此从P看R是南偏东30°，说明R在P的南侧，PR与P的正南方向（竖直向下虚线）夹角为30°、偏东；从Q看R是南偏西45°，说明R在Q的南侧，QR与Q的正南方向夹角为45°、偏西；最后结合选项逐一排除不符合的即可。
【解析】
1. 首先依据方向规则“上北下南，左西右东”，由“岛P位于岛Q的正西方”可得：PQ为水平线段，P在左，Q在右，且R需位于PQ的南侧（两个观测结果均为“南偏”方向），因此可直接排除R在PQ北侧的选项B。
2. 分析方向角的定义：“南偏东30°”是以观测点正南方向（竖直向下的虚线）为始边，向东旋转30°得到的角，因此从P观测R的方向角，是PR与P点竖直虚线的夹角为30°；同理“南偏西45°”是QR与Q点竖直虚线的夹角为45°。
3. 排查剩余选项：选项A中30°、45°是线段与水平PQ的夹角，不符合方向角的定义，排除；选项C中P处夹角为45°、Q处夹角为30°，角度对应错误，排除；选项D完全符合两个方向角的描述。
【答案】
D
【知识点】
1. 方向角的识别
2. 位置与方向判定
【点评】
本题主要考查方向角的实际应用，核心是掌握方向角的定义：以观测点为中心，以正北或正南为起始边旋转到目标方向形成的锐角，结合“上北下南、左西右东”的规则即可快速判断，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确方向判断规则为“上北下南，左西右东”，再结合已知条件逐步判断：第一步，先确定P、Q的相对位置，P在Q正西方，因此PQ为水平线段，P在左侧、Q在右侧；第二步，分析两个观测点的方向角：方向角“南偏东/西x°”是以观测点的正南方向为始边，向东/西旋转x°得到的角，因此从P看R是南偏东30°，说明R在P的南侧，PR与P的正南方向（竖直向下虚线）夹角为30°、偏东；从Q看R是南偏西45°，说明R在Q的南侧，QR与Q的正南方向夹角为45°、偏西；最后结合选项逐一排除不符合的即可。
【解析】
1. 首先依据方向规则“上北下南，左西右东”，由“岛P位于岛Q的正西方”可得：PQ为水平线段，P在左，Q在右，且R需位于PQ的南侧（两个观测结果均为“南偏”方向），因此可直接排除R在PQ北侧的选项B。
2. 分析方向角的定义：“南偏东30°”是以观测点正南方向（竖直向下的虚线）为始边，向东旋转30°得到的角，因此从P观测R的方向角，是PR与P点竖直虚线的夹角为30°；同理“南偏西45°”是QR与Q点竖直虚线的夹角为45°。
3. 排查剩余选项：选项A中30°、45°是线段与水平PQ的夹角，不符合方向角的定义，排除；选项C中P处夹角为45°、Q处夹角为30°，角度对应错误，排除；选项D完全符合两个方向角的描述。
【答案】
D
【知识点】
1. 方向角的识别
2. 位置与方向判定
【点评】
本题主要考查方向角的实际应用，核心是掌握方向角的定义：以观测点为中心，以正北或正南为起始边旋转到目标方向形成的锐角，结合“上北下南、左西右东”的规则即可快速判断，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西$34°$方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东$56°$方向的B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45 n mile、60 n mile.现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30 n mile/h的速度前去救助，至少需要的时间是().
A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.4 h
A.1.5 h
B.2 h
C.2.5 h
D.4 h
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义，计算观测站P处的夹角∠APB的度数，判断△APB为直角三角形；再利用勾股定理求出巡航船到渔船的最短距离AB的长度；最后根据“时间=路程÷速度”的关系，计算出最少需要的时间即可。
【解析】
首先根据方向角的定义可得：
∠APB = 34° + 56° = 90°，因此△APB是直角三角形，且∠APB为直角。
已知PA=45 n mile，PB=60 n mile，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{PA^2+PB^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75$（n mile）
巡航船的速度为30 n mile/h，因此所需最少时间为：
$t=\frac{AB}{30}=\frac{75}{30}=2.5$（h）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，行程公式应用
【点评】
本题是直角三角形在实际生活中的应用类题目，解题关键是通过方向角确定三角形为直角三角形，再结合基础公式计算，考察的都是基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合方向角的定义，计算观测站P处的夹角∠APB的度数，判断△APB为直角三角形；再利用勾股定理求出巡航船到渔船的最短距离AB的长度；最后根据“时间=路程÷速度”的关系，计算出最少需要的时间即可。
【解析】
首先根据方向角的定义可得：
∠APB = 34° + 56° = 90°，因此△APB是直角三角形，且∠APB为直角。
已知PA=45 n mile，PB=60 n mile，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{PA^2+PB^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75$（n mile）
巡航船的速度为30 n mile/h，因此所需最少时间为：
$t=\frac{AB}{30}=\frac{75}{30}=2.5$（h）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，勾股定理，行程公式应用
【点评】
本题是直角三角形在实际生活中的应用类题目，解题关键是通过方向角确定三角形为直角三角形，再结合基础公式计算，考察的都是基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 小明由点A出发向正东方向走10 m到达点B，再由点B向东南方向走10 m到达点C，则∠ABC=.
4. 小明由点A出发向正东方向走10 m到达点B，再由点B向东南方向走10 m到达点C，则∠ABC=.
答案
$\boldsymbol{135°}$
解析
【分析】
解题时首先要明确方向角的定义：正东方向为水平向东的方向，东南方向是东偏南45°（或南偏东45°）的方向。接着确定所求角∠ABC的顶点是B，两条边分别为BA、BC：BA是从B指向A的方向，即正西方向；BC是从B指向东南的方向。最后结合方向之间的夹角关系即可计算出角度，解题时可以先画出方向示意图，更直观地梳理角度关系。
【解析】
1. 明确方向角含义：正东为水平向东的方向，东南方向与正东方向的向南夹角为45°。
2. 梳理∠ABC的边的方向：顶点为B，边BA为正西方向（与正东方向夹角180°），边BC为东南方向。
3. 计算角度：∠ABC = 180° - 45° = 135°。
【答案】
$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
方向角的概念；角度的和差计算
【点评】
本题考查方向角相关的角度计算，解题核心是准确理解不同方向的夹角关系，通过画示意图可以快速理清角度构成，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确方向角的定义：正东方向为水平向东的方向，东南方向是东偏南45°（或南偏东45°）的方向。接着确定所求角∠ABC的顶点是B，两条边分别为BA、BC：BA是从B指向A的方向，即正西方向；BC是从B指向东南的方向。最后结合方向之间的夹角关系即可计算出角度，解题时可以先画出方向示意图，更直观地梳理角度关系。
【解析】
1. 明确方向角含义：正东为水平向东的方向，东南方向与正东方向的向南夹角为45°。
2. 梳理∠ABC的边的方向：顶点为B，边BA为正西方向（与正东方向夹角180°），边BC为东南方向。
3. 计算角度：∠ABC = 180° - 45° = 135°。
【答案】
$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
方向角的概念；角度的和差计算
【点评】
本题考查方向角相关的角度计算，解题核心是准确理解不同方向的夹角关系，通过画示意图可以快速理清角度构成，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，观测站A在观测站B的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西$60°$方向，从B处测得小船在北偏东$45°$的方向，点P到点B的距离是$3\sqrt{2}$ km，则A，B两观测站之间的距离为 km.（结果保留根号）
答案
$\boldsymbol{3+3\sqrt{3}}$
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的方位角应用题，解题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解：①过点P作AB的垂线，垂足为C，得到两个直角三角形Rt△PBC和Rt△PCA；②先在含45°角的Rt△PBC中，利用三角函数求出PC、BC的长度；③再在含30°角的Rt△PCA中，利用三角函数求出AC的长度；④最后AB的长度为BC与AC的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，则$∠ PCB=∠ PCA=90°$。
由题意可知：$∠ PBC=90°-45°=45°$，$∠ PAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$PB=3\sqrt{2}\mathrm{ km}$，
$\sin45°=\frac{PC}{PB}$，$\cos45°=\frac{BC}{PB}$，
$\therefore PC=PB·\sin45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\mathrm{ km}$，
$BC=PB·\cos45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\mathrm{ km}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$\tan30°=\frac{PC}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{PC}{\tan30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}\mathrm{ km}$。
$\therefore AB=BC+AC=(3+3\sqrt{3})\mathrm{ km}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；锐角三角函数计算
【点评】
本题是方位角类解直角三角形的常规题型，通过作高将一般三角形转化为直角三角形求解，考查了转化思想以及锐角三角函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的方位角应用题，解题核心是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形求解：①过点P作AB的垂线，垂足为C，得到两个直角三角形Rt△PBC和Rt△PCA；②先在含45°角的Rt△PBC中，利用三角函数求出PC、BC的长度；③再在含30°角的Rt△PCA中，利用三角函数求出AC的长度；④最后AB的长度为BC与AC的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$于点C，则$∠ PCB=∠ PCA=90°$。
由题意可知：$∠ PBC=90°-45°=45°$，$∠ PAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，$PB=3\sqrt{2}\mathrm{ km}$，
$\sin45°=\frac{PC}{PB}$，$\cos45°=\frac{BC}{PB}$，
$\therefore PC=PB·\sin45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\mathrm{ km}$，
$BC=PB·\cos45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\mathrm{ km}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，$\tan30°=\frac{PC}{AC}$，
$\therefore AC=\frac{PC}{\tan30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3}\mathrm{ km}$。
$\therefore AB=BC+AC=(3+3\sqrt{3})\mathrm{ km}$。
【答案】
$3+3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；锐角三角函数计算
【点评】
本题是方位角类解直角三角形的常规题型，通过作高将一般三角形转化为直角三角形求解，考查了转化思想以及锐角三角函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
