登录
三、解答题
7. 如图，小王站在点D处测得学校旗杆顶点A的仰角$∠ AEC = 33°$，小王与旗杆的水平距离$BD = 10\ \mathrm{m}$，眼睛与地面的高度$ED = 1.6\ \mathrm{m}$.求旗杆AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\tan 33° \approx 0.6494$）
7. 如图，小王站在点D处测得学校旗杆顶点A的仰角$∠ AEC = 33°$，小王与旗杆的水平距离$BD = 10\ \mathrm{m}$，眼睛与地面的高度$ED = 1.6\ \mathrm{m}$.求旗杆AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：$\tan 33° \approx 0.6494$）
答案
解：
由题意可知，四边形EDBC为矩形，
∴ EC = BD = 10 m，BC = ED = 1.6 m。
在Rt△ACE中，∠ACE = 90°，∠AEC = 33°，
∵ $\tan∠ AEC = \frac{AC}{EC}$，
∴ $AC = EC · \tan33° \approx 10 × 0.6494 = 6.494\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + BC \approx 6.494 + 1.6 = 8.094 \approx 8.1\ \mathrm{m}$。
答：旗杆AB的高度约为8.1 m。
由题意可知，四边形EDBC为矩形，
∴ EC = BD = 10 m，BC = ED = 1.6 m。
在Rt△ACE中，∠ACE = 90°，∠AEC = 33°，
∵ $\tan∠ AEC = \frac{AC}{EC}$，
∴ $AC = EC · \tan33° \approx 10 × 0.6494 = 6.494\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + BC \approx 6.494 + 1.6 = 8.094 \approx 8.1\ \mathrm{m}$。
答：旗杆AB的高度约为8.1 m。
解析
【分析】
解题时首先结合图形梳理已知条件：四边形EDBC的两组对边分别平行且有一个内角为直角，因此是矩形，可直接得到EC=BD=10m，BC=ED=1.6m。旗杆高度AB可拆分为AC和BC两段，BC长度已知，只需计算AC的长度。AC位于Rt△ACE中，已知仰角∠AEC=33°和邻边EC的长度，求对边AC，可选用正切函数列式计算，最后将AC与BC相加即可得到AB的高度。
【解析】
由题意可知，四边形EDBC为矩形，
∴ EC = BD = 10 m，BC = ED = 1.6 m。
在Rt△ACE中，∠ACE = 90°，∠AEC = 33°，
∵ $\tan∠ AEC = \frac{AC}{EC}$，
∴ $AC = EC · \tan33° \approx 10 × 0.6494 = 6.494\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + BC \approx 6.494 + 1.6 = 8.094 \approx 8.1\ \mathrm{m}$。
答：旗杆AB的高度约为8.1 m。
【答案】
旗杆AB的高度约为8.1 m
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础实际应用题，核心是将生活中的仰角测量场景转化为几何模型，构造直角三角形后利用三角函数求解，解题时要注意不要遗漏人眼到地面的高度，最终结果需按要求保留有效位数。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合图形梳理已知条件：四边形EDBC的两组对边分别平行且有一个内角为直角，因此是矩形，可直接得到EC=BD=10m，BC=ED=1.6m。旗杆高度AB可拆分为AC和BC两段，BC长度已知，只需计算AC的长度。AC位于Rt△ACE中，已知仰角∠AEC=33°和邻边EC的长度，求对边AC，可选用正切函数列式计算，最后将AC与BC相加即可得到AB的高度。
【解析】
由题意可知，四边形EDBC为矩形，
∴ EC = BD = 10 m，BC = ED = 1.6 m。
在Rt△ACE中，∠ACE = 90°，∠AEC = 33°，
∵ $\tan∠ AEC = \frac{AC}{EC}$，
∴ $AC = EC · \tan33° \approx 10 × 0.6494 = 6.494\ \mathrm{m}$，
∴ $AB = AC + BC \approx 6.494 + 1.6 = 8.094 \approx 8.1\ \mathrm{m}$。
答：旗杆AB的高度约为8.1 m。
【答案】
旗杆AB的高度约为8.1 m
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础实际应用题，核心是将生活中的仰角测量场景转化为几何模型，构造直角三角形后利用三角函数求解，解题时要注意不要遗漏人眼到地面的高度，最终结果需按要求保留有效位数。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在小山的东侧点A有一个热气球，由于受风的影响，以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25 min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B的俯角为30°，求小山东西两侧A，B两点间的距离。
答案
解：
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意得：$AC = 30 × 25 = 750\ \mathrm{m}$。
由点C处的水平辅助线平行于AB，可得$∠ B = 30°$，
又$∠ CAB$的外角为$75°$，因此$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD = AC · \sin45° = 750 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 375\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$：
$AB = \frac{AD}{\sin30°} = 2AD = 750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
答：小山东西两侧A，B两点间的距离为$750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
由题意得：$AC = 30 × 25 = 750\ \mathrm{m}$。
由点C处的水平辅助线平行于AB，可得$∠ B = 30°$，
又$∠ CAB$的外角为$75°$，因此$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD = AC · \sin45° = 750 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 375\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$：
$AB = \frac{AD}{\sin30°} = 2AD = 750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
答：小山东西两侧A，B两点间的距离为$750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先根据热气球的飞行速度和飞行时间，先计算出AC的长度；接下来结合俯角的性质和平行线的性质得到∠B的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ACB的度数；此时△ABC为斜三角形，通过过点A作AD⊥BC将其转化为两个直角三角形，先在含45°角的Rt△ACD中利用正弦函数求出AD的长度，再在含30°角的Rt△ABD中利用正弦函数即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D。
由题意得：$AC = 30 × 25 = 750\ \mathrm{m}$。
因为点C处的水平辅助线平行于AB，根据两直线平行内错角相等，可得$∠ B = 30°$。
又$∠ CAB$的外角为$75°$，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，因此$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD = AC · \sin45° = 750 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 375\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$：
$AB = \frac{AD}{\sin30°} = 2AD = 750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，三角函数的定义，三角形外角性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合俯角、外角的性质得到所需角度，再利用三角函数计算求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据热气球的飞行速度和飞行时间，先计算出AC的长度；接下来结合俯角的性质和平行线的性质得到∠B的度数，再利用三角形外角的性质求出∠ACB的度数；此时△ABC为斜三角形，通过过点A作AD⊥BC将其转化为两个直角三角形，先在含45°角的Rt△ACD中利用正弦函数求出AD的长度，再在含30°角的Rt△ABD中利用正弦函数即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为D。
由题意得：$AC = 30 × 25 = 750\ \mathrm{m}$。
因为点C处的水平辅助线平行于AB，根据两直线平行内错角相等，可得$∠ B = 30°$。
又$∠ CAB$的外角为$75°$，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，因此$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$AD = AC · \sin45° = 750 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 375\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$：
$AB = \frac{AD}{\sin30°} = 2AD = 750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$750\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用，三角函数的定义，三角形外角性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题关键是通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合俯角、外角的性质得到所需角度，再利用三角函数计算求解，考查了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由$45°$降为$30°$.已知原滑滑梯AB的长为5 m，点D，B，C在同一水平地面上.
（1）改善后滑滑梯会加长多少？（结果精确到0.01 m）
（2）若滑滑梯的正前方至少有3 m长的空地才能保证安全，原滑滑梯的正前方的空地长为6 m，像这样改造是否可行？说明理由.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{6} \approx 2.449$）
（1）改善后滑滑梯会加长多少？（结果精确到0.01 m）
（2）若滑滑梯的正前方至少有3 m长的空地才能保证安全，原滑滑梯的正前方的空地长为6 m，像这样改造是否可行？说明理由.（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{6} \approx 2.449$）
答案
解：
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AD = \frac{AC}{\sin30°} = 2AC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD - AB = 5\sqrt{2} - 5 \approx 5×1.414 - 5 \approx 2.07\ \mathrm{m}$。
（2）改造可行，理由如下：
在$Rt△ ABC$中，$BC = AB·\cos45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$DC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = \frac{5\sqrt{6}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{5×2.449}{2} - \frac{5×1.414}{2} \approx 2.59\ \mathrm{m}$。
$\because$ 原滑滑梯正前方空地长为$6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 改造后滑滑梯正前方剩余空地长为$6 - 2.59 = 3.41\ \mathrm{m} ＞ 3\ \mathrm{m}$，满足安全要求。
答：（1）改善后滑滑梯约加长$2.07\ \mathrm{m}$；（2）这样改造可行。
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AD = \frac{AC}{\sin30°} = 2AC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD - AB = 5\sqrt{2} - 5 \approx 5×1.414 - 5 \approx 2.07\ \mathrm{m}$。
（2）改造可行，理由如下：
在$Rt△ ABC$中，$BC = AB·\cos45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ ADC$中，$DC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = \frac{5\sqrt{6}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{5×2.449}{2} - \frac{5×1.414}{2} \approx 2.59\ \mathrm{m}$。
$\because$ 原滑滑梯正前方空地长为$6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 改造后滑滑梯正前方剩余空地长为$6 - 2.59 = 3.41\ \mathrm{m} ＞ 3\ \mathrm{m}$，满足安全要求。
答：（1）改善后滑滑梯约加长$2.07\ \mathrm{m}$；（2）这样改造可行。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是抓住改造前后滑梯的垂直高度AC不变这一隐含条件：
1. 解决第（1）问时，先在Rt△ABC中利用45°角的正弦函数求出AC的长度，再在Rt△ADC中利用30°角的正弦函数求出改造后滑梯AD的长度，用AD减去原滑梯AB的长度即可得到加长的长度；
2. 解决第（2）问时，分别在两个直角三角形中求出BC、DC的长度，两者作差得到改造后滑梯多占的水平长度DB，用原空地长度减去DB得到剩余空地长度，和3m比较即可判断是否可行。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AD = \frac{AC}{\sin30°} = 2AC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD - AB = 5\sqrt{2} - 5 \approx 5×1.414 - 5 \approx 2.07\ \mathrm{m}$。
（2）改造可行，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC = AB·\cos45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = \frac{5\sqrt{6}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{5×2.449}{2} - \frac{5×1.414}{2} \approx 2.59\ \mathrm{m}$。
$\because$ 原滑滑梯正前方空地长为$6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 改造后滑滑梯正前方剩余空地长为$6 - 2.59 = 3.41\ \mathrm{m} ＞ 3\ \mathrm{m}$，满足安全要求。
【答案】
（1）改善后滑滑梯约加长$\boldsymbol{2.07\ \mathrm{m}}$；
（2）这样改造可行。
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，实际应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为桥梁，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，既考查了对锐角三角函数的掌握程度，也考查了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是抓住改造前后滑梯的垂直高度AC不变这一隐含条件：
1. 解决第（1）问时，先在Rt△ABC中利用45°角的正弦函数求出AC的长度，再在Rt△ADC中利用30°角的正弦函数求出改造后滑梯AD的长度，用AD减去原滑梯AB的长度即可得到加长的长度；
2. 解决第（2）问时，分别在两个直角三角形中求出BC、DC的长度，两者作差得到改造后滑梯多占的水平长度DB，用原空地长度减去DB得到剩余空地长度，和3m比较即可判断是否可行。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ D=30°$，
$\therefore AD = \frac{AC}{\sin30°} = 2AC = 5\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore AD - AB = 5\sqrt{2} - 5 \approx 5×1.414 - 5 \approx 2.07\ \mathrm{m}$。
（2）改造可行，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC = AB·\cos45° = 5×\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$DC = \frac{AC}{\tan30°} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{2}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = \frac{5\sqrt{6}}{2} - \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{5×2.449}{2} - \frac{5×1.414}{2} \approx 2.59\ \mathrm{m}$。
$\because$ 原滑滑梯正前方空地长为$6\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 改造后滑滑梯正前方剩余空地长为$6 - 2.59 = 3.41\ \mathrm{m} ＞ 3\ \mathrm{m}$，满足安全要求。
【答案】
（1）改善后滑滑梯约加长$\boldsymbol{2.07\ \mathrm{m}}$；
（2）这样改造可行。
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，实际应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的关键是找到两个直角三角形的公共边AC作为桥梁，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，既考查了对锐角三角函数的掌握程度，也考查了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
