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一、选择题
1. 如图，AB为玥玥同学站立处，她在点B处测得一棵树CD顶端C的仰角为$45°$，底端D的俯角为$30°$，则$∠ CBD$的度数为().
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
1. 如图，AB为玥玥同学站立处，她在点B处测得一棵树CD顶端C的仰角为$45°$，底端D的俯角为$30°$，则$∠ CBD$的度数为().
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是准确理解仰角和俯角的定义：仰角是观测点视线向上看目标时与水平线的夹角，俯角是观测点视线向下看目标时与水平线的夹角，二者都以过观测点的水平线为基准。过点B作水平线后，可发现要求的∠CBD刚好被水平线分为仰角和俯角两部分，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：过点B作水平射线BE，使BE平行于地面AD。
根据仰角定义，测得顶端C的仰角为45°，即$∠ CBE=45°$；
根据俯角定义，测得底端D的俯角为30°，即$∠ EBD=30°$；
观察图形可知，点C、D分别在水平线BE的上下两侧，因此$∠ CBD=∠ CBE+∠ EBD=45°+30°=75°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
仰角与俯角的定义，角的和差计算
【点评】
本题是解直角三角形应用的基础题型，重点考查对仰角、俯角概念的理解，只要明晰两类角的定义，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是准确理解仰角和俯角的定义：仰角是观测点视线向上看目标时与水平线的夹角，俯角是观测点视线向下看目标时与水平线的夹角，二者都以过观测点的水平线为基准。过点B作水平线后，可发现要求的∠CBD刚好被水平线分为仰角和俯角两部分，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：过点B作水平射线BE，使BE平行于地面AD。
根据仰角定义，测得顶端C的仰角为45°，即$∠ CBE=45°$；
根据俯角定义，测得底端D的俯角为30°，即$∠ EBD=30°$；
观察图形可知，点C、D分别在水平线BE的上下两侧，因此$∠ CBD=∠ CBE+∠ EBD=45°+30°=75°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
仰角与俯角的定义，角的和差计算
【点评】
本题是解直角三角形应用的基础题型，重点考查对仰角、俯角概念的理解，只要明晰两类角的定义，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上与楼底点$O$相距$30\ \mathrm{m}$的点$A$处,测得楼顶点$B$的仰角$∠ OAB=65°$,则这幢大楼的高度为().
A.$\dfrac{30}{\cos 65°}\ \mathrm{m}$
B.$30\sin 65°\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{30}{\tan 65°}\ \mathrm{m}$
D.$30·\tan 65°\ \mathrm{m}$
A.$\dfrac{30}{\cos 65°}\ \mathrm{m}$
B.$30\sin 65°\ \mathrm{m}$
C.$\dfrac{30}{\tan 65°}\ \mathrm{m}$
D.$30·\tan 65°\ \mathrm{m}$
答案
D
解析
【分析】
本题属于仰角测量的实际问题，解题思路如下：第一步，先判断几何图形关系，大楼OB垂直于地面OA，因此△AOB是直角为∠O的直角三角形；第二步，明确已知量和待求量：已知邻边OA=30m，锐角∠OAB=65°，待求量是∠OAB的对边OB的长度；第三步，结合锐角三角函数的定义，选择对应边角关系的三角函数列式计算即可。
【解析】
由题意可知，$OB⊥ OA$，即$△ AOB$是直角三角形，$∠ AOB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=30\ \mathrm{m}$，$∠ OAB=65°$，根据正切函数的定义：
$\tan∠ OAB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{OB}{OA}$
代入数值可得：$\tan65°=\frac{OB}{30}$
变形得：$OB=30·\tan65°\ \mathrm{m}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型基础题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，结合对应锐角三角函数的边角关系列式即可求解。
【难度系数】
0.8
本题属于仰角测量的实际问题，解题思路如下：第一步，先判断几何图形关系，大楼OB垂直于地面OA，因此△AOB是直角为∠O的直角三角形；第二步，明确已知量和待求量：已知邻边OA=30m，锐角∠OAB=65°，待求量是∠OAB的对边OB的长度；第三步，结合锐角三角函数的定义，选择对应边角关系的三角函数列式计算即可。
【解析】
由题意可知，$OB⊥ OA$，即$△ AOB$是直角三角形，$∠ AOB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$OA=30\ \mathrm{m}$，$∠ OAB=65°$，根据正切函数的定义：
$\tan∠ OAB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{OB}{OA}$
代入数值可得：$\tan65°=\frac{OB}{30}$
变形得：$OB=30·\tan65°\ \mathrm{m}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的典型基础题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，结合对应锐角三角函数的边角关系列式即可求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，小明同学在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD顶端C的俯角为$60°$，又知楼房和树的水平距离$BD=12\ \mathrm{m}$，楼高$AB=24\ \mathrm{m}$，则树高$CD$为().
A.$(24-12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
B.$(24-4\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
C.$(24-6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
D.$8\ \mathrm{m}$
A.$(24-12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
B.$(24-4\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
C.$(24-6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
D.$8\ \mathrm{m}$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是将俯角条件转化到直角三角形中计算，步骤如下：1. 作辅助线构造直角和矩形：过点C作CE⊥AB于点E，此时四边形BDCE为矩形，可得CE=BD=12m，CD=BE，将求树高CD转化为求BE的长度；2. 利用俯角的定义结合平行线内错角相等，可得Rt△AEC中∠ACE=60°；3. 用锐角三角函数的正切值求出AE的长度，再用AB的长度减去AE即可得到BE也就是CD的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=12m，BE=CD。
由题意知，从点A测得点C的俯角为60°，
∴∠ACE=60°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△AEC中，$\tan∠ ACE = \frac{AE}{CE}$，
∴$AE = CE · \tan60° = 12 × \sqrt{3} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵$AB=24\ \mathrm{m}$，
∴$CD = BE = AB - AE = (24 - 12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的俯角应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题中的已知量转化为几何图形中的边长、角度条件，结合锐角三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是将俯角条件转化到直角三角形中计算，步骤如下：1. 作辅助线构造直角和矩形：过点C作CE⊥AB于点E，此时四边形BDCE为矩形，可得CE=BD=12m，CD=BE，将求树高CD转化为求BE的长度；2. 利用俯角的定义结合平行线内错角相等，可得Rt△AEC中∠ACE=60°；3. 用锐角三角函数的正切值求出AE的长度，再用AB的长度减去AE即可得到BE也就是CD的高度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，垂足为E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴CE=BD=12m，BE=CD。
由题意知，从点A测得点C的俯角为60°，
∴∠ACE=60°（两直线平行，内错角相等）。
在Rt△AEC中，$\tan∠ ACE = \frac{AE}{CE}$，
∴$AE = CE · \tan60° = 12 × \sqrt{3} = 12\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵$AB=24\ \mathrm{m}$，
∴$CD = BE = AB - AE = (24 - 12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的俯角应用，矩形的性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类基础题，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题中的已知量转化为几何图形中的边长、角度条件，结合锐角三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图,在高出海平面 100 m 的悬崖顶 A 处,观测海平面上一艘小船 B,并测得它的俯角为 $45°$,则船与观测者之间的水平距离 $BC=$ m.
4. 如图,在高出海平面 100 m 的悬崖顶 A 处,观测海平面上一艘小船 B,并测得它的俯角为 $45°$,则船与观测者之间的水平距离 $BC=$ m.
答案
$\boldsymbol{100}$
解析
【分析】
解题时首先明确题意：悬崖高度AC为100m，且AC垂直于水平距离BC，因此△ABC是∠C=90°的直角三角形。接下来结合俯角的定义：俯角是观测者视线与水平线向下的夹角，由于过A点的水平线平行于BC，根据平行线内错角相等可得∠B=45°，此时直角三角形有一个锐角为45°，属于等腰直角三角形，两条直角边长度相等，即可直接求出BC的长度，也可利用正切三角函数列等式计算。
【解析】
解：由题意可知，AC⊥BC，AC=100m，在A处测得B的俯角为45°。
∵过A点的水平线与BC平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠B=45°。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，
∴∠BAC=90°-45°=45°，
∴BC=AC=100m。
（也可利用三角函数求解：在Rt△ABC中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，$\tan45°=1$，代入得$1=\frac{100}{BC}$，解得$BC=100\mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{100}$
【知识点】
俯角的定义；解直角三角形的应用；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，核心考查对俯角概念的理解和直角三角形边角关系的运用，只要准确将实际条件转化为直角三角形的边角条件，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题意：悬崖高度AC为100m，且AC垂直于水平距离BC，因此△ABC是∠C=90°的直角三角形。接下来结合俯角的定义：俯角是观测者视线与水平线向下的夹角，由于过A点的水平线平行于BC，根据平行线内错角相等可得∠B=45°，此时直角三角形有一个锐角为45°，属于等腰直角三角形，两条直角边长度相等，即可直接求出BC的长度，也可利用正切三角函数列等式计算。
【解析】
解：由题意可知，AC⊥BC，AC=100m，在A处测得B的俯角为45°。
∵过A点的水平线与BC平行，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠B=45°。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，
∴∠BAC=90°-45°=45°，
∴BC=AC=100m。
（也可利用三角函数求解：在Rt△ABC中，$\tan B=\frac{AC}{BC}$，$\tan45°=1$，代入得$1=\frac{100}{BC}$，解得$BC=100\mathrm{m}$）
【答案】
$\boldsymbol{100}$
【知识点】
俯角的定义；解直角三角形的应用；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，核心考查对俯角概念的理解和直角三角形边角关系的运用，只要准确将实际条件转化为直角三角形的边角条件，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如图，甲、乙两楼相距30 m，乙楼高度为36 m，自甲楼顶A处看乙楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 m.
答案
$\boldsymbol{36-10\sqrt{3}}$
解析
【分析】
遇到仰角类的解直角三角形应用题，首先要通过作辅助线构造含仰角的直角三角形，再将已知条件转化到直角三角形中计算：①过甲楼顶A作乙楼的垂线，得到一个直角三角形和一个矩形，两楼间距是直角三角形的水平直角边，仰角为30°；②利用正切函数求出乙楼比甲楼高出的高度；③用乙楼总高度减去高出的部分，即可得到甲楼的高度。
【解析】
过点A作AC⊥BD，垂足为C，其中BD为乙楼，D为乙楼底部。
由题意可知：AC=30m（两楼间距），BD=36m（乙楼高度），∠BAC=30°，且四边形ACDE（E为甲楼底部）为矩形，因此甲楼高度AE=CD。
在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义：
$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$
代入已知数值：
$BC=AC·\tan30°=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
则$CD=BD-BC=36-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即甲楼高度为$36-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{36-10\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 仰角问题
2. 锐角三角函数的应用
3. 矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际场景中的长度、角度对应到直角三角形的边和角中，再结合三角函数进行计算，是三角函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到仰角类的解直角三角形应用题，首先要通过作辅助线构造含仰角的直角三角形，再将已知条件转化到直角三角形中计算：①过甲楼顶A作乙楼的垂线，得到一个直角三角形和一个矩形，两楼间距是直角三角形的水平直角边，仰角为30°；②利用正切函数求出乙楼比甲楼高出的高度；③用乙楼总高度减去高出的部分，即可得到甲楼的高度。
【解析】
过点A作AC⊥BD，垂足为C，其中BD为乙楼，D为乙楼底部。
由题意可知：AC=30m（两楼间距），BD=36m（乙楼高度），∠BAC=30°，且四边形ACDE（E为甲楼底部）为矩形，因此甲楼高度AE=CD。
在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义：
$\tan∠ BAC=\frac{BC}{AC}$
代入已知数值：
$BC=AC·\tan30°=30×\frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
则$CD=BD-BC=36-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，即甲楼高度为$36-10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{36-10\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 仰角问题
2. 锐角三角函数的应用
3. 矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际生活中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，把实际场景中的长度、角度对应到直角三角形的边和角中，再结合三角函数进行计算，是三角函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 某厂家新开发的一种电动车如图所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为$8°$和$10°$，大灯A与地面的距离为1 m，则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m.(不考虑其他因素，参考数据：$\sin8°\approx\frac{7}{50}$，$\tan8°\approx\frac{1}{7}$，$\sin10°\approx\frac{9}{50}$，$\tan10°\approx\frac{5}{28}$)
答案
解：过点A作AD⊥MN于点D，
由题意得AD=1 m，∠ABD=8°，∠ACD=10°。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan8°}\approx\frac{1}{\frac{1}{7}}=7\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan10°}\approx\frac{1}{\frac{5}{28}}=\frac{28}{5}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC=BD-CD=7-\frac{28}{5}=\frac{7}{5}=1.4\ \mathrm{m}$。
答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4 m。
由题意得AD=1 m，∠ABD=8°，∠ACD=10°。
在Rt△ABD中，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan8°}\approx\frac{1}{\frac{1}{7}}=7\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACD中，$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan10°}\approx\frac{1}{\frac{5}{28}}=\frac{28}{5}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC=BD-CD=7-\frac{28}{5}=\frac{7}{5}=1.4\ \mathrm{m}$。
答：该车大灯照亮地面的宽度BC是1.4 m。
解析
【分析】
要解决本题，首先需将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。所求的BC是两个水平线段BD与CD的差，因此先过点A作地面MN的垂线AD，构造出两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。已知大灯到地面的高度AD为1m，以及两条光线与地面的夹角，可利用正切函数的定义分别求出BD、CD的长度，最后作差即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ MN$于点D，由题意得$AD=1\ \mathrm{m}$，$∠ ABD=8°$，$∠ ACD=10°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义：$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan8°}\approx\frac{1}{\frac{1}{7}}=7\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，同理$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan10°}\approx\frac{1}{\frac{5}{28}}=\frac{28}{5}=5.6\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC=BD-CD=7-5.6=1.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.4
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正切函数的定义
3. 构造直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是通过作垂线将实际场景转化为直角三角形模型，结合锐角三角函数的定义求出对应边长，再根据线段的和差关系计算结果，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。所求的BC是两个水平线段BD与CD的差，因此先过点A作地面MN的垂线AD，构造出两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD。已知大灯到地面的高度AD为1m，以及两条光线与地面的夹角，可利用正切函数的定义分别求出BD、CD的长度，最后作差即可得到BC的长度。
【解析】
过点A作$AD⊥ MN$于点D，由题意得$AD=1\ \mathrm{m}$，$∠ ABD=8°$，$∠ ACD=10°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正切的定义：$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
$\therefore BD=\frac{AD}{\tan8°}\approx\frac{1}{\frac{1}{7}}=7\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，同理$\tan∠ ACD=\frac{AD}{CD}$，
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan10°}\approx\frac{1}{\frac{5}{28}}=\frac{28}{5}=5.6\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC=BD-CD=7-5.6=1.4\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.4
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正切函数的定义
3. 构造直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是通过作垂线将实际场景转化为直角三角形模型，结合锐角三角函数的定义求出对应边长，再根据线段的和差关系计算结果，侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
