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三、解答题
7. 下图是一防洪堤背水坡的横截面，斜坡AB的长为12 m，它的坡角度数为45°.为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为$1:\sqrt{3}$的斜坡AD，在CB方向距点B 6 m处有一座房屋.（参考数据：$\sqrt{6} \approx 2.45$，$\sqrt{2} \approx 1.414$）
（1）求$∠ DAB$的度数；
（2）在改造背水坡的施工过程中，此房屋是否需要拆除？并说明理由.
7. 下图是一防洪堤背水坡的横截面，斜坡AB的长为12 m，它的坡角度数为45°.为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为$1:\sqrt{3}$的斜坡AD，在CB方向距点B 6 m处有一座房屋.（参考数据：$\sqrt{6} \approx 2.45$，$\sqrt{2} \approx 1.414$）
（1）求$∠ DAB$的度数；
（2）在改造背水坡的施工过程中，此房屋是否需要拆除？并说明理由.
答案
解：
(1) 由题意得$AC⊥ DC$，斜坡$AD$的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan D = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ D=30°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，且$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ABC = ∠ D + ∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC - ∠ D = 45° - 30° = 15°$。
(2) 此房屋需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB· \sin45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$BC = AB· \cos45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore DC = \sqrt{3}· AC = \sqrt{3}×6\sqrt{2} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \approx 6×2.45 - 6×1.414 = 6.216\ \mathrm{m}$。
$\because 6.216 ＞ 6$，即改造后斜坡底端$D$到点$B$的距离大于6m，房屋位于$D$、$B$之间，
$\therefore$ 此房屋需要拆除。
(1) 由题意得$AC⊥ DC$，斜坡$AD$的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan D = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ D=30°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，且$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ABC = ∠ D + ∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC - ∠ D = 45° - 30° = 15°$。
(2) 此房屋需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB· \sin45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$BC = AB· \cos45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore DC = \sqrt{3}· AC = \sqrt{3}×6\sqrt{2} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \approx 6×2.45 - 6×1.414 = 6.216\ \mathrm{m}$。
$\because 6.216 ＞ 6$，即改造后斜坡底端$D$到点$B$的距离大于6m，房屋位于$D$、$B$之间，
$\therefore$ 此房屋需要拆除。
解析
【分析】
（1）求∠DAB的度数时，首先观察图形可知∠ABC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ABC=∠D+∠DAB，已知∠ABC=45°，因此只需求出∠D的度数即可。由斜坡AD的坡度为$1:\sqrt{3}$，可得$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，从而求出∠D=30°，代入外角公式即可得到∠DAB的度数。
（2）判断房屋是否需要拆除，核心是比较DB的长度和6m的大小：若DB＞6m，说明改造后斜坡底端D到B的距离超过了房屋到B的距离，房屋需要拆除，反之则不需要。计算DB的长度需先分别求出DC和BC：在Rt△ABC中，利用三角函数可求出AC、BC的长度；再根据坡度的定义求出DC的长度，即可计算得到DB的长度，最后和6比较得出结论。
【解析】
(1) 由题意得$AC⊥ DC$，斜坡$AD$的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan D = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ D=30°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，且$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ABC = ∠ D + ∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC - ∠ D = 45° - 30° = 15°$。
(2) 此房屋需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB· \sin45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$BC = AB· \cos45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore DC = \sqrt{3}· AC = \sqrt{3}×6\sqrt{2} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \approx 6×2.45 - 6×1.414 = 6.216\ \mathrm{m}$。
$\because 6.216 ＞ 6$，即改造后斜坡底端$D$到点$B$的距离大于6m，房屋位于$D$、$B$之间，
$\therefore$ 此房屋需要拆除。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DAB=15°}$；
（2）此房屋需要拆除。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；三角形外角性质
【点评】
本题结合实际防洪堤改造的场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，需要熟练掌握坡度的定义、三角函数的运算以及三角形外角的性质，计算时要注意数值代入准确，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）求∠DAB的度数时，首先观察图形可知∠ABC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ABC=∠D+∠DAB，已知∠ABC=45°，因此只需求出∠D的度数即可。由斜坡AD的坡度为$1:\sqrt{3}$，可得$\tan D=\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，从而求出∠D=30°，代入外角公式即可得到∠DAB的度数。
（2）判断房屋是否需要拆除，核心是比较DB的长度和6m的大小：若DB＞6m，说明改造后斜坡底端D到B的距离超过了房屋到B的距离，房屋需要拆除，反之则不需要。计算DB的长度需先分别求出DC和BC：在Rt△ABC中，利用三角函数可求出AC、BC的长度；再根据坡度的定义求出DC的长度，即可计算得到DB的长度，最后和6比较得出结论。
【解析】
(1) 由题意得$AC⊥ DC$，斜坡$AD$的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan D = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ D=30°$。
又$\because ∠ ABC=45°$，且$∠ ABC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ ABC = ∠ D + ∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ABC - ∠ D = 45° - 30° = 15°$。
(2) 此房屋需要拆除，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，$AB=12\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB· \sin45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
$BC = AB· \cos45° = 12×\frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\frac{AC}{DC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore DC = \sqrt{3}· AC = \sqrt{3}×6\sqrt{2} = 6\sqrt{6}\ \mathrm{m}$，
$\therefore DB = DC - BC = 6\sqrt{6} - 6\sqrt{2} \approx 6×2.45 - 6×1.414 = 6.216\ \mathrm{m}$。
$\because 6.216 ＞ 6$，即改造后斜坡底端$D$到点$B$的距离大于6m，房屋位于$D$、$B$之间，
$\therefore$ 此房屋需要拆除。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠DAB=15°}$；
（2）此房屋需要拆除。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；三角形外角性质
【点评】
本题结合实际防洪堤改造的场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，需要熟练掌握坡度的定义、三角函数的运算以及三角形外角的性质，计算时要注意数值代入准确，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
8. 如图，某学校教学楼靠近一个山坡，坡面上是一块平地，$BC // AD$，斜坡$AB=40\ \mathrm{m}$，坡角$∠ BAD=60°$.
（1）求山坡高度；
（2）为预防夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过$45°$时，可确保不发生山体滑坡.改造时保持坡脚$A$不动，从坡顶$B$沿$BC$削进到$E$处，则$BE$至少是多少米？
（1）求山坡高度；
（2）为预防夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过$45°$时，可确保不发生山体滑坡.改造时保持坡脚$A$不动，从坡顶$B$沿$BC$削进到$E$处，则$BE$至少是多少米？
答案
解：
(1) 过点B作$BF ⊥ AD$，垂足为F。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAD=60°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，
$BF = AB· \sin∠ BAD = 40× \sin60° = 40× \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
(2) 过点E作$EG ⊥ AD$，垂足为G。
$\because BC// AD$，$BF⊥ AD$，$EG⊥ AD$，
$\therefore EG = BF = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，四边形BEGF为矩形，故$BE = FG$。
当坡角$∠ EAG=45°$时，BE取得最小值，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = \frac{EG}{\tan45°} = \frac{20\sqrt{3}}{1} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF = AB· \cos∠ BAD = 40× \cos60° = 40× \frac{1}{2} = 20\ (\mathrm{m})$，
$\therefore BE = FG = AG - AF = 20\sqrt{3} - 20\ (\mathrm{m})$。
答：(1) 山坡高度为$20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；(2) $BE$至少是$(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{m}$。
(1) 过点B作$BF ⊥ AD$，垂足为F。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAD=60°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，
$BF = AB· \sin∠ BAD = 40× \sin60° = 40× \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
(2) 过点E作$EG ⊥ AD$，垂足为G。
$\because BC// AD$，$BF⊥ AD$，$EG⊥ AD$，
$\therefore EG = BF = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，四边形BEGF为矩形，故$BE = FG$。
当坡角$∠ EAG=45°$时，BE取得最小值，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = \frac{EG}{\tan45°} = \frac{20\sqrt{3}}{1} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF = AB· \cos∠ BAD = 40× \cos60° = 40× \frac{1}{2} = 20\ (\mathrm{m})$，
$\therefore BE = FG = AG - AF = 20\sqrt{3} - 20\ (\mathrm{m})$。
答：(1) 山坡高度为$20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；(2) $BE$至少是$(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
（1）山坡高度是坡顶B到水平面AD的垂直距离，因此过B作AD的垂线构造直角三角形，已知斜边AB的长度和坡角∠BAD，利用正弦函数即可求出垂直高度。
（2）要确保不滑坡且BE最短，即改造后坡角刚好为45°时BE取最小值。过E作AD的垂线，由BC//AD可知两条高相等，且四边形BEGF为矩形，BE=FG。先在45°的直角三角形中求出AG的长度，再求出原来的AF长度，二者的差就是BE的最小值。
【解析】
(1) 过点B作$BF ⊥ AD$，垂足为F。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAD=60°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，
$BF = AB· \sin∠ BAD = 40× \sin60° = 40× \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
(2) 过点E作$EG ⊥ AD$，垂足为G。
$\because BC// AD$，$BF⊥ AD$，$EG⊥ AD$，
$\therefore EG = BF = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，四边形BEGF为矩形，故$BE = FG$。
当坡角$∠ EAG=45°$时，BE取得最小值，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = \frac{EG}{\tan45°} = \frac{20\sqrt{3}}{1} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF = AB· \cos∠ BAD = 40× \cos60° = 40× \frac{1}{2} = 20\ (\mathrm{m})$，
$\therefore BE = FG = AG - AF = 20\sqrt{3} - 20\ (\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 山坡高度为$20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
(2) $BE$至少是$(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数计算，矩形的性质
【点评】
本题结合山体改造的实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，结合坡角定义和锐角三角函数的几何意义求解对应线段，难度不高，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）山坡高度是坡顶B到水平面AD的垂直距离，因此过B作AD的垂线构造直角三角形，已知斜边AB的长度和坡角∠BAD，利用正弦函数即可求出垂直高度。
（2）要确保不滑坡且BE最短，即改造后坡角刚好为45°时BE取最小值。过E作AD的垂线，由BC//AD可知两条高相等，且四边形BEGF为矩形，BE=FG。先在45°的直角三角形中求出AG的长度，再求出原来的AF长度，二者的差就是BE的最小值。
【解析】
(1) 过点B作$BF ⊥ AD$，垂足为F。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ BAD=60°$，$AB=40\ \mathrm{m}$，
$BF = AB· \sin∠ BAD = 40× \sin60° = 40× \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
(2) 过点E作$EG ⊥ AD$，垂足为G。
$\because BC// AD$，$BF⊥ AD$，$EG⊥ AD$，
$\therefore EG = BF = 20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，四边形BEGF为矩形，故$BE = FG$。
当坡角$∠ EAG=45°$时，BE取得最小值，
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$AG = \frac{EG}{\tan45°} = \frac{20\sqrt{3}}{1} = 20\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AF = AB· \cos∠ BAD = 40× \cos60° = 40× \frac{1}{2} = 20\ (\mathrm{m})$，
$\therefore BE = FG = AG - AF = 20\sqrt{3} - 20\ (\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 山坡高度为$20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$；
(2) $BE$至少是$(20\sqrt{3}-20)\ \mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数计算，矩形的性质
【点评】
本题结合山体改造的实际场景考查解直角三角形的应用，解题核心是正确作辅助线构造直角三角形，结合坡角定义和锐角三角函数的几何意义求解对应线段，难度不高，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
