7.「★★☆」如图，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是（）

A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.$OM^2 + PM^2 = OP^2$
D.点N是OP的中点

第7题图 第8题图

7.D A.$\because ∠ O + ∠ P + ∠ OMP = 180°$,且 $∠ O + ∠ P = 90°$,$\therefore ∠ OMP=90°$,$\because OM$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore PM$ 是$\odot O$ 的切线,故不符合题意;B.$\because ∠ O+∠ P+∠ OMP = 180°$,且 $∠ O+∠ P= ∠ OMP$,$\therefore ∠ OMP=90°$,$\because OM$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore PM$ 是$\odot O$的切线,故不符合题意;C.$\because OM^2+PM^2=OP^2$,$\therefore △ OMP$ 是直角三角形,且$∠ OMP=90°$,$\because OM$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore PM$ 是$\odot O$ 的切线,故不符合题意;D.由点 N 是 OP 的中点不能得出$∠ OMP=90°$,即不能得出 PM 是$\odot O$ 的切线,故符合题意.故选 D.

8.「2025广东广州黄埔期末，★★☆」如图所示的是周长为15 cm的三角形纸片ABC，小刚想用剪刀剪出它的内切圆⊙O，他先沿着与⊙O相切的DE剪下了一个三角形纸片BDE，已知AC=4 cm，则三角形纸片BDE的周长是 （）

A.10 cm
B.9 cm
C.8 cm
D.7 cm

8.D 如图,设$△ ABC$ 的三边分别与$\odot O$ 相切于点 M,N,F,DE与$\odot O$ 相切于点 G,由切线长定理可知 $AM=AF,CN=CF$, $BM=BN,DM=DG,EG=EN$,$\because AB+AC+BC = 15 \mathrm{ cm}$,$AC =4 \mathrm{ cm}$,$\therefore AM+CN = AF+CF = AC = 4 \mathrm{ cm}$,$AB+BC = 15 - 4 =11(\mathrm{cm})$,$\therefore$ 三角形 BDE 的周长 $= DB+DE+BE = BD+DG+GE+BE=BD+DM+EN+BE=BM+BN=AB+BC-(AM+CN)=7 \mathrm{ cm}$.故选 D.

9. 情境 数学文化 发展史 「2025湖北武汉期末，★★☆」魏晋数学家刘徽首创的“割圆术”就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.如图，六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形，把每段弧二等分，即可得到$\odot O$的内接正十二边形，取弧CD的中点G，连接FG.若$AB=2$，则FG的长为（）

A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{6}$

9.D 如图,连接 FC,GC,OG,OE,OD,过点 G 作 GH⊥FC 于点 H,$\because$ 六边形 ABCDEF 是$\odot O$ 的内接正六边形，$\therefore$ 点 O 在直径 FC 上,$∠ EOF = ∠ COD =60°$,$AB=FE=2$,$\because OE=OF$,$\therefore △ OEF$ 为等边三角形，$\therefore FE=OF=2$,$\therefore OC=OG=OF=2$,$\because$ 点 G 为弧 CD 的中点，$\therefore ∠ GOC=\frac{1}{2}∠ DOC=30°$,$\therefore GH=\frac{1}{2} OG=1$,由勾股定理得 $OH=\sqrt{OG^2-GH^2}=\sqrt{3}$ ,$\therefore HC=2-\sqrt{3}$.在 Rt$△ GHC$ 中,由勾股定理得 $GC^2=GH^2+CH^2=1^2+(2-\sqrt{3} )^2=8-4\sqrt{3}$ ,$\because FC$ 为直径,$\therefore ∠ FGC=90°$,$FC=2OF=4$,$\therefore FG=\sqrt{FC^2-CG^2}=\sqrt{8+4\sqrt{3} }=\sqrt{2}+\sqrt{6}$ .故选 D.

10.「2026广西柳州一模，★★☆」如图，已知在平面直角坐标系$xOy$中，$O$为坐标原点，抛物线$y=-\dfrac{5}{16}x^2+bx$与$x$轴的一个公共点为$A(-8,0)$，点$C$是抛物线的顶点，且$\odot C$与$y$轴相切，点$P$为$\odot C$上一动点，若点$D$为$PA$的中点，连接$OD$，则$OD$的最大值是（）

A.$\sqrt{89}$
B.$\dfrac{17}{2}$
C.$\dfrac{15}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{281}}{2}$

10.B 如图,取点 $H(8,0)$,连接 $PH$，把$(-8,0)$代入 $y=-\frac{5}{16}x^2+bx$,得$-20-8b=0$,解得 $b=-\frac{5}{2}$ ,$\therefore y=-\frac{5}{16} x^2 -\frac{5}{2} x = -\frac{5}{16} (x+4)^2+5$,$\therefore$ 顶点 C 的坐标为$(-4,5)$,$\because \odot C$ 与 y 轴相切,$\therefore \odot C$ 的半径为 4,$\because$ 点 D 为 PA 的中点,$OA=OH$,$\therefore OD$ 是$△ APH$ 的中位线,$\therefore OD=\frac{1}{2} PH$,$\therefore$ 当 PH 有最大值时,OD 有最大值,$\because$ 当 PH 过点 C 时,PH 取最大值,$\therefore PH$ 的最大值为 $4+\sqrt{(-4-8)^2+5^2 }=4+13=17$,$\therefore OD$ 的最大值为$\frac{17}{2}$ .故选 B.