二、填空题(每小题3分,共24分)
11.「2026江苏南京鼓楼月考，★☆」已知$\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$,圆心O到某直线的距离为$\sqrt{10}$,则该直线与$\odot O$的位置关系是.

11.答案 相交
解析 $\because (\frac{13}{4} )^2 = \frac{169}{16} = 10 \frac{9}{16}$,$(\sqrt{10} )^2 = 10$,$10 \frac{9}{16} ＞ 10$,$\therefore \frac{13}{4} ＞\sqrt{10}$ ,即 $d＜r$,$\therefore$ 该直线与$\odot O$ 的位置关系是相交.

12.「★☆」如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,点P是劣弧CD上一点(不与点C重合),则$∠ BPC$的度数为.

12.答案 36°
解析 如图,连接 OC,OB,$\because$ 五边形 ABCDE 是正五边形,且内接于$\odot O$,$\therefore ∠ COB=360°÷5=72°$,$\therefore ∠ BPC=\frac{1}{2} ∠ COB=36°$.

13.「2025甘肃武威凉州期末，★☆」如图，A，B是$\odot O$上的两点，如果$∠ AOB=100°$，那么当$∠ CAB=$$°$时，AC与$\odot O$相切.

13.答案 50
解析 $\because OA = OB$,$∠ AOB = 100°$,$\therefore ∠ OAB = ∠ OBA =\frac{1}{2} ×(180°-100°)=40°$,$\because AC$ 与$\odot O$ 相切,$\therefore ∠ OAC=90°$,$\therefore ∠ CAB=∠ OAC-∠ OAB=50°$.

14.「2025江苏泰州靖江模拟，★☆」如图，点I为$△ ABC$的内心，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=9\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，将$∠ ACB$平移，使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为。

14.答案 12 cm
解析 如图,连接 AI,BI,点 D,E 是阴影三角形的两个顶点，$\because$ 点 I 是$△ ABC$ 的内心,$\therefore AI$ 平分$∠ BAC$,$BI$ 平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ DAI=∠ CAI$,$∠ EBI=∠ CBI$,由平移可知 $ID// AC$,$IE// BC$,$\therefore ∠ DIA = ∠ CAI$,$∠ EIB = ∠ CBI$,$\therefore ∠ DIA = ∠ DAI$,$∠ EIB = ∠ EBI$,$\therefore ID=AD$,$IE=BE$,$\therefore$ 阴影部分的周长 $= ID+DE+EI=AD+DE+BE=AB=12 \mathrm{ cm}$.

15.「2026山东德州乐陵期末，★★☆」如图，PA，PB与$\odot O$相切于点A，B，AB与OP交于点H.若$AP=2\sqrt{3}$，$∠ APB=60°$，则OH的长为.

15.答案 1
解析 如图,连接 OA,OB,$\because PA,PB$ 与$\odot O$ 相切,$\therefore OA⊥ PA$,$OB⊥ PB$,$PA=PB$.$\because OA=OB$,$\therefore OP$ 垂直平分 AB,$\therefore PO$ 平分$∠ APB$,$OP ⊥ AB$.$\because ∠ APB=60°$,$\therefore ∠ APO=30°$,$\therefore ∠ AOH=60°$,$AH=\frac{1}{2} AP=\sqrt{3}$ ,$\because OP ⊥ AB$,$\therefore ∠ OAH=30°$,$\therefore OA=2OH$. 在 Rt$△ OAH$中,由勾股定理得 $AH^2 + OH^2 = OA^2$ ,$\therefore (\sqrt{3} )^2 + OH^2 =(2OH)^2$ ,$\therefore OH=1$(舍负).

16. 学科特色
多解法
情境数学文化
发展史
「2026福建泉州鲤城月考，★★☆」《九章算术》中有这样一道题:今有勾八步,股十五步,问勾中容圆,径几何?
其意思是:今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形的容圆(内切圆)直径是多少?根据题意,内切圆的直径是.

16.答案 6步
解析 如图,$\odot O$ 与$△ ABC$ 的各边分别相切于点 F,E,D,$∠ ACB=90°$,$AC=8$ 步,$BC=15$ 步,$\therefore AB=\sqrt{8^2+15^2 }=17(\mathrm{步})$.
【解法一】连接 OD,OE,由切线的性质得$∠ ODC=∠ OEC=90°=∠ ACB$,$\therefore$ 四边形 OECD 是矩形,$\because OD=OE$,$\therefore$ 四边形OECD 是正方形,$\therefore OE=CE=CD$,由切线长定理可得 $AD=AF$,$BE=BF$,$\therefore CD+CE=2CE=AC+BC-(AD+BE)=AC+BC-AB=6$ 步,$\therefore OE=CE=3$ 步,$\therefore \odot O$ 的直径为 6 步.
【解法二】连接 OE,OD,OF,OA,OB,OC,$\because \odot O$ 是$△ ABC$ 的内切圆,$\therefore OD = OE = OF$,$OD ⊥ AC$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AB$,$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ BCO}+S_{△ ACO}$ ,$\therefore \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · OF +\frac{1}{2} BC · OE + \frac{1}{2} AC · OD$ ,$\therefore 8×15 = 17OF + 15OE + 8OD$,$\therefore OD=OE=OF=3$ 步,$\therefore \odot O$ 的直径为 6 步.
知识拓展 设 Rt$△ ABC$ 的两直角边长分别为 a,b,斜边长为c,利用本题的解法可求得其内切圆半径 $r=\frac{a+b-c}{2}$ .

17.「2026山东济宁月考，★★☆」如图，$\odot P$与$y$轴相切于点$C$，与$x$轴相交于点$A(-1,0)$，$B(-9,0)$，则圆心$P$的坐标是。

17.答案 (-5,3)
解析 如图,连接 PC,PA,过点 P 作 $PD ⊥ AB$ 于点 D,$\because A(-1,0),B(-9,0)$,$\therefore OA = 1$,$AB = 8$,由垂径定理得$AD=\frac{1}{2} AB=4$,$\therefore OD=OA+AD=1+4=5$,$\because \odot P$ 与 y 轴相切,$\therefore ∠ PCO=90°$,$\because ∠ PDO=∠ COD=90°$,$\therefore$ 四边形 PDOC是矩形,$\therefore PC=DO=5$,$\therefore AP=PC=5$,在直角三角形 ADP中,由勾股定理得 $PD=\sqrt{PA^2-AD^2 }=\sqrt{5^2-4^2 }=3$,$\therefore$ 圆心 P的坐标是$(-5,3)$.

18.「★★」如图，$∠ ACB=45°$，半径为2的$\odot O$与角的两边相切，点P是$\odot O$上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E,F，设$t=PE+\sqrt{2}PF$，则t的取值范围是。

18.答案 $2\sqrt{2} ≤ t≤4+2\sqrt{2}$
解析 设半径为 2 的$\odot O$ 与$∠ ACB$ 的两边分别相切于点M,N,连接 OM,ON,延长 NO 交 CB 于点 D,$\therefore ∠ CND=∠ OMD=90°$.$\because ∠ ACB=45°$,$\therefore △ CND$ 是等腰直角三角形.$\therefore ∠ CDN=45°$.$\because ON=OM=2$,$\therefore OD=2\sqrt{2}$ .$\therefore CN=DN=2+2\sqrt{2}$ ,延长 EP 交 BC 于点 Q,同理可得 $CE=EQ$,$PQ=\sqrt{2} PF$,$\therefore t=PE+\sqrt{2} PF=PE+PQ=EQ$.如图 1,当 EQ 与$\odot O$ 相切且点 P 在圆心的右侧时,t 取最大值.连接 OP,则四边形 ENOP 是正方形.$\therefore EN=OP=2$.$\therefore t=EQ=CE=CN+EN=2+2\sqrt{2} +2=4+2\sqrt{2}$ .如图 2,当 EQ 与$\odot O$ 相切且点 P 在圆心的左侧时,t 取最小值.同理可得 $t=2\sqrt{2}$ .故 t 的取值范围是 $2\sqrt{2} ≤ t≤4+2\sqrt{2}$ .