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三、解答题(共66分)
19. 聚焦中考尺规作图「2025福建厦门期末，★☆」(10分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=30°,AB=AC$.
(1)在图中,以CA延长线上一点O为圆心作圆,使该圆经过点A,B.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,判断直线BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
19. 聚焦中考尺规作图「2025福建厦门期末，★☆」(10分)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=30°,AB=AC$.
(1)在图中,以CA延长线上一点O为圆心作圆,使该圆经过点A,B.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,判断直线BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
答案
19.解析 (1)如图所示,$\odot O$ 就是所求作的圆.
(2)直线 BC 与$\odot O$ 相切.理由:如图,连接 OB,$\because ∠ C=30°$,$AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ C=30°$,$\therefore ∠ OAB=∠ ABC+∠ C=60°$,$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OBA=∠ OAB=60°$,$\therefore ∠ OBC=∠ OBA+∠ ABC=90°$,即 $BC ⊥ OB$,$\because OB$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 BC 与$\odot O$ 相切.
题型解读 作辅助线判定圆的切线的常用方法:①如果已知直线经过圆上的一点,那么连接这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可,简记为有切点,连半径,证垂直.②如果已知条件中没有说直线与圆是否有公共点,那么过圆心作直线的垂线,再证明垂线段的长度等于半径即可,简记为无切点,作垂直,证半径.
20.「2025湖南中考，★☆」(10分)如图,△ABC的顶点A,C在⊙O上,圆心O在边AB上,∠ACB=120°,BC与⊙O相切于点C,连接OC.
(1)求∠ACO的度数.
(2)求证:AC=BC.
(1)求∠ACO的度数.
(2)求证:AC=BC.
答案
20.解析 (1)$\because BC$ 与$\odot O$ 相切,$\therefore ∠ OCB=90°$,$\because ∠ ACB=120°$,$\therefore ∠ ACO=∠ ACB-∠ OCB=120°-90°=30°$.
(2)证明:$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ ACO=30°$,$\because ∠ ACB=120°$,$∠ OAC+∠ B+∠ ACB=180°$,$\therefore ∠ B=30°$,$\therefore ∠ OAC=∠ B$,$\therefore AC=BC$.
(2)证明:$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ ACO=30°$,$\because ∠ ACB=120°$,$∠ OAC+∠ B+∠ ACB=180°$,$\therefore ∠ B=30°$,$\therefore ∠ OAC=∠ B$,$\therefore AC=BC$.
