21.「2026江苏盐城盐都期中，★★☆」(10分)如图，AB为$\odot O$的直径，过点A作直线AE，点C在圆上，连接CE，与AB交于点D，且$AC=AE,BC=BD.$
(1)试判断直线AE与$\odot O$的位置关系，并说明理由.
(2)若$AC=3,DE=\sqrt{10}$，求$\odot O$的半径.

21.解析 (1)直线 AE 与$\odot O$ 相切.理由:$\because AB$ 为$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°$,$\because BC=BD$,$AC=AE$,$\therefore ∠ BCD=∠ BDC=∠ ADE$,$∠ AEC=∠ ACE$,$\therefore ∠ ADE+∠ AEC=90°$,$\therefore ∠ DAE=90°$,$\because OA$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore$ 直线 AE 与$\odot O$ 相切.
(2)在 Rt$△ ADE$ 中,$\because AE=AC=3$,$DE=\sqrt{10}$ ,$\therefore AD=\sqrt{DE^2-AE^2 }=1$,$\therefore BC=BD=AB-1$,在 Rt$△ ABC$ 中,由勾股定理得 $AB^2=AC^2+BC^2$ ,$\therefore AB^2=3^2+(AB-1)^2$ ,解得 $AB=5$,$\therefore \odot O$ 的半径为 2.5.

22.「2025四川绵阳中考，★★☆」(10分)如图,在中心为O的正六边形ABCDEF中,点G,H分别在边AF,CD上,且与正六边形的顶点不重合,CH=FG.
(1)证明:四边形BGEH为平行四边形.
(2)若正六边形的边长为4,以点O为圆心,OB长为半径的扇形BOF与正六边形形成阴影部分,求图中阴影部分的面积.

22.解析 (1)证明:$\because$ 六边形 ABCDEF 是正六边形,$\therefore ∠ C=∠ D=∠ AFE=∠ BAF$,$AB=BC=CD=DE=EF=AF$,$\because CH=FG$,$\therefore CD-CH=AF-FG$,即 $HD=AG$,在$△ BCH$ 和$△ EFG$ 中,
$\begin{cases}BC=EF,\\∠ C=∠ EFG,\\CH=FG,\end{cases}$
$\therefore △ BCH≌△ EFG(\mathrm{SAS})$,$\therefore BH=EG$,在$△ ABG$ 和$△ DEH$ 中,
$\begin{cases}AB=DE,\\∠ BAG=∠ D,\\AG=DH,\end{cases}$
$\therefore △ ABG≌△ DEH(\mathrm{SAS})$,$\therefore BG=EH$,$\therefore$ 四边形 BGEH 为平行四边形.
(2)如图,连接 OA,OB,OF,$\because$ 六边形 ABCDEF 是正六边形,$\therefore ∠ AOB = ∠ AOF = \frac{360°}{6} = 60°$,$OA =OB=OF$,$AB=AF$,$\therefore △ AOB$,$△ AOF$ 是正三角形,$S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{\mathrm{弓形}AF}$,$\therefore OA=OB=OF=AB=4$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{弓形}AB} + S_{\mathrm{弓形}AF} = 2S_{\mathrm{弓形}AB} = 2( S_{\mathrm{扇形}AOB} - S_{△ AOB} ) = 2×(\frac{60π×4^2}{360} - \frac{1}{2} ×4×2\sqrt{3} )= \frac{16}{3} π -8\sqrt{3}$ .

23. 情境 中华优秀传统文化 传统文化「2026河南许昌建安月考，★★☆」(12分)数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究:纺线时(如图),木架水平放置,即绳轮$\odot O$与水平面DB相切于点E(绳轮与地面之间的距离忽略不计),线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上,即线绳CD与$\odot O$相切于点C,过切点E的直径与$\odot O$交于点A(图中点O,A,E,D,C,B在同一平面内).
(1)连接AC,求证:$∠ ACD+\frac{1}{2}∠ AOC=180°$.
(2)该小组在实践过程中发现,当纺车的绳轮半径OE为30 cm,且圆心O与D处锭子之间的水平距离DE在70 cm到120 cm之间时,纺线较为舒适.若$∠ CDE=45°$,OE=30 cm,请判断使用该纺车纺线时是否舒适,并说明理由.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.414$,计算结果精确到个位)

23.解析 (1)证明:$\because CD$ 与$\odot O$ 相切于点 C,$\therefore ∠ OCD=90°$,$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAC+∠ OCA+∠ AOC=180°$,$\therefore ∠ OCA+\frac{1}{2} ∠ AOC=90°$,$\therefore ∠ ACD+\frac{1}{2} ∠ AOC = ∠ OCD + ∠ OCA + \frac{1}{2} ∠ AOC = 90°+90°=180°$.
(2)舒适.理由:如图,连接 OD,$\because DE$ 与$\odot O$ 相切于点 E,$CD$ 与$\odot O$ 相切于点 C,$\therefore ∠ OED=90°$,$DE=DC$,$\therefore ∠ ODE = ∠ ODC = \frac{1}{2} ∠ CDE =22.5°$,作 OD 的垂直平分线交 DE 于点 F,连接 OF,则 $OF=DF$,$\therefore ∠ DOF=∠ ODF=22.5°$,$\therefore ∠ OFE=∠ DOF+∠ ODF=45°$,$\therefore △ OEF$ 为等腰直角三角形,$\therefore EF=OE=30 \mathrm{ cm}$,$\therefore OF=DF=\sqrt{2} OE=30\sqrt{2} \mathrm{ cm}$,$\therefore DE=EF+DF=30+30\sqrt{2} \approx72(\mathrm{cm})$,$70 \mathrm{ cm}＜72 \mathrm{ cm}＜120 \mathrm{ cm}$,$\therefore$ 使用该纺车纺线时舒适.