24. 聚焦中考项目式学习「2026四川南充模拟，★★」(14分)【问题情境】在一次数学活动课上，同学们对一道例题进行了深入研讨.
【例题题目】如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分$∠ DAB$.
(1)【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下：如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分$∠ DAB$，那么CD为$\odot O$的切线.这个命题是真命题吗？说明你判断的依据.
(2)【问题拓展】思进小组同学发现，例题中记AD与$\odot O$交于点E，三条线段AE，DE，AB有特定的数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由.

24.解析 【例题解析】证明:如图,连接 OC,$\because OA=OC$,$\therefore ∠ ACO=∠ CAO$,$\because CD$ 与$\odot O$ 相切于点 C,$\therefore OC ⊥ CD$,$\because AD ⊥ CD$,$\therefore OC// AD$,$\therefore ∠ CAD=∠ ACO$,$\therefore ∠ CAD=∠ CAO$,$\therefore AC$ 平分$∠ DAB$.
(1)这个命题是真命题.理由如下:如上图,连接 OC,$\because OA=OC$,$\therefore ∠ ACO=∠ CAO$,$\because AC$ 平分$∠ DAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ CAO$,$\therefore ∠ CAD=∠ ACO$,$\therefore OC// AD$,$\because AD ⊥ CD$,$\therefore OC ⊥ CD$,$\because OC$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore CD$ 为$\odot O$ 的切线.
(2)$AE+2DE=AB$.理由如下:如图,在 AB 上截取 $AF=AE$,连接 CF,CE,CB,过点 C 作$CH ⊥ AB$ 于点 H,$\because ∠ CAD=∠ CAO$,$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$ ,$\therefore CE=CB$,$\because CD ⊥ AD$,$CH ⊥ AB$,$\therefore CD=CH$,$\therefore \mathrm{Rt}△ CED≌\mathrm{Rt}△ CBH(\mathrm{HL})$,$\therefore DE=HB$,$∠ CED=∠ B$,$\because AE=AF$,$∠ EAC=∠ FAC$,$AC=AC$,$\therefore △ AEC≌△ AFC(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ AEC=∠ AFC$,$\because ∠ AEC+∠ CED=∠ AFC+∠ CFB=180°$,$\therefore ∠ CED=∠ CFB$,$\therefore ∠ B=∠ CFB$,$\therefore CF=CB$,$\because CH ⊥ AB$,$\therefore FB=2HF=2HB=2DE$,$\therefore AE+2DE=AF+FB=AB$.