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1.某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306，那么参加比赛的球队共有(
A.17支
B.18支
C.19支
D.20支
B
)。A.17支
B.18支
C.19支
D.20支
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确双循环赛制的含义：每两支球队之间都要进行2场比赛（主客场各1场）。我们可以设参赛球队有x支，推导总场次的计算方式：每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛2场，双循环赛制下两场比赛为不同场次，不存在重复计数，因此总场数为x(x-1)。结合题目给出的总场数306，即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义（球队数为正整数）舍去不合题意的根，就能得到答案。
【解析】
解：设参加比赛的球队共有x支。
双循环赛制下，总比赛场数计算公式为$x(x-1)$，根据题意列方程：
$x(x-1) = 306$
整理得：$x^2 - x - 306 = 0$
因式分解得：$(x - 18)(x + 17) = 0$
解得：$x_1=18$，$x_2=-17$
因为球队数量不能为负数，舍去$x_2=-17$，即参赛球队共有18支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；比赛场次计数规则
【点评】
本题是典型的实际场景类一元二次方程应用题，解题核心是准确理解双循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
首先明确双循环赛制的含义：每两支球队之间都要进行2场比赛（主客场各1场）。我们可以设参赛球队有x支，推导总场次的计算方式：每支球队需要和除自身外的(x-1)支球队各赛2场，双循环赛制下两场比赛为不同场次，不存在重复计数，因此总场数为x(x-1)。结合题目给出的总场数306，即可列出一元二次方程，求解后结合实际意义（球队数为正整数）舍去不合题意的根，就能得到答案。
【解析】
解：设参加比赛的球队共有x支。
双循环赛制下，总比赛场数计算公式为$x(x-1)$，根据题意列方程：
$x(x-1) = 306$
整理得：$x^2 - x - 306 = 0$
因式分解得：$(x - 18)(x + 17) = 0$
解得：$x_1=18$，$x_2=-17$
因为球队数量不能为负数，舍去$x_2=-17$，即参赛球队共有18支。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用；比赛场次计数规则
【点评】
本题是典型的实际场景类一元二次方程应用题，解题核心是准确理解双循环赛制的场次计算逻辑，正确列出方程，求解后要注意结合实际问题的取值范围检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
2.若干支球队进行主客场双循环比赛，如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数不可能为(
A.72
B.110
C.120
D.182
C
)。A.72
B.110
C.120
D.182
答案
2.C
解析
【分析】
首先要明确主客场双循环赛制的比赛场数计算规则：每两支球队之间需要分别在各自主场进行1场比赛，也就是每两队共赛2场。由此可推导出n支球队参赛时总场数的表达式为$n(n-1)$，即总场数一定是两个连续正整数的乘积。接下来只需要逐一验证四个选项是否能写成两个连续正整数的乘积，不能的即为答案。
【解析】
主客场双循环赛制下，每两支球队之间要进行2场比赛，因此n支球队的总比赛场数计算如下：
从n支球队中任选2支球队，两两组合共有$\frac{n(n-1)}{2}$种，每种组合对应2场比赛，因此总场数$S=2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$，其中n为大于等于2的正整数，即总场数是两个连续正整数的乘积。
逐一验证选项：
A. $72=9×8$，符合连续正整数乘积，可能；
B. $110=11×10$，符合连续正整数乘积，可能；
C. 不存在两个连续正整数的乘积为120（$10×11=110$，$11×12=132$，中间无120），不可能；
D. $182=14×13$，符合连续正整数乘积，可能。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
双循环赛制计数、一元二次方程的应用、整数性质
【点评】
本题结合生活中的比赛赛制设置问题，核心是先准确推导总场数的表达式，再通过验证整数特性筛选答案，解题时要注意区分单循环和双循环赛制的场数计算逻辑，避免混淆公式出错。
【难度系数】
0.7
首先要明确主客场双循环赛制的比赛场数计算规则：每两支球队之间需要分别在各自主场进行1场比赛，也就是每两队共赛2场。由此可推导出n支球队参赛时总场数的表达式为$n(n-1)$，即总场数一定是两个连续正整数的乘积。接下来只需要逐一验证四个选项是否能写成两个连续正整数的乘积，不能的即为答案。
【解析】
主客场双循环赛制下，每两支球队之间要进行2场比赛，因此n支球队的总比赛场数计算如下：
从n支球队中任选2支球队，两两组合共有$\frac{n(n-1)}{2}$种，每种组合对应2场比赛，因此总场数$S=2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$，其中n为大于等于2的正整数，即总场数是两个连续正整数的乘积。
逐一验证选项：
A. $72=9×8$，符合连续正整数乘积，可能；
B. $110=11×10$，符合连续正整数乘积，可能；
C. 不存在两个连续正整数的乘积为120（$10×11=110$，$11×12=132$，中间无120），不可能；
D. $182=14×13$，符合连续正整数乘积，可能。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
双循环赛制计数、一元二次方程的应用、整数性质
【点评】
本题结合生活中的比赛赛制设置问题，核心是先准确推导总场数的表达式，再通过验证整数特性筛选答案，解题时要注意区分单循环和双循环赛制的场数计算逻辑，避免混淆公式出错。
【难度系数】
0.7
3.(2025,辽宁,9)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步? 设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为(
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
).A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形面积=长×宽。第一步，根据题干“长与宽共60步”，已知设宽为x步，即可推出长为(60-x)步；第二步，将长、宽以及已知的面积864平方步代入面积公式，即可列出对应的方程，同时可通过量的合理性（长度为正）、公式匹配度（区分面积和周长公式）排除错误选项。
【解析】
已知设矩形的宽为$ x $步，由“长与宽共60步”可得，矩形的长为$ (60 - x) $步。
根据矩形面积公式：$ \mathrm{矩形面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，已知矩形面积为864平方步，代入对应量可得：
$ x(60 - x) = 864 $，符合A选项的表达式。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学典籍的内容为背景，考查根据实际问题列一元二次方程的能力，解题关键是准确找出等量关系，正确表示出矩形的长。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心等量关系为矩形面积=长×宽。第一步，根据题干“长与宽共60步”，已知设宽为x步，即可推出长为(60-x)步；第二步，将长、宽以及已知的面积864平方步代入面积公式，即可列出对应的方程，同时可通过量的合理性（长度为正）、公式匹配度（区分面积和周长公式）排除错误选项。
【解析】
已知设矩形的宽为$ x $步，由“长与宽共60步”可得，矩形的长为$ (60 - x) $步。
根据矩形面积公式：$ \mathrm{矩形面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，已知矩形面积为864平方步，代入对应量可得：
$ x(60 - x) = 864 $，符合A选项的表达式。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题以中国古代数学典籍的内容为背景，考查根据实际问题列一元二次方程的能力，解题关键是准确找出等量关系，正确表示出矩形的长。
【难度系数】
0.8
4.已知长为1的线段AB上有一点C，若$ AC^2 = AB · BC $，则AC的长为(
A.$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
C
).A.$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$
D.$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
答案
4.C
解析
【分析】
我们可以通过设未知数的方法求解AC的长度：首先设AC的长为x，用含x的式子表示出BC的长度；再根据题目给出的等量关系$AC^2=AB·BC$列出一元二次方程；最后求解方程，结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到AC的长。
【解析】
设$AC=x$，已知$AB=1$，则$BC=AB-AC=1-x$。
根据题意$AC^2 = AB · BC$，代入得：
$x^2 = 1 × (1 - x)$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$
$x = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
因为线段长度为正数，所以$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合题意舍去，故$AC=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，求根公式，线段和差计算
【点评】
本题考查方程思想在几何线段计算中的应用，解题核心是准确根据等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，本题也可直接利用黄金分割的定义快速得到结果。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数的方法求解AC的长度：首先设AC的长为x，用含x的式子表示出BC的长度；再根据题目给出的等量关系$AC^2=AB·BC$列出一元二次方程；最后求解方程，结合线段长度为正的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到AC的长。
【解析】
设$AC=x$，已知$AB=1$，则$BC=AB-AC=1-x$。
根据题意$AC^2 = AB · BC$，代入得：
$x^2 = 1 × (1 - x)$
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + x - 1 = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-1$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$
$x = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
因为线段长度为正数，所以$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}＜0$，不符合题意舍去，故$AC=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用，求根公式，线段和差计算
【点评】
本题考查方程思想在几何线段计算中的应用，解题核心是准确根据等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍，本题也可直接利用黄金分割的定义快速得到结果。
【难度系数】
0.7
5.如图,矩形ABCD 的周长是 20 cm,以 AB,AD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形ADGH,如果正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和为 68 cm²,那么矩形 ABCD 的面积是(
A.16 cm²
B.20 cm²
C.24 cm²
D.48 cm²
A
).A.16 cm²
B.20 cm²
C.24 cm²
D.48 cm²
答案
5.A
解析
【分析】
我们可以通过设未知数将几何条件转化为代数关系求解：首先设矩形ABCD的长AB为x cm，宽AD为y cm。第一步，根据矩形周长公式可得x与y的和；第二步，根据两个正方形的面积和可得x²与y²的和；第三步，要求矩形面积即求xy的值，可利用完全平方公式的变形，或者列一元二次方程求解xy即可。
【解析】
设矩形ABCD的边长AB=x cm，AD=y cm。
1. 由矩形ABCD周长为20 cm，得：
$2(x+y)=20$，化简得 $x+y=10$。
2. 由正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm²，得：
$x^2+y^2=68$。
3. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$x+y=10$两边平方得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=100$。
4. 把$x^2+y^2=68$代入上式，得：
$68+2xy=100$，解得$2xy=32$，即$xy=16$。
因此矩形ABCD的面积是16 cm²，答案选A。
【知识点】
完全平方公式、矩形周长与面积、正方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既可以用完全平方公式的变形快速求解矩形面积，也可以通过列一元二次方程分别求出长和宽再计算面积，解题时选择合适的方法可简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数将几何条件转化为代数关系求解：首先设矩形ABCD的长AB为x cm，宽AD为y cm。第一步，根据矩形周长公式可得x与y的和；第二步，根据两个正方形的面积和可得x²与y²的和；第三步，要求矩形面积即求xy的值，可利用完全平方公式的变形，或者列一元二次方程求解xy即可。
【解析】
设矩形ABCD的边长AB=x cm，AD=y cm。
1. 由矩形ABCD周长为20 cm，得：
$2(x+y)=20$，化简得 $x+y=10$。
2. 由正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm²，得：
$x^2+y^2=68$。
3. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$x+y=10$两边平方得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=100$。
4. 把$x^2+y^2=68$代入上式，得：
$68+2xy=100$，解得$2xy=32$，即$xy=16$。
因此矩形ABCD的面积是16 cm²，答案选A。
【知识点】
完全平方公式、矩形周长与面积、正方形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，既可以用完全平方公式的变形快速求解矩形面积，也可以通过列一元二次方程分别求出长和宽再计算面积，解题时选择合适的方法可简化计算步骤。
【难度系数】
0.7
6.有一个两位数，其十位数比个位数大6，且这个两位数比这两个数字之积的5倍还大2，则这个两位数是
82
。答案
6.82
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；题目给出了十位与个位数字的差、两位数和两数字乘积的等量关系，我们可以设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和两位数，再根据等量关系列方程求解，最后结合数位的实际取值范围（个位数字为0-9的整数，十位数字为1-9的整数）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x+6 $，这个两位数可表示为$ 10(x+6)+x $。
根据题意列方程：
$ 10(x+6) + x = 5x(x+6) + 2 $
化简整理方程：
左边合并得$ 11x + 60 $，右边展开得$ 5x^2 + 30x + 2 $
移项合并同类项得：$ 5x^2 + 19x - 58 = 0 $
因式分解得：$ (5x+29)(x-2) = 0 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-\frac{29}{5} $
因为个位数字为非负整数，所以$ x_2=-\frac{29}{5} $不符合题意，舍去。
则十位数字为$ x+6=2+6=8 $，这个两位数为$ 10×8 + 2 = 82 $。
检验：两数字之积为$ 8×2=16 $，$ 5×16 + 2 = 82 $，与两位数相等，符合题意。
【答案】
82
【知识点】
一元二次方程应用；数位表示；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际问题列方程求解类题目，核心考查点是正确用代数式表示多位数，以及根据实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合数位规则的无效解。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字；题目给出了十位与个位数字的差、两位数和两数字乘积的等量关系，我们可以设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和两位数，再根据等量关系列方程求解，最后结合数位的实际取值范围（个位数字为0-9的整数，十位数字为1-9的整数）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为$ x $，则十位数字为$ x+6 $，这个两位数可表示为$ 10(x+6)+x $。
根据题意列方程：
$ 10(x+6) + x = 5x(x+6) + 2 $
化简整理方程：
左边合并得$ 11x + 60 $，右边展开得$ 5x^2 + 30x + 2 $
移项合并同类项得：$ 5x^2 + 19x - 58 = 0 $
因式分解得：$ (5x+29)(x-2) = 0 $
解得：$ x_1=2 $，$ x_2=-\frac{29}{5} $
因为个位数字为非负整数，所以$ x_2=-\frac{29}{5} $不符合题意，舍去。
则十位数字为$ x+6=2+6=8 $，这个两位数为$ 10×8 + 2 = 82 $。
检验：两数字之积为$ 8×2=16 $，$ 5×16 + 2 = 82 $，与两位数相等，符合题意。
【答案】
82
【知识点】
一元二次方程应用；数位表示；一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的实际问题列方程求解类题目，核心考查点是正确用代数式表示多位数，以及根据实际意义对方程的根进行取舍，避免出现不符合数位规则的无效解。
【难度系数】
0.7
7.如图,某小区要修建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,当花圃的面积为80 m²时,矩形花圃的长为
10
m,宽为8
m.答案
7.10,8
解析
【分析】
解题首先要明确矩形花圃的边长与建筑材料、住房墙的关系：平行于住房墙的一边长度不能超过12m，垂直于住房墙的一边有1m宽的门，即该边少用1m的建筑材料。我们可以先设垂直于住房墙的边长为未知数，用总建筑材料长度表示出平行于住房墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合住房墙的长度限制对解进行取舍，得到符合实际的边长。
【解析】
设垂直于住房墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由于垂直边留了1m宽的门，总建筑材料长25m，因此平行于住房墙的边长为$ 25 + 1 - 2x = (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据花圃面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
接下来检验解的合理性：
① 当$ x = 5 $时，平行于墙的边长为$ 26 - 2 × 5 = 16 \, \mathrm{m} $，$ 16 ＞ 12 $，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
② 当$ x = 8 $时，平行于墙的边长为$ 26 - 2 × 8 = 10 \, \mathrm{m} $，$ 10 ＜ 12 $，符合要求。
因此矩形花圃的长为10m，宽为8m。
【答案】
10；8
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
3. 实际问题的解取舍
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，解题核心是结合“门的宽度”“围墙长度限制”两个隐含条件正确表示边长，列方程求解后一定要结合实际情况验证解的合理性，避免多解错选。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确矩形花圃的边长与建筑材料、住房墙的关系：平行于住房墙的一边长度不能超过12m，垂直于住房墙的一边有1m宽的门，即该边少用1m的建筑材料。我们可以先设垂直于住房墙的边长为未知数，用总建筑材料长度表示出平行于住房墙的边长，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合住房墙的长度限制对解进行取舍，得到符合实际的边长。
【解析】
设垂直于住房墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
由于垂直边留了1m宽的门，总建筑材料长25m，因此平行于住房墙的边长为$ 25 + 1 - 2x = (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据花圃面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
接下来检验解的合理性：
① 当$ x = 5 $时，平行于墙的边长为$ 26 - 2 × 5 = 16 \, \mathrm{m} $，$ 16 ＞ 12 $，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
② 当$ x = 8 $时，平行于墙的边长为$ 26 - 2 × 8 = 10 \, \mathrm{m} $，$ 10 ＜ 12 $，符合要求。
因此矩形花圃的长为10m，宽为8m。
【答案】
10；8
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
3. 实际问题的解取舍
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，解题核心是结合“门的宽度”“围墙长度限制”两个隐含条件正确表示边长，列方程求解后一定要结合实际情况验证解的合理性，避免多解错选。
【难度系数】
0.7
8.一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，晓萱统计了这次聚会上所有人一共握了28次手，则这次聚会的人数是
8
。答案
8.8
解析
【分析】
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路如下：第一步，设聚会人数为x人，每个人需要和除自己之外的(x-1)个人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被涉及的两个人各统计一次，总次数被重复计算了1倍，因此实际握手总次数应为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，结合题目给出的总握手次数28次，列出一元二次方程；第三步，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到最终的聚会人数。
【解析】
设这次聚会的人数是$x$人。
每个人与其余$(x-1)$人各握手1次，由于每两人的握手会被重复统计一次，因此总握手次数满足：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理方程得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.一元二次方程的实际应用 2.单循环计数问题
【点评】
本题是生活中常见的计数类应用题，解题关键是明确握手属于单循环计数，要去除重复计算的部分，同时求出方程的解后要注意检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是典型的单循环计数类应用题，解题思路如下：第一步，设聚会人数为x人，每个人需要和除自己之外的(x-1)个人握手，若直接计算x(x-1)，每一次握手会被涉及的两个人各统计一次，总次数被重复计算了1倍，因此实际握手总次数应为$\frac{x(x-1)}{2}$；第二步，结合题目给出的总握手次数28次，列出一元二次方程；第三步，解方程后舍去不符合实际意义的负根，即可得到最终的聚会人数。
【解析】
设这次聚会的人数是$x$人。
每个人与其余$(x-1)$人各握手1次，由于每两人的握手会被重复统计一次，因此总握手次数满足：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理方程得：$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：$(x-8)(x+7)=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=-7$
因为人数不能为负数，故舍去$x=-7$，即$x=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.一元二次方程的实际应用 2.单循环计数问题
【点评】
本题是生活中常见的计数类应用题，解题关键是明确握手属于单循环计数，要去除重复计算的部分，同时求出方程的解后要注意检验是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
9.一个小组有若干个人，新年时互送贺卡，全组共送贺卡72张，则这个小组共有
9
人。答案
9.9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理清互送贺卡的数量逻辑：每个人都要给除自己之外的其他所有人送1张贺卡，因此每人送出的贺卡数比小组总人数少1。总贺卡数等于小组总人数乘每人送出的贺卡数，我们可以设总人数为未知数，根据总贺卡数为72张的等量关系列一元二次方程求解，最后要结合人数为正整数的实际意义验根。
【解析】
设这个小组共有$ x $人。
∵ 每个人不需要给自己送贺卡，因此每人需向其余$ (x-1) $人各送1张贺卡，且互送贺卡是双向计数（甲送乙和乙送甲是2张不同的贺卡），
∴ 全组送出的总贺卡数为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程：
$ x(x-1)=72 $
整理得：$ x^2 - x -72=0 $
因式分解得：$ (x-9)(x+8)=0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $
∵ 人数不能为负数，因此舍去$ x_2=-8 $
∴ $ x=9 $
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 实际问题的验根原则
【点评】
本题是一元二次方程应用的经典题型，解题核心是准确把握互赠类问题的数量关系，注意区分互送贺卡和握手类问题的区别：互送贺卡是双向计数，总数量不需要除以2；握手是单向计数，总次数需要除以2，不要混淆两种模型的等量关系，同时解出方程后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理清互送贺卡的数量逻辑：每个人都要给除自己之外的其他所有人送1张贺卡，因此每人送出的贺卡数比小组总人数少1。总贺卡数等于小组总人数乘每人送出的贺卡数，我们可以设总人数为未知数，根据总贺卡数为72张的等量关系列一元二次方程求解，最后要结合人数为正整数的实际意义验根。
【解析】
设这个小组共有$ x $人。
∵ 每个人不需要给自己送贺卡，因此每人需向其余$ (x-1) $人各送1张贺卡，且互送贺卡是双向计数（甲送乙和乙送甲是2张不同的贺卡），
∴ 全组送出的总贺卡数为$ x(x-1) $张。
根据题意列方程：
$ x(x-1)=72 $
整理得：$ x^2 - x -72=0 $
因式分解得：$ (x-9)(x+8)=0 $
解得：$ x_1=9 $，$ x_2=-8 $
∵ 人数不能为负数，因此舍去$ x_2=-8 $
∴ $ x=9 $
【答案】
9
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 实际问题的验根原则
【点评】
本题是一元二次方程应用的经典题型，解题核心是准确把握互赠类问题的数量关系，注意区分互送贺卡和握手类问题的区别：互送贺卡是双向计数，总数量不需要除以2；握手是单向计数，总次数需要除以2，不要混淆两种模型的等量关系，同时解出方程后要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
10.有一个人感染了某种病毒，若在每轮传染中平均1人可以传染x人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，则第三轮传染后的感染人数为
2 197
。答案
10.2 197
解析
【分析】
解决本题首先要理清传染问题的数量逻辑：初始感染人数为1，每轮每个感染者传染x人，第一轮结束后总感染人数为初始人数加第一轮新增人数，即1+x；第二轮的传染基数是第一轮结束后的总人数，因此两轮结束后总感染人数可整理为$(1+x)^2$。先根据两轮后共169人感染的条件列一元二次方程，求解得到x的正值，再以两轮后的感染人数为第三轮的传染基数，计算第三轮结束后的总感染人数即可。
【解析】
解：设每轮传染中平均1人可以传染x人。
根据经过两轮传染后共有169人感染，列方程得：
$(1+x)^2 = 169$
开平方得：$1+x = \pm13$
由于传染人数x为正数，因此舍去负根，得$1+x=13$，解得$x=12$。
第三轮传染的基数为两轮后的169人，因此第三轮传染后总感染人数为：
$169×(1+12) = 169×13 = 2197$
【答案】
2197
【知识点】
一元二次方程实际应用；传染问题数量关系
【点评】
本题是传染类实际应用的基础题型，解题核心是准确把握每轮传染的基数，明确总感染人数的推导逻辑，求解方程后要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要理清传染问题的数量逻辑：初始感染人数为1，每轮每个感染者传染x人，第一轮结束后总感染人数为初始人数加第一轮新增人数，即1+x；第二轮的传染基数是第一轮结束后的总人数，因此两轮结束后总感染人数可整理为$(1+x)^2$。先根据两轮后共169人感染的条件列一元二次方程，求解得到x的正值，再以两轮后的感染人数为第三轮的传染基数，计算第三轮结束后的总感染人数即可。
【解析】
解：设每轮传染中平均1人可以传染x人。
根据经过两轮传染后共有169人感染，列方程得：
$(1+x)^2 = 169$
开平方得：$1+x = \pm13$
由于传染人数x为正数，因此舍去负根，得$1+x=13$，解得$x=12$。
第三轮传染的基数为两轮后的169人，因此第三轮传染后总感染人数为：
$169×(1+12) = 169×13 = 2197$
【答案】
2197
【知识点】
一元二次方程实际应用；传染问题数量关系
【点评】
本题是传染类实际应用的基础题型，解题核心是准确把握每轮传染的基数，明确总感染人数的推导逻辑，求解方程后要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
