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11.用一条长 40 cm 的绳子怎样围成一个面积为 75 cm² 的矩形？能不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形？如果能，说明围法；如果不能，说明理由。
答案
11.【解】
∵绳子的长为 40 cm，
设矩形的一条边长为 x cm，
则另一条边长为(20−x)cm，
根据题意，列出方程 x(20−x)=75，
即 x²−20x+75=0. 解得 x₁=15,x₂=5.
当 x=15 时,20−x=5;当 x=5 时,20−x=15.
∴矩形的长取 15 cm、宽取 5 cm 时，绳子所围成的矩形的面积为 75 cm².
假设可以围成面积为 101 cm² 的矩形，
则 x(20−x)=101,即 x²−20x+101=0.
∵Δ=20²−4×101=−4＜0,
∴该方程无解，
∴不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形.
∵绳子的长为 40 cm，
设矩形的一条边长为 x cm，
则另一条边长为(20−x)cm，
根据题意，列出方程 x(20−x)=75，
即 x²−20x+75=0. 解得 x₁=15,x₂=5.
当 x=15 时,20−x=5;当 x=5 时,20−x=15.
∴矩形的长取 15 cm、宽取 5 cm 时，绳子所围成的矩形的面积为 75 cm².
假设可以围成面积为 101 cm² 的矩形，
则 x(20−x)=101,即 x²−20x+101=0.
∵Δ=20²−4×101=−4＜0,
∴该方程无解，
∴不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形.
解析
【分析】
这道题是结合矩形周长、面积的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先根据绳子总长为矩形周长，可得矩形相邻两边之和为20cm，因此可设其中一边长为x cm，另一边用含x的代数式(20-x)表示；接着针对两种面积情况分别列方程：①求面积为75cm²的围法时，列方程后求解，判断解符合边长为正的实际意义即可得到长宽；②判断能否围成面积为101cm²的矩形时，先列方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法围成。
【解析】
解：
∵绳子的长为40 cm，即围成矩形的周长为40cm，
设矩形的一条边长为x cm，
则另一条相邻边长为$40÷2 - x=(20-x)$cm，
1. 求面积为75cm²的矩形围法：
根据题意列方程：$x(20-x)=75$，
整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=15,x_2=5$。
当x=15时，20-x=5；当x=5时，20-x=15，均符合实际意义。
∴矩形的长取15 cm、宽取5 cm时，可围成面积为75 cm²的矩形。
2. 判断能否围成面积为101 cm²的矩形：
假设可以围成面积为101 cm²的矩形，
则列方程得$x(20-x)=101$，整理得$x^2-20x+101=0$。
∵根的判别式$\Delta=20^2-4×1×101=-4＜0$，
∴该方程无实数根，即不存在满足条件的矩形边长，
∴不能围成一个面积为101 cm²的矩形。
【答案】
围成长为15cm、宽为5cm的矩形时面积为75cm²；不能围成面积为101cm²的矩形，因为对应的一元二次方程无实数根，不存在符合要求的边长。
【知识点】
一元二次方程实际应用，一元二次方程解法，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型题型，解题核心是利用周长关系用单一未知数表示矩形的两条邻边，结合面积公式建立方程，同时要注意结合实际场景验证解的合理性，利用根的判别式可以高效解决这类存在性判断问题。
【难度系数】
0.7
这道题是结合矩形周长、面积的一元二次方程实际应用问题，解题思路如下：首先根据绳子总长为矩形周长，可得矩形相邻两边之和为20cm，因此可设其中一边长为x cm，另一边用含x的代数式(20-x)表示；接着针对两种面积情况分别列方程：①求面积为75cm²的围法时，列方程后求解，判断解符合边长为正的实际意义即可得到长宽；②判断能否围成面积为101cm²的矩形时，先列方程，再通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明无法围成。
【解析】
解：
∵绳子的长为40 cm，即围成矩形的周长为40cm，
设矩形的一条边长为x cm，
则另一条相邻边长为$40÷2 - x=(20-x)$cm，
1. 求面积为75cm²的矩形围法：
根据题意列方程：$x(20-x)=75$，
整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=15,x_2=5$。
当x=15时，20-x=5；当x=5时，20-x=15，均符合实际意义。
∴矩形的长取15 cm、宽取5 cm时，可围成面积为75 cm²的矩形。
2. 判断能否围成面积为101 cm²的矩形：
假设可以围成面积为101 cm²的矩形，
则列方程得$x(20-x)=101$，整理得$x^2-20x+101=0$。
∵根的判别式$\Delta=20^2-4×1×101=-4＜0$，
∴该方程无实数根，即不存在满足条件的矩形边长，
∴不能围成一个面积为101 cm²的矩形。
【答案】
围成长为15cm、宽为5cm的矩形时面积为75cm²；不能围成面积为101cm²的矩形，因为对应的一元二次方程无实数根，不存在符合要求的边长。
【知识点】
一元二次方程实际应用，一元二次方程解法，根的判别式应用
【点评】
本题是一元二次方程解决几何实际问题的典型题型，解题核心是利用周长关系用单一未知数表示矩形的两条邻边，结合面积公式建立方程，同时要注意结合实际场景验证解的合理性，利用根的判别式可以高效解决这类存在性判断问题。
【难度系数】
0.7
12.(2025,泸州,21)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
12.【解】(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意，得125(1−x)²=80.
解得x₁=0.2=20%,x₂=1.8(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100−y)件乙种商品，
根据题意，得(125−25×2)y+80(100−y)≤7 800.
解得y≥40.
∴y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
根据题意，得125(1−x)²=80.
解得x₁=0.2=20%,x₂=1.8(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品，则购进(100−y)件乙种商品，
根据题意，得(125−25×2)y+80(100−y)≤7 800.
解得y≥40.
∴y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
解析
【分析】
（1）求解乙种商品进价的年平均下降率，可利用平均变化率的通用公式：初始量×(1-下降率)ⁿ=最终量，其中n为变化的年数。本题中2022年到2024年共2年，初始进价为125元，2024年进价为80元，据此列一元二次方程求解即可，注意下降率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问为不等式的最值应用，首先计算2024年甲种商品的进价：2022年到2024年共2年，每年进价下降25元，因此2024年甲的进价为125-25×2=75元。设购进甲商品y件，则乙商品为(100-y)件，根据总进货资金不超过7800元的不等关系列不等式，解出y的取值范围后取最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意列方程：
$125(1−x)^2=80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 2024年甲种商品的进价为：$125-25×2=75$（元）
设购进y件甲种商品，则购进乙种商品$(100−y)$件，
根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y+80(100−y)≤7800$
去括号得：$75y+8000-80y≤7800$
移项合并同类项得：$-5y≤-200$
系数化为1得：$y≥40$
因此y的最小值为40。
【答案】
（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率计算、一元二次方程应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际进货场景命题，分别考查了平均变化率类一元二次方程的应用和最值类一元一次不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系与不等关系，同时要注意结合实际意义对求解结果进行取舍，避免出现不符合现实的答案。
【难度系数】
0.75
（1）求解乙种商品进价的年平均下降率，可利用平均变化率的通用公式：初始量×(1-下降率)ⁿ=最终量，其中n为变化的年数。本题中2022年到2024年共2年，初始进价为125元，2024年进价为80元，据此列一元二次方程求解即可，注意下降率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问为不等式的最值应用，首先计算2024年甲种商品的进价：2022年到2024年共2年，每年进价下降25元，因此2024年甲的进价为125-25×2=75元。设购进甲商品y件，则乙商品为(100-y)件，根据总进货资金不超过7800元的不等关系列不等式，解出y的取值范围后取最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
根据题意列方程：
$125(1−x)^2=80$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$（下降率不能大于1，不符合题意，舍去）。
(2) 2024年甲种商品的进价为：$125-25×2=75$（元）
设购进y件甲种商品，则购进乙种商品$(100−y)$件，
根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y+80(100−y)≤7800$
去括号得：$75y+8000-80y≤7800$
移项合并同类项得：$-5y≤-200$
系数化为1得：$y≥40$
因此y的最小值为40。
【答案】
（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）最少购进40件甲种商品。
【知识点】
平均变化率计算、一元二次方程应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际进货场景命题，分别考查了平均变化率类一元二次方程的应用和最值类一元一次不等式的应用，解题核心是找准题目中的等量关系与不等关系，同时要注意结合实际意义对求解结果进行取舍，避免出现不符合现实的答案。
【难度系数】
0.75
1.网络购物已成为新的消费方式,催生了快递行业的高速发展.某快递公司目前有快递员16人,每人平均每月最多可投递0.8万件快递.今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件,假定每月投递的快递件数的增长率保持不变,有以下结论:
①该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%;
②9月份投递的快递件数为12.6万件;
③该公司现有的快递员可以完成9月份的投递任务.
其中,正确结论的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
①该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%;
②9月份投递的快递件数为12.6万件;
③该公司现有的快递员可以完成9月份的投递任务.
其中,正确结论的个数为(
B
).A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题思路如下：第一步，利用6月和8月的快递投递量，结合增长率公式列方程求解月平均增长率，验证结论①；第二步，根据求出的增长率计算9月份的快递投递量，验证结论②；第三步，计算现有16名快递员每月最多可投递的总件数，和9月份投递量对比，验证结论③，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为$x$。
已知6月份投递量为10万件，8月份为12.1万件，6月到8月间隔2个月，根据增长率公式可得：
$10(1+x)^2=12.1$
解得$(1+x)^2=1.21$，开方得$1+x=\pm1.1$，
因为增长率为正数，所以$1+x=1.1$，即$x=0.1=10\%$，故结论①正确。
计算9月份投递量：8月份投递量为12.1万件，9月投递量为$12.1×(1+10\%)=13.31$万件，故结论②错误。
计算现有快递员每月最多可投递总量：$16×0.8=12.8$万件，
因为$12.8＜13.31$，所以现有快递员无法完成9月份投递任务，结论③错误。
综上，只有1个正确结论，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、有理数大小比较
【点评】
本题是实际生活结合数学知识的典型题型，核心考查对增长率计算公式的理解与运用，解题时需注意增长的间隔月份，计算过程要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题思路如下：第一步，利用6月和8月的快递投递量，结合增长率公式列方程求解月平均增长率，验证结论①；第二步，根据求出的增长率计算9月份的快递投递量，验证结论②；第三步，计算现有16名快递员每月最多可投递的总件数，和9月份投递量对比，验证结论③，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为$x$。
已知6月份投递量为10万件，8月份为12.1万件，6月到8月间隔2个月，根据增长率公式可得：
$10(1+x)^2=12.1$
解得$(1+x)^2=1.21$，开方得$1+x=\pm1.1$，
因为增长率为正数，所以$1+x=1.1$，即$x=0.1=10\%$，故结论①正确。
计算9月份投递量：8月份投递量为12.1万件，9月投递量为$12.1×(1+10\%)=13.31$万件，故结论②错误。
计算现有快递员每月最多可投递总量：$16×0.8=12.8$万件，
因为$12.8＜13.31$，所以现有快递员无法完成9月份投递任务，结论③错误。
综上，只有1个正确结论，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、有理数大小比较
【点评】
本题是实际生活结合数学知识的典型题型，核心考查对增长率计算公式的理解与运用，解题时需注意增长的间隔月份，计算过程要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
2.已知$m,n,3$分别是等腰三角形三边的长，且$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -8x +k +3=0$的两个根，则$k$的值等于（
A.3
B.13
C.4或5
D.12或13
D
）.A.3
B.13
C.4或5
D.12或13
答案
2.D 【提示】有两种情况:①m,n中有一个的值为3,即3是方程的一个解,
∴9−24+k+3=0,解得k=12,此时等腰三角形三边的长分别为5,3,3；
②m=n,即方程有两个相等的实数根，
∴64−4(k+3)=0,解得k=13,此时等腰三角形三边的长分别为4,4,3.
∴9−24+k+3=0,解得k=12,此时等腰三角形三边的长分别为5,3,3；
②m=n,即方程有两个相等的实数根，
∴64−4(k+3)=0,解得k=13,此时等腰三角形三边的长分别为4,4,3.
解析
【分析】
本题是等腰三角形性质与一元二次方程结合的综合题，解题需采用分类讨论思想：首先等腰三角形两条边长相等，因此分两种情况讨论，一是3为腰长，即m、n中有一个值为3，二是3为底边长，即m=n是两条腰长。两种情况分别结合一元二次方程根的相关性质计算k值，最后验证得到的三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若3是等腰三角形的腰长，则m、n中存在一个根为3，将$x=3$代入方程$x^2 -8x +k +3=0$得：
$3^2 -8×3 +k +3=0$
$9-24+k+3=0$
解得$k=12$。
将$k=12$代入原方程得$x^2 -8x +15=0$，解方程得$x_1=3,x_2=5$，此时三角形三边长为3、3、5，满足$3+3＞5$，可构成三角形，符合题意。
② 若3是等腰三角形的底边长，则$m=n$，即方程$x^2 -8x +k +3=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-8)^2 -4×1×(k+3)=0$
$64-4k-12=0$
解得$k=13$。
将$k=13$代入原方程得$x^2 -8x +16=0$，解方程得$x_1=x_2=4$，此时三角形三边长为4、4、3，满足$3+4＞4$，可构成三角形，符合题意。
综上，k的值为12或13。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查代数与几何的综合应用，解题核心是结合等腰三角形的边长特点分类讨论，求解后要注意验证三边长是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形性质与一元二次方程结合的综合题，解题需采用分类讨论思想：首先等腰三角形两条边长相等，因此分两种情况讨论，一是3为腰长，即m、n中有一个值为3，二是3为底边长，即m=n是两条腰长。两种情况分别结合一元二次方程根的相关性质计算k值，最后验证得到的三边长是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若3是等腰三角形的腰长，则m、n中存在一个根为3，将$x=3$代入方程$x^2 -8x +k +3=0$得：
$3^2 -8×3 +k +3=0$
$9-24+k+3=0$
解得$k=12$。
将$k=12$代入原方程得$x^2 -8x +15=0$，解方程得$x_1=3,x_2=5$，此时三角形三边长为3、3、5，满足$3+3＞5$，可构成三角形，符合题意。
② 若3是等腰三角形的底边长，则$m=n$，即方程$x^2 -8x +k +3=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-8)^2 -4×1×(k+3)=0$
$64-4k-12=0$
解得$k=13$。
将$k=13$代入原方程得$x^2 -8x +16=0$，解方程得$x_1=x_2=4$，此时三角形三边长为4、4、3，满足$3+4＞4$，可构成三角形，符合题意。
综上，k的值为12或13。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查代数与几何的综合应用，解题核心是结合等腰三角形的边长特点分类讨论，求解后要注意验证三边长是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
