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3.如图①,要设计一幅宽 20 cm,长 30 cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2:3,要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?
分析:由横、竖彩条的宽度比为 2:3,可设每个横彩条的宽为 2x,则每个竖彩条的宽为 3x.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形 ABCD.
结合以上分析完成填空:
(1)如图②,用含 x 的代数式表示:AB=
(2)每个横彩条的宽为
分析:由横、竖彩条的宽度比为 2:3,可设每个横彩条的宽为 2x,则每个竖彩条的宽为 3x.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条分别集中,原问题转化为如图②的情况,得到矩形 ABCD.
结合以上分析完成填空:
(1)如图②,用含 x 的代数式表示:AB=
(20−6x)
cm,AD=(30−4x)
cm,矩形 ABCD 的面积为(24x²−260x+600)
cm²;(2)每个横彩条的宽为
$\dfrac{5}{3}$
cm,每个竖彩条的宽为$\dfrac{5}{2}$
cm.答案
3.(1)(20−6x),(30−4x),(24x²−260x+600)
(2)$\dfrac{5}{3}$,$\dfrac{5}{2}$
(2)$\dfrac{5}{3}$,$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
首先根据横、竖彩条的宽度比为2:3设未知数，将分散的彩条平移到矩形边缘后，空白矩形ABCD的长和宽可由原矩形的长宽减去对应彩条的总宽度得到；再根据“所有彩条所占面积为原矩形面积的三分之一”，可推出空白部分面积为原矩形面积的三分之二，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根，即可得到彩条的宽度。
【解析】
(1) 竖彩条的宽度为3x，共有2个，总宽度为$2×3x=6x$，原矩形的宽为20cm，因此$AB=20-6x$；
横彩条的宽度为2x，共有2个，总宽度为$2×2x=4x$，原矩形的长为30cm，因此$AD=30-4x$；
矩形ABCD的面积为$AB× AD=(20-6x)(30-4x)$，展开计算得：
$\begin{aligned}(20-6x)(30-4x)&=600-80x-180x+24x^2\\&=24x^2-260x+600\end{aligned}$
(2) 原矩形的面积为$20×30=600\ \mathrm{cm}^2$，彩条面积占原面积的$\frac{1}{3}$，因此空白部分ABCD的面积为$600×(1-\frac{1}{3})=400\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$24x^2-260x+600=400$
整理得$6x^2-65x+50=0$，用求根公式解得$x_1=\frac{5}{6}$，$x_2=10$。
当$x=10$时，$20-6x=-40＜0$，不符合实际意义，舍去，因此$x=\frac{5}{6}$。
则每个横彩条的宽度为$2x=2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，每个竖彩条的宽度为$3x=3×\frac{5}{6}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $20-6x$；$30-4x$；$24x^2-260x+600$
(2) $\dfrac{5}{3}$；$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元二次方程实际应用；列代数式；矩形面积计算
【点评】
本题通过平移的方法将分散的空白区域整合为一个规则矩形，大大简化了面积计算的难度，解题时要注意对方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
首先根据横、竖彩条的宽度比为2:3设未知数，将分散的彩条平移到矩形边缘后，空白矩形ABCD的长和宽可由原矩形的长宽减去对应彩条的总宽度得到；再根据“所有彩条所占面积为原矩形面积的三分之一”，可推出空白部分面积为原矩形面积的三分之二，据此列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的根，即可得到彩条的宽度。
【解析】
(1) 竖彩条的宽度为3x，共有2个，总宽度为$2×3x=6x$，原矩形的宽为20cm，因此$AB=20-6x$；
横彩条的宽度为2x，共有2个，总宽度为$2×2x=4x$，原矩形的长为30cm，因此$AD=30-4x$；
矩形ABCD的面积为$AB× AD=(20-6x)(30-4x)$，展开计算得：
$\begin{aligned}(20-6x)(30-4x)&=600-80x-180x+24x^2\\&=24x^2-260x+600\end{aligned}$
(2) 原矩形的面积为$20×30=600\ \mathrm{cm}^2$，彩条面积占原面积的$\frac{1}{3}$，因此空白部分ABCD的面积为$600×(1-\frac{1}{3})=400\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$24x^2-260x+600=400$
整理得$6x^2-65x+50=0$，用求根公式解得$x_1=\frac{5}{6}$，$x_2=10$。
当$x=10$时，$20-6x=-40＜0$，不符合实际意义，舍去，因此$x=\frac{5}{6}$。
则每个横彩条的宽度为$2x=2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$，每个竖彩条的宽度为$3x=3×\frac{5}{6}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $20-6x$；$30-4x$；$24x^2-260x+600$
(2) $\dfrac{5}{3}$；$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元二次方程实际应用；列代数式；矩形面积计算
【点评】
本题通过平移的方法将分散的空白区域整合为一个规则矩形，大大简化了面积计算的难度，解题时要注意对方程的根进行实际意义的检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
4.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为$2:1$.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道.当蔬菜种植区域的面积是$288\ \mathrm{cm}^2$时，矩形温室的周长是________ m.
答案
4.84
解析
【分析】
首先根据温室长与宽的比为2:1设未知数，设温室的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ 2x \, \mathrm{m} $。再结合通道和空地的宽度推导种植区域的尺寸：前侧3m空地和后侧1m通道在长的方向扣除，所以种植区域的长为$ 2x-3-1 $；左右两侧各1m通道在宽的方向扣除，所以种植区域的宽为$ x-1-1 $。最后根据种植区域面积为$ 288 \, \mathrm{m}^2 $（题中$ \mathrm{cm}^2 $为笔误，不符合实际）列一元二次方程求解，再计算温室周长即可，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
解：设矩形温室的宽为$ x \, \mathrm{m} $，由长与宽的比为$ 2:1 $，得长为$ 2x \, \mathrm{m} $。
根据题意，蔬菜种植区域的长为$ 2x - 3 - 1 = 2x - 4 \, \mathrm{m} $，宽为$ x - 1 - 1 = x - 2 \, \mathrm{m} $。
已知种植区域面积为$ 288 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式列方程：
$(2x - 4)(x - 2) = 288$
化简得：
$2(x-2)^2 = 288 \\(x-2)^2 = 144$
解得$ x_1=14 $，$ x_2=-10 $（长度为正数，舍去$ x_2 $）。
则温室的宽为14m，长为$ 2×14=28 \, \mathrm{m} $，周长为：
$2×(14+28)=84 \, \mathrm{m}$
【答案】
84
【知识点】
一元二次方程应用，矩形周长与面积，比例的应用
【点评】
本题是面积类一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是准确梳理种植区域和原温室的尺寸关系，计算时注意结合实际意义对根进行取舍，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先根据温室长与宽的比为2:1设未知数，设温室的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ 2x \, \mathrm{m} $。再结合通道和空地的宽度推导种植区域的尺寸：前侧3m空地和后侧1m通道在长的方向扣除，所以种植区域的长为$ 2x-3-1 $；左右两侧各1m通道在宽的方向扣除，所以种植区域的宽为$ x-1-1 $。最后根据种植区域面积为$ 288 \, \mathrm{m}^2 $（题中$ \mathrm{cm}^2 $为笔误，不符合实际）列一元二次方程求解，再计算温室周长即可，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
解：设矩形温室的宽为$ x \, \mathrm{m} $，由长与宽的比为$ 2:1 $，得长为$ 2x \, \mathrm{m} $。
根据题意，蔬菜种植区域的长为$ 2x - 3 - 1 = 2x - 4 \, \mathrm{m} $，宽为$ x - 1 - 1 = x - 2 \, \mathrm{m} $。
已知种植区域面积为$ 288 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式列方程：
$(2x - 4)(x - 2) = 288$
化简得：
$2(x-2)^2 = 288 \\(x-2)^2 = 144$
解得$ x_1=14 $，$ x_2=-10 $（长度为正数，舍去$ x_2 $）。
则温室的宽为14m，长为$ 2×14=28 \, \mathrm{m} $，周长为：
$2×(14+28)=84 \, \mathrm{m}$
【答案】
84
【知识点】
一元二次方程应用，矩形周长与面积，比例的应用
【点评】
本题是面积类一元二次方程实际应用的常规题型，解题核心是准确梳理种植区域和原温室的尺寸关系，计算时注意结合实际意义对根进行取舍，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，$∠ B＝90°$，$AB＝5\ \mathrm{cm}$，$BC＝8\ \mathrm{cm}$. 点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，同时点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.
(1)$△ PQB$的面积能否等于$9\ \mathrm{cm}^2$？请说明理由.
(2)几秒后，四边形$APQC$的面积等于$16\ \mathrm{cm}^2$？请写出过程.
(1)$△ PQB$的面积能否等于$9\ \mathrm{cm}^2$？请说明理由.
(2)几秒后，四边形$APQC$的面积等于$16\ \mathrm{cm}^2$？请写出过程.
答案
5.【解】(1)$△PQB$的面积不能等于 9 cm².
理由如下：
∵5÷1=5,8÷2=4，
∴运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4.
根据题意,得 AP=t m,BP=(5−t)cm,BQ=2t cm.
假设$△PQB$的面积等于 9 cm²，
则$\dfrac{1}{2}(5−t)×2t=9$. 整理,得$t^2−5t+9=0$.
∵Δ=(−5)²−4×1×9=−11＜0，
∴所列方程没有实数根.
∴$△PQB$的面积不能等于 9 cm².
(2)由(1),得 AP=t cm,BP=(5−t)cm,BQ=2t cm，
运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4.
∵四边形 APQC 的面积等于 16 cm²，
∴$\dfrac{1}{2}×5×8−\dfrac{1}{2}(5−t)×2t=16$.
整理,得$t^2−5t+4=0$. 解得$t_1=1,t_2=4$.
当 t=4 时,C,Q 点重合,不符合题意,舍去.
∴t=1.
答:1 s 后,四边形 APQC 的面积等于 16 cm².
理由如下：
∵5÷1=5,8÷2=4，
∴运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4.
根据题意,得 AP=t m,BP=(5−t)cm,BQ=2t cm.
假设$△PQB$的面积等于 9 cm²，
则$\dfrac{1}{2}(5−t)×2t=9$. 整理,得$t^2−5t+9=0$.
∵Δ=(−5)²−4×1×9=−11＜0，
∴所列方程没有实数根.
∴$△PQB$的面积不能等于 9 cm².
(2)由(1),得 AP=t cm,BP=(5−t)cm,BQ=2t cm，
运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4.
∵四边形 APQC 的面积等于 16 cm²，
∴$\dfrac{1}{2}×5×8−\dfrac{1}{2}(5−t)×2t=16$.
整理,得$t^2−5t+4=0$. 解得$t_1=1,t_2=4$.
当 t=4 时,C,Q 点重合,不符合题意,舍去.
∴t=1.
答:1 s 后,四边形 APQC 的面积等于 16 cm².
解析
【分析】
解决这道动点类面积问题，首先要先确定运动时间的取值范围：分别计算P、Q两点走完全程的时间，取较小值作为t的最大值，得到t的合法范围。
(1)判断△PQB面积能否为9cm²：先设运动时间为t，用t分别表示出BP、BQ的长度，△PQB是直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的方程，再通过判断一元二次方程根的判别式的正负，确定方程是否有符合范围的实数根，即可得出结论。
(2)求四边形APQC面积为16cm²的时间：四边形APQC的面积可转化为△ABC的总面积减去△PQB的面积，据此列一元二次方程，求解后检验解是否符合t的取值范围，舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
先确定运动时间t的取值范围：
点P走完全程AB的时间为$5÷1=5(\mathrm{s})$，点Q走完全程BC的时间为$8÷2=4(\mathrm{s})$，因此t的取值范围是$0≤ t≤4$。
运动t秒后，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(5-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
(1)假设$△ PQB$的面积等于$9\ \mathrm{cm}^2$，
$\because∠ B=90°$，$\therefore△ PQB$的面积为$\frac{1}{2}× BP× BQ$，
代入数据得：$\dfrac{1}{2}(5-t)×2t=9$，
整理得：$t^2-5t+9=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-5)^2-4×1×9=25-36=-11＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的t，
$\therefore△ PQB$的面积不能等于$9\ \mathrm{cm}^2$。
(2)$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×5×8=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\because$四边形APQC的面积=$△ ABC$的面积$-$$△ PQB$的面积，且四边形APQC面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$列方程得：$20 - \dfrac{1}{2}(5-t)×2t=16$，
整理得：$t^2-5t+4=0$，
因式分解得$(t-1)(t-4)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=4$，
当$t=4$时，点Q到达点C，C、Q重合，此时四边形APQC退化为$△ ABC$，不符合题意，舍去，
$\therefore t=1$。
【答案】
(1)$△ PQB$的面积不能等于$9\ \mathrm{cm}^2$，理由见解析；
(2)$1\ \mathrm{s}$后，四边形$APQC$的面积等于$16\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，根的判别式应用
【点评】
本题是动点结合面积的一元二次方程实际应用问题，解题核心是用运动时间t表示出对应线段的长度，结合面积关系建立方程，同时要注意结合运动的实际情况，对方程的解进行检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
解决这道动点类面积问题，首先要先确定运动时间的取值范围：分别计算P、Q两点走完全程的时间，取较小值作为t的最大值，得到t的合法范围。
(1)判断△PQB面积能否为9cm²：先设运动时间为t，用t分别表示出BP、BQ的长度，△PQB是直角三角形，根据直角三角形面积公式列出关于t的方程，再通过判断一元二次方程根的判别式的正负，确定方程是否有符合范围的实数根，即可得出结论。
(2)求四边形APQC面积为16cm²的时间：四边形APQC的面积可转化为△ABC的总面积减去△PQB的面积，据此列一元二次方程，求解后检验解是否符合t的取值范围，舍去不符合的解即可得到结果。
【解析】
先确定运动时间t的取值范围：
点P走完全程AB的时间为$5÷1=5(\mathrm{s})$，点Q走完全程BC的时间为$8÷2=4(\mathrm{s})$，因此t的取值范围是$0≤ t≤4$。
运动t秒后，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BP=AB-AP=(5-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
(1)假设$△ PQB$的面积等于$9\ \mathrm{cm}^2$，
$\because∠ B=90°$，$\therefore△ PQB$的面积为$\frac{1}{2}× BP× BQ$，
代入数据得：$\dfrac{1}{2}(5-t)×2t=9$，
整理得：$t^2-5t+9=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-5)^2-4×1×9=25-36=-11＜0$，
$\therefore$该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的t，
$\therefore△ PQB$的面积不能等于$9\ \mathrm{cm}^2$。
(2)$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×5×8=20\ \mathrm{cm}^2$，
$\because$四边形APQC的面积=$△ ABC$的面积$-$$△ PQB$的面积，且四边形APQC面积为$16\ \mathrm{cm}^2$，
$\therefore$列方程得：$20 - \dfrac{1}{2}(5-t)×2t=16$，
整理得：$t^2-5t+4=0$，
因式分解得$(t-1)(t-4)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=4$，
当$t=4$时，点Q到达点C，C、Q重合，此时四边形APQC退化为$△ ABC$，不符合题意，舍去，
$\therefore t=1$。
【答案】
(1)$△ PQB$的面积不能等于$9\ \mathrm{cm}^2$，理由见解析；
(2)$1\ \mathrm{s}$后，四边形$APQC$的面积等于$16\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，根的判别式应用
【点评】
本题是动点结合面积的一元二次方程实际应用问题，解题核心是用运动时间t表示出对应线段的长度，结合面积关系建立方程，同时要注意结合运动的实际情况，对方程的解进行检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
