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3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
6
。答案
3.6
解析
【分析】
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，设未知数，设每个支干长出的小分支个数为x；第二步，梳理各部分数量：主干仅有1个，支干的数量等于主干长出的支干数即x个，每个支干长x个小分支，因此小分支总数量为x×x=x²个；第三步，根据“主干、支干和小分支的总数是43”的等量关系列方程；第四步，解一元二次方程，结合分支个数为正的实际意义舍去不符合的根，得到结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三类总数为43，可列方程：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -7$
∵小分支个数不能为负数，
∴舍去$x=-7$
即每个支干长出的小分支个数是6。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级分支的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干数量，求解后一定要结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，设未知数，设每个支干长出的小分支个数为x；第二步，梳理各部分数量：主干仅有1个，支干的数量等于主干长出的支干数即x个，每个支干长x个小分支，因此小分支总数量为x×x=x²个；第三步，根据“主干、支干和小分支的总数是43”的等量关系列方程；第四步，解一元二次方程，结合分支个数为正的实际意义舍去不符合的根，得到结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x²，三类总数为43，可列方程：
$1 + x + x^2 = 43$
整理得：$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解得：$(x + 7)(x - 6) = 0$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -7$
∵小分支个数不能为负数，
∴舍去$x=-7$
即每个支干长出的小分支个数是6。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是准确梳理不同层级分支的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干数量，求解后一定要结合实际情况对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.7
4.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为x元，则可以卖出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20％.商店计划要赚400元，则需要卖出
100
件商品，每件商品应售价为25
元.答案
4.100,25 【提示】根据题意，列出方程$(x-21)(350-10x)=400$.整理，得$x^2-56x+775=0$.解得$x_1=25,x_2=31$.又
∵$21×(1+20\%)=25.2$,而$x_1＜25.2,x_2＞25.2$.故$x=31$应舍去.
∴$x=25$.此时$350-10x=350-10×25=100$.即该商店需卖出100件商品，每件商品售价25元，才能赚400元.
∵$21×(1+20\%)=25.2$,而$x_1＜25.2,x_2＞25.2$.故$x=31$应舍去.
∴$x=25$.此时$350-10x=350-10×25=100$.即该商店需卖出100件商品，每件商品售价25元，才能赚400元.
解析
【分析】
解题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售数量。首先用售价x减去进价21得到每件的利润，已知销售数量为(350-10x)件，总利润要求为400元，据此列出一元二次方程；接下来求解方程得到两个售价的解，再根据物价局限定的加价上限（不超过进价的20%）计算出最高允许售价，舍去不符合限制的解，最后将符合要求的售价代入销售量的表达式算出需要卖出的商品数量即可。
【解析】
解：根据总利润的等量关系列方程：
$(x-21)(350-10x)=400$
展开并整理方程：
$350x-10x^2-7350+210x=400$
移项合并同类项得：$x^2-56x+775=0$
解得：$x_1=25$，$x_2=31$
∵物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，因此最高允许售价为：
$21×(1+20\%)=25.2$元
∵$31＞25.2$，不符合价格限定要求，故舍去$x=31$；$25＜25.2$，符合要求
∴每件商品售价为25元
此时销售数量为：$350-10×25=100$件
【答案】
100；25
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程解法
3. 实际问题验根
【点评】
本题属于典型的销售类一元二次方程实际应用题，解题核心是找准利润、销量、总利润之间的等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的价格限定条件，未对求出的根进行取舍，导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=每件商品的利润×销售数量。首先用售价x减去进价21得到每件的利润，已知销售数量为(350-10x)件，总利润要求为400元，据此列出一元二次方程；接下来求解方程得到两个售价的解，再根据物价局限定的加价上限（不超过进价的20%）计算出最高允许售价，舍去不符合限制的解，最后将符合要求的售价代入销售量的表达式算出需要卖出的商品数量即可。
【解析】
解：根据总利润的等量关系列方程：
$(x-21)(350-10x)=400$
展开并整理方程：
$350x-10x^2-7350+210x=400$
移项合并同类项得：$x^2-56x+775=0$
解得：$x_1=25$，$x_2=31$
∵物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，因此最高允许售价为：
$21×(1+20\%)=25.2$元
∵$31＞25.2$，不符合价格限定要求，故舍去$x=31$；$25＜25.2$，符合要求
∴每件商品售价为25元
此时销售数量为：$350-10×25=100$件
【答案】
100；25
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程解法
3. 实际问题验根
【点评】
本题属于典型的销售类一元二次方程实际应用题，解题核心是找准利润、销量、总利润之间的等量关系列方程，易错点是容易忽略题目中的价格限定条件，未对求出的根进行取舍，导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5.(2024,淄博,20)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1 600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1 600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元,但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
答案
5.【解】(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意，得$32(1+x)^2=50$.解得$x_1=0.25=25\%,x_2=-2.25$(不符合题意，舍去).答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.(2)设购买的这种健身器材的套数为m.
∵$240\ 000÷1\ 600=150$(套)，
∴$m＞100$.由题意，得$m(1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40)=240\ 000$.整理，得$m^2-500m+60\ 000=0$.解得$m_1=200,m_2=300$.当$m=200$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=1\ 600-400=1\ 200＞1\ 000$,符合题意；当$m=300$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=1\ 600-800=800＜1\ 000$,不符合题意，舍去.答：购买的这种健身器材的套数为200.
∵$240\ 000÷1\ 600=150$(套)，
∴$m＞100$.由题意，得$m(1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40)=240\ 000$.整理，得$m^2-500m+60\ 000=0$.解得$m_1=200,m_2=300$.当$m=200$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=1\ 600-400=1\ 200＞1\ 000$,符合题意；当$m=300$时,$1\ 600-\dfrac{m-100}{10}×40=1\ 600-800=800＜1\ 000$,不符合题意，舍去.答：购买的这种健身器材的套数为200.
解析
【分析】
（1）第一问为年均增长率类问题，核心等量关系为：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。本题中2021年32万人是初始量，2023年50万人是最终量，间隔2年，设年均增长率为x代入等量关系列方程即可，注意增长率为非负数，求解后舍去不符合实际的负根。
（2）第二问为销售类实际问题，首先判断购买套数范围：若购买100套，总货款为100×1600=16万元，小于实际支付的24万元，说明购买套数m＞100。接下来推导每套实际售价：超过100套的数量为(m-100)套，每多10套单价降40元，因此总降价额为$\dfrac{m-100}{10}×40$元，实际单价为1600减去总降价额，再根据“总货款=套数×实际单价”列方程求解，最后验证实际单价是否不低于最低售价1000元，舍去不符合要求的根。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买的这种健身器材的套数为m。
$\because 240000÷1600=150$（套），$\therefore m＞100$。
由题意得：
$m(1600-\dfrac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
当$m=200$时，每套售价为$1600-\dfrac{200-100}{10}×40=1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\dfrac{300-100}{10}×40=800＜1000$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 购买的这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
增长率问题；销售问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合全民健身的生活热点考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意结合实际限定条件对根进行取舍，避免漏判条件导致错解，能够有效考查学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问为年均增长率类问题，核心等量关系为：初始量×(1+年均增长率)^增长年数=最终量。本题中2021年32万人是初始量，2023年50万人是最终量，间隔2年，设年均增长率为x代入等量关系列方程即可，注意增长率为非负数，求解后舍去不符合实际的负根。
（2）第二问为销售类实际问题，首先判断购买套数范围：若购买100套，总货款为100×1600=16万元，小于实际支付的24万元，说明购买套数m＞100。接下来推导每套实际售价：超过100套的数量为(m-100)套，每多10套单价降40元，因此总降价额为$\dfrac{m-100}{10}×40$元，实际单价为1600减去总降价额，再根据“总货款=套数×实际单价”列方程求解，最后验证实际单价是否不低于最低售价1000元，舍去不符合要求的根。
【解析】
(1) 设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2) 设购买的这种健身器材的套数为m。
$\because 240000÷1600=150$（套），$\therefore m＞100$。
由题意得：
$m(1600-\dfrac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得$m^2-500m+60000=0$，解得$m_1=200$，$m_2=300$。
当$m=200$时，每套售价为$1600-\dfrac{200-100}{10}×40=1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\dfrac{300-100}{10}×40=800＜1000$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2) 购买的这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
增长率问题；销售问题；一元二次方程求解
【点评】
本题结合全民健身的生活热点考查一元二次方程的实际应用，解题时需注意结合实际限定条件对根进行取舍，避免漏判条件导致错解，能够有效考查学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
