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11.(2024,西藏,21)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
(1)求该商场投入资金的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
答案
11.【解】(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据题意，得$20(1+x)^2=24.2$.解得$x_1=0.1=10\%,x_2=-2.1$(不合题意，舍去).
∴该商场投入资金的月平均增长率为10%.(2)由题意，得$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元).
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
∴该商场投入资金的月平均增长率为10%.(2)由题意，得$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元).
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 首先明确平均增长率的数量关系：若初始量为a，月平均增长率为x，经过n个月增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中四月份投入资金是初始量20万元，六月份是经过2个月增长后的量，为24.2万元，因此设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解，最后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根。
(2) 七月份的投入资金是六月份的资金在对应增长率下增长1个月的结果，直接用六月份的资金乘以(1+增长率)即可计算得出。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据题意得：
$20(1+x)^2=24.2$
方程两边同时除以20得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负，$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
(2) 已知六月份投入资金为24.2万元，月增长率为10%，则七月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%)=26.62$（万元）
【答案】
(1) 该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2) 预计七月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是找准初始量、增长次数、最终量之间的等量关系，正确列出方程求解，同时要注意结合实际问题的意义对解得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.75
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：
(1) 首先明确平均增长率的数量关系：若初始量为a，月平均增长率为x，经过n个月增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中四月份投入资金是初始量20万元，六月份是经过2个月增长后的量，为24.2万元，因此设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程求解，最后结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根。
(2) 七月份的投入资金是六月份的资金在对应增长率下增长1个月的结果，直接用六月份的资金乘以(1+增长率)即可计算得出。
【解析】
(1) 设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据题意得：
$20(1+x)^2=24.2$
方程两边同时除以20得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得：$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负，$x_2=-2.1$不合题意，舍去。
(2) 已知六月份投入资金为24.2万元，月增长率为10%，则七月份投入资金为：
$24.2×(1+10\%)=26.62$（万元）
【答案】
(1) 该商场投入资金的月平均增长率为10%；(2) 预计七月份投入资金将达到26.62万元。
【知识点】
平均增长率计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题核心是找准初始量、增长次数、最终量之间的等量关系，正确列出方程求解，同时要注意结合实际问题的意义对解得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.75
12.某商场将进货价为45元的衬衫以65元售出，平均每天可售30件.由于季节的变换，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：若每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利800元，每件衬衫应降价多少元？
答案
12.【解】设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利800元，则此时每天出售的数量为$(30+5x)$件，每件的盈利为$(20-x)$元，根据题意，得$(20-x)(30+5x)=800$.解得$x_1=4,x_2=10$.当$x=4$时,$30+5x=50$；当$x=10$时,$30+5x=80$.为尽快减少库存，这里应取$x=10$.答：每件衬衫应降价10元.
解析
【分析】
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列方程。首先设降价金额为未知数x，第一步推导降价后的单件利润：原单件利润为售价减进价即65-45=20元，降价x元后单件利润为(20-x)元；第二步推导降价后的销售数量：每降价1元多售5件，降价x元后总销量为(30+5x)件；接着根据总盈利800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更大对应的降价值，对求出的根进行取舍即可得到正确答案。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利800元。
降价后每件衬衫的盈利为：$65-45-x=(20-x)$元
降价后每天的销售量为：$(30+5x)$件
根据总盈利=单件盈利×销售量，列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
整理得$x^2-14x+40=0$，因式分解得$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
检验：当$x=4$时，销售量为$30+5×4=50$件；当$x=10$时，销售量为$30+5×10=80$件。
题目要求尽快减少库存，因此选择销售量更大的方案，即$x=10$。
答：每件衬衫应降价10元。
【答案】
每件衬衫应降价10元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程实际应用题，解题的关键是准确梳理单件利润、销售数量与总利润三者的数量关系，列出正确的方程，同时要注意结合题目给出的限制条件对求出的根进行合理取舍，避免忽略实际要求导致错解。
【难度系数】
0.6
这是销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系列方程。首先设降价金额为未知数x，第一步推导降价后的单件利润：原单件利润为售价减进价即65-45=20元，降价x元后单件利润为(20-x)元；第二步推导降价后的销售数量：每降价1元多售5件，降价x元后总销量为(30+5x)件；接着根据总盈利800元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择销量更大对应的降价值，对求出的根进行取舍即可得到正确答案。
【解析】
解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利800元。
降价后每件衬衫的盈利为：$65-45-x=(20-x)$元
降价后每天的销售量为：$(30+5x)$件
根据总盈利=单件盈利×销售量，列方程得：
$(20-x)(30+5x)=800$
整理得$x^2-14x+40=0$，因式分解得$(x-4)(x-10)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=10$。
检验：当$x=4$时，销售量为$30+5×4=50$件；当$x=10$时，销售量为$30+5×10=80$件。
题目要求尽快减少库存，因此选择销售量更大的方案，即$x=10$。
答：每件衬衫应降价10元。
【答案】
每件衬衫应降价10元。
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实际问题验根
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程实际应用题，解题的关键是准确梳理单件利润、销售数量与总利润三者的数量关系，列出正确的方程，同时要注意结合题目给出的限制条件对求出的根进行合理取舍，避免忽略实际要求导致错解。
【难度系数】
0.6
1.某商品原价为200元，连续两次降价$a\%$后售价为148元，则下面所列方程正确的是(
A.$200(1+a\%)^2=148$
B.$200(1-a\%)^2=148$
C.$200(1-2a\%)=148$
D.$200(1-a^2\%)=148$
B
).A.$200(1+a\%)^2=148$
B.$200(1-a\%)^2=148$
C.$200(1-2a\%)=148$
D.$200(1-a^2\%)=148$
答案
1.B
解析
【分析】
解决这道题的核心是理清连续两次降价的价格变化逻辑：首先明确每次降价的基数，第一次降价是在原价200元的基础上下降a%，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再下降a%，据此逐步推导最终售价的表达式，再对照选项判断即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的售价。原价为200元，降价a%后，价格变为原价的(1 - a%)，因此第一次降价后的价格为：$200(1 - a\%)$。
第二步：计算第二次降价后的售价。第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降a%，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格乘(1 - a%)，即：$200(1 - a\%) × (1 - a\%) = 200(1 - a\%)^2$。
第三步：根据题意，两次降价后售价为148元，因此可列方程：$200(1 - a\%)^2 = 148$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是连续变化率类的基础应用题，解题的关键是明确每次变化的基数，注意区分连续两次相同变化率的表达式和一次性变化两倍比率的区别，不要误将两次降价当成总共降价2a%而错选C。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是理清连续两次降价的价格变化逻辑：首先明确每次降价的基数，第一次降价是在原价200元的基础上下降a%，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再下降a%，据此逐步推导最终售价的表达式，再对照选项判断即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的售价。原价为200元，降价a%后，价格变为原价的(1 - a%)，因此第一次降价后的价格为：$200(1 - a\%)$。
第二步：计算第二次降价后的售价。第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降a%，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格乘(1 - a%)，即：$200(1 - a\%) × (1 - a\%) = 200(1 - a\%)^2$。
第三步：根据题意，两次降价后售价为148元，因此可列方程：$200(1 - a\%)^2 = 148$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是连续变化率类的基础应用题，解题的关键是明确每次变化的基数，注意区分连续两次相同变化率的表达式和一次性变化两倍比率的区别，不要误将两次降价当成总共降价2a%而错选C。
【难度系数】
0.8
2.(2025,凉山州,7)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平均增长率为x,则可列出的方程是(
A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
C
).A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道平均增长率相关的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①首先明确第一季度总产量是一月、二月、三月三个月的产量之和，不能仅用单个月产量列等式；②回忆平均增长率的计算逻辑：后一个月的产量=前一个月的产量×(1+月平均增长率)，依次推导二月、三月的产量；③将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨，即可列出方程，同时要注意区分“平均增长率”和“固定增量”的区别，避免误用1+2x这类错误表达式。
【解析】
解：已知一月份钢铁产量为560吨，设月平均增长率为x。
1. 二月份产量：在一月份基础上增长x，因此产量为 $560(1+x)$ 吨；
2. 三月份产量：在二月份基础上增长x，因此产量为 $560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ 吨；
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，已知第一季度共生产1860吨，因此可列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类列方程问题，解题核心是准确计算每个统计周期的产量，同时明确总和对应的统计范围，易错点是容易误把第三个月的产量当成季度总产量，或者把平均增长率错算为固定增量。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率相关的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①首先明确第一季度总产量是一月、二月、三月三个月的产量之和，不能仅用单个月产量列等式；②回忆平均增长率的计算逻辑：后一个月的产量=前一个月的产量×(1+月平均增长率)，依次推导二月、三月的产量；③将三个月产量相加等于第一季度总产量1860吨，即可列出方程，同时要注意区分“平均增长率”和“固定增量”的区别，避免误用1+2x这类错误表达式。
【解析】
解：已知一月份钢铁产量为560吨，设月平均增长率为x。
1. 二月份产量：在一月份基础上增长x，因此产量为 $560(1+x)$ 吨；
2. 三月份产量：在二月份基础上增长x，因此产量为 $560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ 吨；
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，已知第一季度共生产1860吨，因此可列方程：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的增长率类列方程问题，解题核心是准确计算每个统计周期的产量，同时明确总和对应的统计范围，易错点是容易误把第三个月的产量当成季度总产量，或者把平均增长率错算为固定增量。
【难度系数】
0.8
