登录
4. 如果$∠α$和$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，则下列表示$∠β$的余角的式子中：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。其中不正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4. C.
解析
【分析】
要判断哪个式子不是∠β的余角，首先明确两个核心依据：1. 余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，因此∠β的余角基本表达式为$90°-∠β$；2. 补角定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，由题中∠α和∠β互补可得$∠α+∠β=180°$。解题时先写出余角的基础表达式，再将4个式子逐一结合互补的条件变形，判断是否等于$90°-∠β$，就能找出不正确的式子。
【解析】
解：
∵$∠α$和$∠β$互补，
∴$∠α + ∠β = 180°$，
根据余角定义，$∠β$的余角为$90° - ∠β$，逐一验证如下：
①$90° - ∠β$完全符合余角定义，表达式正确，不符合题意；
②把$∠α = 180° - ∠β$代入$∠α - 90°$，得：
$∠α - 90° = (180° - ∠β) - 90° = 90° - ∠β$，表达式正确，不符合题意；
③把$∠α + ∠β = 180°$代入$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$，得：
$\frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，90°不是$∠β$的余角，表达式错误，符合题意；
④把$∠α = 180° - ∠β$代入$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，得：
$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，表达式正确，不符合题意。
因此不正确的是③，选C。
【答案】C
【知识点】余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】本题属于余角补角的基础应用题型，解题核心是牢记余角、补角的定义，结合已知的角度关系对式子做等价变形即可判断正误，代入法是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】0.75
要判断哪个式子不是∠β的余角，首先明确两个核心依据：1. 余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，因此∠β的余角基本表达式为$90°-∠β$；2. 补角定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，由题中∠α和∠β互补可得$∠α+∠β=180°$。解题时先写出余角的基础表达式，再将4个式子逐一结合互补的条件变形，判断是否等于$90°-∠β$，就能找出不正确的式子。
【解析】
解：
∵$∠α$和$∠β$互补，
∴$∠α + ∠β = 180°$，
根据余角定义，$∠β$的余角为$90° - ∠β$，逐一验证如下：
①$90° - ∠β$完全符合余角定义，表达式正确，不符合题意；
②把$∠α = 180° - ∠β$代入$∠α - 90°$，得：
$∠α - 90° = (180° - ∠β) - 90° = 90° - ∠β$，表达式正确，不符合题意；
③把$∠α + ∠β = 180°$代入$\frac{1}{2}(∠α + ∠β)$，得：
$\frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180° = 90°$，90°不是$∠β$的余角，表达式错误，符合题意；
④把$∠α = 180° - ∠β$代入$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$，得：
$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - ∠β - ∠β) = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，表达式正确，不符合题意。
因此不正确的是③，选C。
【答案】C
【知识点】余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】本题属于余角补角的基础应用题型，解题核心是牢记余角、补角的定义，结合已知的角度关系对式子做等价变形即可判断正误，代入法是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】0.75
5. 如果$∠ A$与它的余角之比为$1:2$，$∠ B$与$∠ A$互为补角，求$∠ B$的度数.
答案
5. $150°$.
解析
【分析】
解题首先要明确余角和补角的核心性质：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。第一步先结合∠A和它余角的比例关系，以及余角和为90°的性质，求出∠A的度数；第二步再利用补角和为180°的性质，计算得出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 互为余角的两个角度数和为90°，且∠A与它的余角之比为1:2
∴ 90°共被分为$1+2=3$份，∠A占其中1份
$\therefore ∠A=90°× \frac{1}{1+2}=30°$
又
∵ 互为补角的两个角度数和为180°，∠B与∠A互为补角
$\therefore ∠B=180°-∠A=180°-30°=150°$
【答案】
$150°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，比例计算
【点评】
本题主要考查余角和补角的基础概念，结合比例关系求解角度，只要熟练掌握余角、补角的角度和性质，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确余角和补角的核心性质：互为余角的两个角度数之和为90°，互为补角的两个角度数之和为180°。第一步先结合∠A和它余角的比例关系，以及余角和为90°的性质，求出∠A的度数；第二步再利用补角和为180°的性质，计算得出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ 互为余角的两个角度数和为90°，且∠A与它的余角之比为1:2
∴ 90°共被分为$1+2=3$份，∠A占其中1份
$\therefore ∠A=90°× \frac{1}{1+2}=30°$
又
∵ 互为补角的两个角度数和为180°，∠B与∠A互为补角
$\therefore ∠B=180°-∠A=180°-30°=150°$
【答案】
$150°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，比例计算
【点评】
本题主要考查余角和补角的基础概念，结合比例关系求解角度，只要熟练掌握余角、补角的角度和性质，就能快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的补角和这个角的余角的度数。
答案
6. $120°,30°$.
解析
【分析】
首先明确余角、补角的基本定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的4倍”这一等量关系列方程，先求出这个角的度数，再分别计算它的补角和余角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 4×(90 - x)$
展开右侧得：$180 - x = 360 - 4x$
移项合并同类项得：$3x = 180$
解得：$x = 60$
所以这个角的补角为：$180° - 60° = 120°$
这个角的余角为：$90° - 60° = 30°$
【答案】
$120°,30°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解应用题
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题核心是准确掌握余角、补角的数量关系，结合方程思想梳理等量关系，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确余角、补角的基本定义：两个角和为90°则互余，和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的4倍”这一等量关系列方程，先求出这个角的度数，再分别计算它的补角和余角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 4×(90 - x)$
展开右侧得：$180 - x = 360 - 4x$
移项合并同类项得：$3x = 180$
解得：$x = 60$
所以这个角的补角为：$180° - 60° = 120°$
这个角的余角为：$90° - 60° = 30°$
【答案】
$120°,30°$
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解应用题
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题核心是准确掌握余角、补角的数量关系，结合方程思想梳理等量关系，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
问题 如图，$∠ AOD$与$∠ BOD$互余，$∠ AOD$比$∠ BOD$大$46°$，$OC$平分$∠ AOB$，求$∠ COD$的度数.
名师指导
设$∠ BOD$为$x°$，则$∠ AOD$为$(46+x)°$，根据$∠ AOD$与$∠ BOD$互余得到$∠ AOB=90°$，则$x+(46+x)=90$，再根据$OC$平分$∠ AOB$，求出$∠ BOC$.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
名师指导
设$∠ BOD$为$x°$，则$∠ AOD$为$(46+x)°$，根据$∠ AOD$与$∠ BOD$互余得到$∠ AOB=90°$，则$x+(46+x)=90$，再根据$OC$平分$∠ AOB$，求出$∠ BOC$.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
解：
∵ ∠AOD与∠BOD互余，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 90°，即∠AOB = 90°。
设∠BOD = x°，则∠AOD = (x + 46)°，
依题意得：$x + (x + 46) = 90$，
解得：$x = 22$，
∴ ∠BOD = 22°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 90° = 45°$，
∴ ∠COD = ∠BOC - ∠BOD = $45° - 22° = 23°$。
∵ ∠AOD与∠BOD互余，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 90°，即∠AOB = 90°。
设∠BOD = x°，则∠AOD = (x + 46)°，
依题意得：$x + (x + 46) = 90$，
解得：$x = 22$，
∴ ∠BOD = 22°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 90° = 45°$，
∴ ∠COD = ∠BOC - ∠BOD = $45° - 22° = 23°$。
解析
【分析】
解题首先根据互余的定义，得出∠AOD与∠BOD的和为90°，即∠AOB=90°；再结合∠AOD比∠BOD大46°的条件，通过设未知数列方程求出∠BOD的度数；之后依据角平分线的定义算出∠BOC的度数；最后利用角的和差关系，用∠BOC减去∠BOD即可得到∠COD的度数。
【解析】
∵ ∠AOD与∠BOD互余，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 90°，即∠AOB = 90°。
设∠BOD = x°，则∠AOD = (x + 46)°，
依题意得：$x + (x + 46) = 90$，
解得：$x = 22$，
∴ ∠BOD = 22°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 90° = 45°$，
∴ ∠COD = ∠BOC - ∠BOD = $45° - 22° = 23°$。
【答案】
$23°$
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，综合考查余角、角平分线的相关概念，解题核心是理清图中各角的数量关系，同时借助方程思想可简化求解过程，有助于提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题首先根据互余的定义，得出∠AOD与∠BOD的和为90°，即∠AOB=90°；再结合∠AOD比∠BOD大46°的条件，通过设未知数列方程求出∠BOD的度数；之后依据角平分线的定义算出∠BOC的度数；最后利用角的和差关系，用∠BOC减去∠BOD即可得到∠COD的度数。
【解析】
∵ ∠AOD与∠BOD互余，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 90°，即∠AOB = 90°。
设∠BOD = x°，则∠AOD = (x + 46)°，
依题意得：$x + (x + 46) = 90$，
解得：$x = 22$，
∴ ∠BOD = 22°。
∵ OC平分∠AOB，
∴ ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 90° = 45°$，
∴ ∠COD = ∠BOC - ∠BOD = $45° - 22° = 23°$。
【答案】
$23°$
【知识点】
余角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，综合考查余角、角平分线的相关概念，解题核心是理清图中各角的数量关系，同时借助方程思想可简化求解过程，有助于提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点A，O，B在同一条直线上，∠AOC=∠BOC，若∠1=∠2，则图中与∠2互余的角共有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. A.
解析
【分析】
解题时首先根据点A、O、B共线得到平角∠AOB=180°，结合∠AOC=∠BOC可推出∠AOC和∠BOC都是90°的直角；再根据互余的定义（两个角的和为90°则这两个角互余），结合已知∠1=∠2的条件，逐一找出和∠2相加等于90°的角即可。
【解析】
1. 因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB=180°，又因为∠AOC=∠BOC，所以$∠ AOC=∠ BOC=180°÷2=90°$。
2. 由$∠ BOC=90°$可得：$∠ 2 + ∠ COD = 90°$，因此$∠ COD$与$∠ 2$互余。
3. 由$∠ AOC=90°$可得：$∠ AOE + ∠ 1 = 90°$，已知$∠1=∠2$，将$∠1$替换为$∠2$，可得$∠ AOE + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ AOE$与$∠ 2$互余。
4. 综上，和$∠2$互余的角共有$∠ COD$、$∠ AOE$ 2个。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，平角的性质，等角的余角相等
【点评】
本题重点考查对互余概念的理解和应用，解题的关键是先确定图中的直角，再结合等角条件筛选符合互余要求的角，计数时注意不要遗漏或重复。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据点A、O、B共线得到平角∠AOB=180°，结合∠AOC=∠BOC可推出∠AOC和∠BOC都是90°的直角；再根据互余的定义（两个角的和为90°则这两个角互余），结合已知∠1=∠2的条件，逐一找出和∠2相加等于90°的角即可。
【解析】
1. 因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB=180°，又因为∠AOC=∠BOC，所以$∠ AOC=∠ BOC=180°÷2=90°$。
2. 由$∠ BOC=90°$可得：$∠ 2 + ∠ COD = 90°$，因此$∠ COD$与$∠ 2$互余。
3. 由$∠ AOC=90°$可得：$∠ AOE + ∠ 1 = 90°$，已知$∠1=∠2$，将$∠1$替换为$∠2$，可得$∠ AOE + ∠ 2 = 90°$，因此$∠ AOE$与$∠ 2$互余。
4. 综上，和$∠2$互余的角共有$∠ COD$、$∠ AOE$ 2个。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义，平角的性质，等角的余角相等
【点评】
本题重点考查对互余概念的理解和应用，解题的关键是先确定图中的直角，再结合等角条件筛选符合互余要求的角，计数时注意不要遗漏或重复。
【难度系数】
0.8
2. 设$∠ α$，$∠ β$的度数分别为$(2n + 5)°$和$(65 - n)°$，且$∠ α$，$∠ β$都是$∠ \gamma$的补角.
（1）求$n$的值；（2）$∠ α$与$∠ β$能否互余，请说明理由.
（1）求$n$的值；（2）$∠ α$与$∠ β$能否互余，请说明理由.
答案
2. （1）$n=20$；（2）$∠α$与$∠β$互余，理由如下：$∠α=(2n+5)°=45°,∠β=(65-n)°=45°$.$\because ∠α+∠β=90°,∴∠α$与$∠β$互为余角.
解析
【分析】
（1）已知∠α和∠β都是∠γ的补角，根据“同角的补角相等”的性质可推出∠α=∠β，据此列出关于n的一元一次方程，解方程即可得到n的值。（2）将第一问求出的n值代入∠α和∠β的表达式，计算两个角的度数和，若和为90°则两角互余，否则不互余。
【解析】
（1）
∵∠α，∠β都是∠γ的补角，
∴根据同角的补角相等可得∠α=∠β，
即$(2n+5)°=(65-n)°$
移项得：$2n+n=65-5$
合并同类项得：$3n=60$
系数化为1得：$n=20$
（2）∠α与∠β能互余，理由如下：
把$n=20$代入得，$∠α=(2×20+5)°=45°$，$∠β=(65-20)°=45°$，
∵$∠α+∠β=45°+45°=90°$，
∴根据互余的定义，∠α与∠β互为余角。
【答案】
（1）$n=20$；（2）$∠α$与$∠β$互余，理由如下：$∠α=(2n+5)°=45°,∠β=(65-n)°=45°$.$\because ∠α+∠β=90°,∴∠α$与$∠β$互为余角.
【知识点】
补角的性质、余角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角、补角的基本概念和性质，结合一元一次方程求解未知量，解题的核心是熟练掌握同角的补角相等以及互余的判定标准，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
（1）已知∠α和∠β都是∠γ的补角，根据“同角的补角相等”的性质可推出∠α=∠β，据此列出关于n的一元一次方程，解方程即可得到n的值。（2）将第一问求出的n值代入∠α和∠β的表达式，计算两个角的度数和，若和为90°则两角互余，否则不互余。
【解析】
（1）
∵∠α，∠β都是∠γ的补角，
∴根据同角的补角相等可得∠α=∠β，
即$(2n+5)°=(65-n)°$
移项得：$2n+n=65-5$
合并同类项得：$3n=60$
系数化为1得：$n=20$
（2）∠α与∠β能互余，理由如下：
把$n=20$代入得，$∠α=(2×20+5)°=45°$，$∠β=(65-20)°=45°$，
∵$∠α+∠β=45°+45°=90°$，
∴根据互余的定义，∠α与∠β互为余角。
【答案】
（1）$n=20$；（2）$∠α$与$∠β$互余，理由如下：$∠α=(2n+5)°=45°,∠β=(65-n)°=45°$.$\because ∠α+∠β=90°,∴∠α$与$∠β$互为余角.
【知识点】
补角的性质、余角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查余角、补角的基本概念和性质，结合一元一次方程求解未知量，解题的核心是熟练掌握同角的补角相等以及互余的判定标准，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
