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3. $∠1$与$∠2$互补，$∠1 - ∠2 = 40°$，求$∠1$与$∠2$的度数。
答案
3. $∠1=110°$；$∠2=70°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆补角的性质：互为补角的两个角的和为180°，结合题目给出的∠1与∠2的差为40°，可得到两个关于∠1、∠2的等量关系式，通过联立这两个式子，用加减消元的方法就能分别求出两个角的度数。也可以用和差公式直接计算：较大角=（两角和+两角差）÷2，较小角=（两角和-两角差）÷2。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互补，根据补角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$ ①
又已知$∠ 1 - ∠ 2 = 40°$ ②
将①+②，得：$2∠ 1 = 220°$
解得：$∠ 1 = 110°$
把$∠ 1=110°$代入①式，得：$110° + ∠ 2 = 180°$
解得：$∠ 2 = 70°$
【答案】
$∠ 1=110°$；$∠ 2=70°$
【知识点】
1. 补角的定义
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握补角的概念，能根据题目给出的角度关系建立等式求解，熟练掌握角度的和差计算即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆补角的性质：互为补角的两个角的和为180°，结合题目给出的∠1与∠2的差为40°，可得到两个关于∠1、∠2的等量关系式，通过联立这两个式子，用加减消元的方法就能分别求出两个角的度数。也可以用和差公式直接计算：较大角=（两角和+两角差）÷2，较小角=（两角和-两角差）÷2。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互补，根据补角的定义可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$ ①
又已知$∠ 1 - ∠ 2 = 40°$ ②
将①+②，得：$2∠ 1 = 220°$
解得：$∠ 1 = 110°$
把$∠ 1=110°$代入①式，得：$110° + ∠ 2 = 180°$
解得：$∠ 2 = 70°$
【答案】
$∠ 1=110°$；$∠ 2=70°$
【知识点】
1. 补角的定义
2. 角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握补角的概念，能根据题目给出的角度关系建立等式求解，熟练掌握角度的和差计算即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC比∠BOC大100°，∠BOC与∠BOD互余，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数.
答案
4. $160°$.
解析
【分析】
首先，点A、O、B在同一直线上，可得∠AOC与∠BOC是邻补角，二者和为180°，结合题目给出的∠AOC比∠BOC大100°的条件，可通过列方程先求出∠BOC和∠AOC的度数。其次，根据互余的定义（两角和为90°），结合∠BOC与∠BOD互余的条件，可求出∠BOD的度数。再根据角平分线的定义，求出OE平分∠AOC后得到的∠AOE的度数。最后通过角的和差关系计算出∠DOE的度数即可。
【解析】
设∠BOC的度数为$x$，则∠AOC的度数为$x+100°$。
∵ 点A，O，B在一条直线上，∠AOC与∠BOC为邻补角
∴ $∠ AOC + ∠ BOC = 180°$
代入得：$x + (x+100°) = 180°$
解得：$2x=80°$，$x=40°$
即$∠ BOC=40°$，$∠ AOC=40°+100°=140°$
∵ OE平分∠AOC
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×140°=70°$
∴ $∠ EOB = 180° - ∠ AOE = 180°-70°=110°$
∵ ∠BOC与∠BOD互余
∴ $∠ BOC + ∠ BOD =90°$
∴ $∠ BOD=90°-∠ BOC=90°-40°=50°$
∴ $∠ DOE = ∠ EOB + ∠ BOD =110°+50°=160°$
【答案】
$160°$
【知识点】
邻补角性质，余角定义，角平分线定义
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，将邻补角、余角、角平分线的知识点结合考查，解题核心是先利用邻补角的和差关系求出∠BOC的度数，再以此为突破口逐步推导其余角的度数，计算时注意理清角之间的位置和和差关系即可。
【难度系数】
0.7
首先，点A、O、B在同一直线上，可得∠AOC与∠BOC是邻补角，二者和为180°，结合题目给出的∠AOC比∠BOC大100°的条件，可通过列方程先求出∠BOC和∠AOC的度数。其次，根据互余的定义（两角和为90°），结合∠BOC与∠BOD互余的条件，可求出∠BOD的度数。再根据角平分线的定义，求出OE平分∠AOC后得到的∠AOE的度数。最后通过角的和差关系计算出∠DOE的度数即可。
【解析】
设∠BOC的度数为$x$，则∠AOC的度数为$x+100°$。
∵ 点A，O，B在一条直线上，∠AOC与∠BOC为邻补角
∴ $∠ AOC + ∠ BOC = 180°$
代入得：$x + (x+100°) = 180°$
解得：$2x=80°$，$x=40°$
即$∠ BOC=40°$，$∠ AOC=40°+100°=140°$
∵ OE平分∠AOC
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}×140°=70°$
∴ $∠ EOB = 180° - ∠ AOE = 180°-70°=110°$
∵ ∠BOC与∠BOD互余
∴ $∠ BOC + ∠ BOD =90°$
∴ $∠ BOD=90°-∠ BOC=90°-40°=50°$
∴ $∠ DOE = ∠ EOB + ∠ BOD =110°+50°=160°$
【答案】
$160°$
【知识点】
邻补角性质，余角定义，角平分线定义
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，将邻补角、余角、角平分线的知识点结合考查，解题核心是先利用邻补角的和差关系求出∠BOC的度数，再以此为突破口逐步推导其余角的度数，计算时注意理清角之间的位置和和差关系即可。
【难度系数】
0.7
如图，A，O，B三点在同一条直线上，$∠ BOD$与$∠ BOC$互补.
(1) 若$∠ AOC=30°$,求$∠ BOD$的度数；
(2) 已知OM平分$∠ AOC$，若射线ON在$∠ COD$的内部，且满足$∠ AOC$与$∠ MON$互余，试探究$∠ MON$与$∠ DON$之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由.
(1) 若$∠ AOC=30°$,求$∠ BOD$的度数；
(2) 已知OM平分$∠ AOC$，若射线ON在$∠ COD$的内部，且满足$∠ AOC$与$∠ MON$互余，试探究$∠ MON$与$∠ DON$之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由.
答案
(1) $∠BOD=30°$. (2) $∠MON$与$∠DON$之间的数量关系为$2∠DON-∠MON=90°$,理由略.
解析
【分析】
(1) 首先由A、O、B三点共线可知∠AOC与∠BOC互补，结合题目给出的∠BOD与∠BOC互补的条件，根据“同角的补角相等”即可得到∠BOD=∠AOC，代入已知角度就能求出结果。
(2) 先设∠AOC的度数为x，根据角平分线的定义可表示出∠AOM的度数；再根据∠AOC与∠MON互余，得到∠MON与x的关系。结合平角为180°，将平角拆分为∠AOM+∠MON+∠DON+∠BOD的和，再代入(1)得到的∠BOD=∠AOC=x，把x用含∠MON的式子替换后整理，即可得到∠MON和∠DON的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ A，O，B三点在同一条直线上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即∠AOC与∠BOC互补。
又
∵ ∠BOD与∠BOC互补，
∴ 根据同角的补角相等，得∠BOD = ∠AOC。
∵ ∠AOC=30°，
∴ ∠BOD=30°。
(2) 结论：$2∠DON - ∠MON = 90°$，理由如下：
设∠AOC = x，
∵ OM平分∠AOC，
∴ $∠AOM = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}x$。
∵ ∠AOC与∠MON互余，
∴ $∠AOC + ∠MON = 90°$，即$x + ∠MON =90°$，
∴ $x = 90° - ∠MON$，且由(1)知$∠BOD=∠AOC=x$。
根据平角的定义，$∠AOM + ∠MON + ∠DON + ∠BOD = 180°$，
将$∠AOM=\frac{1}{2}x$，$∠BOD=x$代入得：
$\frac{1}{2}x + ∠MON + ∠DON + x = 180°$，
整理得：$\frac{3}{2}x + ∠MON + ∠DON = 180°$。
把$x=90°-∠MON$代入上式：
$\frac{3}{2}(90° - ∠MON) + ∠MON + ∠DON = 180°$，
两边同乘2得：$270° - 3∠MON + 2∠MON + 2∠DON = 360°$，
化简得：$2∠DON - ∠MON = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=30°}$
(2) $\boldsymbol{2∠DON - ∠MON=90°}$
【知识点】
补角的性质，余角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的典型习题，核心考查余角、补角的性质以及角平分线的应用，解题的关键是通过同角的补角相等建立角的等量关系，再结合平角的性质进行代换推导，对基础概念的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由A、O、B三点共线可知∠AOC与∠BOC互补，结合题目给出的∠BOD与∠BOC互补的条件，根据“同角的补角相等”即可得到∠BOD=∠AOC，代入已知角度就能求出结果。
(2) 先设∠AOC的度数为x，根据角平分线的定义可表示出∠AOM的度数；再根据∠AOC与∠MON互余，得到∠MON与x的关系。结合平角为180°，将平角拆分为∠AOM+∠MON+∠DON+∠BOD的和，再代入(1)得到的∠BOD=∠AOC=x，把x用含∠MON的式子替换后整理，即可得到∠MON和∠DON的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵ A，O，B三点在同一条直线上，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，即∠AOC与∠BOC互补。
又
∵ ∠BOD与∠BOC互补，
∴ 根据同角的补角相等，得∠BOD = ∠AOC。
∵ ∠AOC=30°，
∴ ∠BOD=30°。
(2) 结论：$2∠DON - ∠MON = 90°$，理由如下：
设∠AOC = x，
∵ OM平分∠AOC，
∴ $∠AOM = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}x$。
∵ ∠AOC与∠MON互余，
∴ $∠AOC + ∠MON = 90°$，即$x + ∠MON =90°$，
∴ $x = 90° - ∠MON$，且由(1)知$∠BOD=∠AOC=x$。
根据平角的定义，$∠AOM + ∠MON + ∠DON + ∠BOD = 180°$，
将$∠AOM=\frac{1}{2}x$，$∠BOD=x$代入得：
$\frac{1}{2}x + ∠MON + ∠DON + x = 180°$，
整理得：$\frac{3}{2}x + ∠MON + ∠DON = 180°$。
把$x=90°-∠MON$代入上式：
$\frac{3}{2}(90° - ∠MON) + ∠MON + ∠DON = 180°$，
两边同乘2得：$270° - 3∠MON + 2∠MON + 2∠DON = 360°$，
化简得：$2∠DON - ∠MON = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=30°}$
(2) $\boldsymbol{2∠DON - ∠MON=90°}$
【知识点】
补角的性质，余角的定义，角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的典型习题，核心考查余角、补角的性质以及角平分线的应用，解题的关键是通过同角的补角相等建立角的等量关系，再结合平角的性质进行代换推导，对基础概念的灵活运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在图中确定A,B,C,D的位置:
(1) A在O的正北方向,距O点2 cm;
(2) B在O的北偏东$60°$方向,距O点3 cm;
(3) C在O的东南方向,距O点1.5 cm;
(4) D在O的南偏西$40°$方向,距O点2 cm.
(1) A在O的正北方向,距O点2 cm;
(2) B在O的北偏东$60°$方向,距O点3 cm;
(3) C在O的东南方向,距O点1.5 cm;
(4) D在O的南偏西$40°$方向,距O点2 cm.
答案
解：
按以下操作确定各点位置：
(1) 在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
最终得到的A、B、C、D四点即为符合要求的位置。
按以下操作确定各点位置：
(1) 在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
最终得到的A、B、C、D四点即为符合要求的位置。
解析
【分析】
要确定平面内点的位置，需结合方向和距离两个要素，解题遵循以下思路：首先明确“上北下南、左西右东”的方向规则，对每个要确定的点，先根据题目描述的方向，以O为顶点画出对应方向的射线，再在该射线上截取符合题目给定长度的线段，线段的另一个端点就是所求的点。注意“东南方向”是固定指南偏东45°的特殊方向，无需额外给出角度。
【解析】
我们按以下步骤确定各点位置：
(1) 确定点A：在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 确定点B：以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 确定点C：东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 确定点D：以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
【答案】
按以下操作确定各点位置：
(1) 在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
最终得到的A、B、C、D四点即为符合要求的位置。
【知识点】
方向角的认识，用方向和距离确定位置，基本作图
【点评】
本题是基础的位置确定类题目，重点考查对方向角含义的理解和动手作图能力，解题时要准确识别“东南”这类特殊方向对应的角度，作图时需保证角度和距离的准确性。
【难度系数】
0.9
要确定平面内点的位置，需结合方向和距离两个要素，解题遵循以下思路：首先明确“上北下南、左西右东”的方向规则，对每个要确定的点，先根据题目描述的方向，以O为顶点画出对应方向的射线，再在该射线上截取符合题目给定长度的线段，线段的另一个端点就是所求的点。注意“东南方向”是固定指南偏东45°的特殊方向，无需额外给出角度。
【解析】
我们按以下步骤确定各点位置：
(1) 确定点A：在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 确定点B：以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 确定点C：东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 确定点D：以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
【答案】
按以下操作确定各点位置：
(1) 在过点O的正北方向射线上，截取线段OA=2 cm，点A即为所求；
(2) 以O为顶点，正北方向的射线为一边，向东作60°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OB=3 cm，点B即为所求；
(3) 东南方向为南偏东45°方向，以O为顶点，正南方向的射线为一边，向东作45°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OC=1.5 cm，点C即为所求；
(4) 以O为顶点，正南方向的射线为一边，向西作40°的角，得到对应终边射线，在该射线上截取OD=2 cm，点D即为所求。
最终得到的A、B、C、D四点即为符合要求的位置。
【知识点】
方向角的认识，用方向和距离确定位置，基本作图
【点评】
本题是基础的位置确定类题目，重点考查对方向角含义的理解和动手作图能力，解题时要准确识别“东南”这类特殊方向对应的角度，作图时需保证角度和距离的准确性。
【难度系数】
0.9
