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4. 如图，OD是∠AOC的平分线，∠AOD=40°，∠BOD=70°，求∠BOC的度数.
答案
4. $30°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，由OD是∠AOC的平分线，可得到∠COD与已知的∠AOD相等，求出∠COD的度数；再观察图形可知∠BOD由∠BOC和∠COD组成，因此用∠BOD的度数减去∠COD的度数，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD = ∠AOD = 40°，
又
∵∠BOD = ∠BOC + ∠COD，∠BOD=70°，
∴∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 70° - 40° = 30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确识别图形中角的和差关系，熟练运用角平分线的性质得到相等的角，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先根据角平分线的定义，由OD是∠AOC的平分线，可得到∠COD与已知的∠AOD相等，求出∠COD的度数；再观察图形可知∠BOD由∠BOC和∠COD组成，因此用∠BOD的度数减去∠COD的度数，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD = ∠AOD = 40°，
又
∵∠BOD = ∠BOC + ∠COD，∠BOD=70°，
∴∠BOC = ∠BOD - ∠COD = 70° - 40° = 30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是准确识别图形中角的和差关系，熟练运用角平分线的性质得到相等的角，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知∠AOB=70°,∠BOC=40°,OD是∠AOC的平分线,求∠BOD的度数.
答案
5. $15°$或$55°$.
解析
【分析】
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。先根据角的和差关系求出不同情况下∠AOC的度数，再结合角平分线的定义求出对应角的度数，最后通过角的和差计算得出∠BOD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当射线OC在∠AOB的内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70° - 40° = 30°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 15° = 55°$；
情况2：当射线OC在$∠ AOB$的外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 40° = 110°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 110° = 55°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 55° = 15°$；
综上，$∠ BOD$的度数为$15°$或$55°$。
【答案】
$15°$或$55°$
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的位置不唯一，漏算其中一种情况。解题时要注意，当几何题中没有明确给出点或射线的位置时，要考虑所有可能的情况，分类讨论求解，熟练掌握角平分线的定义和角的和差计算是解题的基础。
【难度系数】
0.6
本题未明确射线OC的位置，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB的内部；②OC在∠AOB的外部。先根据角的和差关系求出不同情况下∠AOC的度数，再结合角平分线的定义求出对应角的度数，最后通过角的和差计算得出∠BOD的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：当射线OC在∠AOB的内部时，
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 70° - 40° = 30°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 30° = 15°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 15° = 55°$；
情况2：当射线OC在$∠ AOB$的外部时，
$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 70° + 40° = 110°$，
∵OD是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOD = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 110° = 55°$，
∴$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 70° - 55° = 15°$；
综上，$∠ BOD$的度数为$15°$或$55°$。
【答案】
$15°$或$55°$
【知识点】
角的和差运算；角平分线的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略射线OC的位置不唯一，漏算其中一种情况。解题时要注意，当几何题中没有明确给出点或射线的位置时，要考虑所有可能的情况，分类讨论求解，熟练掌握角平分线的定义和角的和差计算是解题的基础。
【难度系数】
0.6
已知:如图,OC是$∠ AOB$的平分线,OD是$∠ AOB$的三等分线,且OD在$∠ AOC$的内部.
(1) 如图(1),若$∠ AOB=120°$,求$∠ DOC$的度数;
(2) 如图(2),若射线OE是$∠ BOD$的平分线,请判断射线OC是否平分$∠ DOE$?并说明理由.
(1) 如图(1),若$∠ AOB=120°$,求$∠ DOC$的度数;
(2) 如图(2),若射线OE是$∠ BOD$的平分线,请判断射线OC是否平分$∠ DOE$?并说明理由.
答案
解:(1) $\because ∠AOB=120°$, OC 是$∠AOB$的平分线,$\therefore ∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=60°$. $\because OD$ 是$∠AOB$的三等分线,$\therefore ∠AOD=\frac{1}{3}∠AOB=40°$,$\therefore ∠DOC=∠AOC-∠AOD=20°$. (2) 射线 OC 平分$∠DOE$,理由如下:设$∠AOD=2x$,$\because OD$ 是$∠AOB$的三等分线,$\therefore ∠AOB=3∠AOD=6x$,$∠BOD=∠AOB-∠AOD=4x$. $\because OC$ 是$∠AOB$的平分线,$\therefore ∠BOC=∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=3x$,$\therefore ∠COD=∠AOC-∠AOD=x$. $\because OE$ 是$∠BOD$的平分线,$\therefore ∠BOE=∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=2x$,$\therefore ∠COE=∠BOC-∠BOE=x$,$\therefore ∠COE=∠COD=x$,即射线 OC 平分$∠DOE$.
解析
【分析】
(1) 要求∠DOC的度数，观察图形可知∠DOC=∠AOC-∠AOD，先根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据角三等分线的定义求出∠AOD的度数，作差即可得到结果。
(2) 要判断OC是否平分∠DOE，只需证明∠COE=∠COD即可。可以通过设参数的方式，先根据三等分线的定义用参数表示出∠AOB的度数，再结合角平分线的定义分别表示出∠COD、∠COE的度数，比较两个角的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=120°$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\because$ OD是$∠ AOB$的三等分线，且OD在$∠ AOC$内部，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ AOC-∠ AOD=60°-40°=20°$。
(2) 射线OC平分$∠ DOE$，理由如下：
设$∠ AOD=2x$，
$\because$ OD是$∠ AOB$的三等分线，
$\therefore ∠ AOB=3∠ AOD=6x$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=6x-2x=4x$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×6x=3x$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=3x-2x=x$，
$\because$ OE是$∠ BOD$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ BOE=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×4x=2x$，
$\therefore ∠ COE=∠ BOC-∠ BOE=3x-2x=x$，
$\therefore ∠ COE=∠ COD=x$，即射线OC平分$∠ DOE$。
【答案】
(1) $∠ DOC=20°$；
(2) 射线OC平分$∠ DOE$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，角的三等分线
【点评】
本题围绕角的等分线设置问题，核心是利用角平分线、三等分线的定义得到角的数量关系，第二问通过设参数表示角的度数，可以更直观地对比角的大小，降低运算难度，是角的运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠DOC的度数，观察图形可知∠DOC=∠AOC-∠AOD，先根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，再根据角三等分线的定义求出∠AOD的度数，作差即可得到结果。
(2) 要判断OC是否平分∠DOE，只需证明∠COE=∠COD即可。可以通过设参数的方式，先根据三等分线的定义用参数表示出∠AOB的度数，再结合角平分线的定义分别表示出∠COD、∠COE的度数，比较两个角的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB=120°$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
$\because$ OD是$∠ AOB$的三等分线，且OD在$∠ AOC$内部，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ AOC-∠ AOD=60°-40°=20°$。
(2) 射线OC平分$∠ DOE$，理由如下：
设$∠ AOD=2x$，
$\because$ OD是$∠ AOB$的三等分线，
$\therefore ∠ AOB=3∠ AOD=6x$，$∠ BOD=∠ AOB-∠ AOD=6x-2x=4x$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×6x=3x$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=3x-2x=x$，
$\because$ OE是$∠ BOD$的平分线，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ BOE=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×4x=2x$，
$\therefore ∠ COE=∠ BOC-∠ BOE=3x-2x=x$，
$\therefore ∠ COE=∠ COD=x$，即射线OC平分$∠ DOE$。
【答案】
(1) $∠ DOC=20°$；
(2) 射线OC平分$∠ DOE$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，角的三等分线
【点评】
本题围绕角的等分线设置问题，核心是利用角平分线、三等分线的定义得到角的数量关系，第二问通过设参数表示角的度数，可以更直观地对比角的大小，降低运算难度，是角的运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
1. $70°$角的余角是$\_\_\_\_\_\_°$，补角是$\_\_\_\_\_\_°$；一个角的补角等于$125°$，那么这个角等于$\_\_\_\_\_\_°$。
答案
1. 20；110；55.
解析
【分析】
解题前先明确余角和补角的核心定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。解题思路如下：求已知角的余角，直接用90°减去已知角的度数；求已知角的补角，直接用180°减去已知角的度数；已知一个角的补角求这个角，用180°减去补角的度数即可得到原角大小。
【解析】
1. 求70°角的余角：根据余角定义，余角 = $90° - 70° = 20°$；
2. 求70°角的补角：根据补角定义，补角 = $180° - 70° = 110°$；
3. 已知补角为125°求原角：原角 = $180° - 125° = 55°$。
【答案】
20；110；55
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对余角、补角定义的掌握程度，只要牢记定义准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题前先明确余角和补角的核心定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。解题思路如下：求已知角的余角，直接用90°减去已知角的度数；求已知角的补角，直接用180°减去已知角的度数；已知一个角的补角求这个角，用180°减去补角的度数即可得到原角大小。
【解析】
1. 求70°角的余角：根据余角定义，余角 = $90° - 70° = 20°$；
2. 求70°角的补角：根据补角定义，补角 = $180° - 70° = 110°$；
3. 已知补角为125°求原角：原角 = $180° - 125° = 55°$。
【答案】
20；110；55
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查对余角、补角定义的掌握程度，只要牢记定义准确计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 一个锐角等于 $ m° $，则它的余角等于
90−m
$ ° $，它的补角等于 180−m
$ ° $，它的余角比它的补角小 90
$ ° $。答案
2. (90−m)；(180−m)；90.
解析
【分析】
解题时先明确余角和补角的核心定义：①互为余角的两个角的度数和为90°，因此求一个角的余角，直接用90°减去该角的度数即可；②互为补角的两个角的度数和为180°，因此求一个角的补角，直接用180°减去该角的度数即可；③求余角比补角小多少，只需用补角的度数减去余角的度数，再化简整式即可得到结果。
【解析】
1. 求余角：根据余角定义，两个角和为90°时互为余角，因此这个$ m° $的锐角的余角为$ 90° - m° = (90 - m)° $；
2. 求补角：根据补角定义，两个角和为180°时互为补角，因此这个锐角的补角为$ 180° - m° = (180 - m)° $；
3. 求余角比补角小的度数：用补角减余角，列式计算：
$ (180 - m) - (90 - m) = 180 - m - 90 + m = 90° $
【答案】
(90−m)；(180−m)；90
【知识点】
余角的定义；补角的定义；整式的加减运算
【点评】
本题考察余角、补角的基础概念，属于常规基础题，只要牢记余角、补角对应的和的定值，计算时注意去括号的符号规则即可正确作答，此外可记住通用结论：任意锐角的余角比它的补角小90°，能提高同类题的做题效率。
【难度系数】
0.85
解题时先明确余角和补角的核心定义：①互为余角的两个角的度数和为90°，因此求一个角的余角，直接用90°减去该角的度数即可；②互为补角的两个角的度数和为180°，因此求一个角的补角，直接用180°减去该角的度数即可；③求余角比补角小多少，只需用补角的度数减去余角的度数，再化简整式即可得到结果。
【解析】
1. 求余角：根据余角定义，两个角和为90°时互为余角，因此这个$ m° $的锐角的余角为$ 90° - m° = (90 - m)° $；
2. 求补角：根据补角定义，两个角和为180°时互为补角，因此这个锐角的补角为$ 180° - m° = (180 - m)° $；
3. 求余角比补角小的度数：用补角减余角，列式计算：
$ (180 - m) - (90 - m) = 180 - m - 90 + m = 90° $
【答案】
(90−m)；(180−m)；90
【知识点】
余角的定义；补角的定义；整式的加减运算
【点评】
本题考察余角、补角的基础概念，属于常规基础题，只要牢记余角、补角对应的和的定值，计算时注意去括号的符号规则即可正确作答，此外可记住通用结论：任意锐角的余角比它的补角小90°，能提高同类题的做题效率。
【难度系数】
0.85
3. 将一副直角三角尺按如图所示放置，若$∠ BOC=160°$，则$∠ AOD$的大小为（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
3. B.
解析
【分析】
首先明确直角三角尺的两个直角∠COD、∠AOB均为90°，观察图形可知两个直角的度数之和，等于∠BOC的度数加上重叠部分∠AOD的度数，利用这个角的和差关系，代入已知的∠BOC的数值，就可以求出∠AOD的大小。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可知，$∠ COD=∠ AOB=90°$
观察各角的组成可得关系：$∠ COD + ∠ AOB = ∠ BOC + ∠ AOD$
将$∠ COD=90°$，$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=160°$代入上式：
$90°+90°=160°+∠ AOD$
$180°=160°+∠ AOD$
解得$∠ AOD=180°-160°=20°$
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算；直角的定义
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是梳理清楚各角之间的和差关系，结合直角三角尺的固有角度特征即可快速求解，也可通过拆分各个小角逐步推导，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
首先明确直角三角尺的两个直角∠COD、∠AOB均为90°，观察图形可知两个直角的度数之和，等于∠BOC的度数加上重叠部分∠AOD的度数，利用这个角的和差关系，代入已知的∠BOC的数值，就可以求出∠AOD的大小。
【解析】
解：由直角三角尺的角度特征可知，$∠ COD=∠ AOB=90°$
观察各角的组成可得关系：$∠ COD + ∠ AOB = ∠ BOC + ∠ AOD$
将$∠ COD=90°$，$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=160°$代入上式：
$90°+90°=160°+∠ AOD$
$180°=160°+∠ AOD$
解得$∠ AOD=180°-160°=20°$
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算；直角的定义
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是梳理清楚各角之间的和差关系，结合直角三角尺的固有角度特征即可快速求解，也可通过拆分各个小角逐步推导，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
