6.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，O为BE，CD的交点.如果AB=AC，那么图中全等的直角三角形有对.

6.3

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由CD⊥AB、BE⊥AC可得两个直角，结合公共角∠A和已知AB=AC，可先判定最大的两个直角三角形全等；再利用全等得到的边相等的结论，结合公共边AO判定第二对直角三角形全等；最后通过线段差得到BD=CE，结合对顶角相等判定第三对直角三角形全等，数出总对数即可。
【解析】
1. 判定$△ ABE ≌ △ ACD$：
因为$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，所以$∠ ADC = ∠ AEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC \\∠ A = ∠ A \\AB = AC\end{cases}$
由AAS可判定$△ ABE ≌ △ ACD$，得$AD=AE$，$∠ B=∠ C$。
2. 判定$△ AOD ≌ △ AOE$：
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ AOE$中：
$\begin{cases}AD=AE \\AO=AO\end{cases}$
由HL可判定$\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ AOE$。
3. 判定$△ BOD ≌ △ COE$：
因为$AB=AC$，$AD=AE$，所以$AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOD = ∠ COE \\BD=CE\end{cases}$
由AAS可判定$△ BOD ≌ △ COE$。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形全等判定，对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，需要按从易到难的顺序寻找全等三角形，先利用已知条件判定明显的全等，再通过全等的性质推导边角关系，进一步判定其余全等，解题时注意不要漏数。
【难度系数】
0.7

7.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别过点$B$,$C$作过点$A$的直线的垂线$BD$, $CE$.若$BD=4\ \mathrm{cm}$,$CE=3\ \mathrm{cm}$,则$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

7.7

【分析】
解题时先观察图形特征：已知∠BAC=90°，BD、CE均垂直于DE，可得多个直角，利用“同角的余角相等”可推出两组角相等，结合已知AB=AC的条件，可证明△ABD和△CAE全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，得到AD与CE、AE与BD的等量关系，最后通过线段和的计算求出DE的长度。
【解析】
解：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠CAE（同角的余角相等）。
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠D=∠E\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array} $
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=CE=3cm，AE=BD=4cm，
∴DE=AD+AE=3+4=7(cm)。
【答案】
7
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题是全等三角形实际应用的基础题型，核心思路是通过角度互余关系推导角相等，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段长度求解，解题的关键是准确找到全等的两个三角形。
【难度系数】
0.7

8.如图，已知$AB⊥ BD$，$AB// ED$，$AB=ED$，要判定$△ ABC≌△ EDC$，若以“SAS”为依据，则还要添加的条件为；若添加条件$AC=EC$，则判定全等的依据是。

8.$BC=DC$;HL

【分析】
解题思路如下：第一步先从已知条件推导隐含的角的关系：由AB⊥BD，AB//ED可推出∠B和∠D都是直角，即∠B=∠D=90°，同时已知AB=ED；第二步根据对应全等判定定理找所需条件：①要使用“SAS”判定全等，需要两组对应边及其夹角相等，已有一组边AB=ED、一组夹角∠B=∠D，因此需要补充夹这两个角的另一组对应边相等；②若添加AC=EC，此时两个三角形都是直角三角形，可结合直角三角形特有的全等判定定理判断依据。
【解析】
解：先推导角的关系：
∵AB⊥BD，AB//ED，
∴ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°。
1、若以“SAS”为依据判定△ABC≌△EDC：
已知AB=ED，∠B=∠D，根据SAS“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”的要求，还需要夹∠B、∠D的另一组对应边相等，即BC=DC。
2、若添加条件AC=EC：
此时△ABC和△EDC均为直角三角形，已知直角边AB=ED，斜边AC=EC，根据直角三角形全等的判定定理“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，可判定两个三角形全等。
【答案】
BC=DC；HL
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 直角三角形HL判定
3. 平行线的性质
【点评】
本题侧重考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时要先梳理出题干给出的和隐含的已知条件，再结合要求的判定定理匹配缺少的条件，注意区分一般三角形和直角三角形全等判定的异同。
【难度系数】
0.8

9.如图,在$△ ABC$中,D为边AC的中点,过点D作边AC的垂线,与边BC交于点E,以点A为圆心,EC的长为半径画圆,交直线ED于点F,有下列结论:①$△ AFD ≌ △ CED$;②$∠ BAC = ∠ C$;③$ED=FD$;④$AB // EF$.其中正确的结论是.(请将正确结论的序号都填上)

9.①③ 【提示】由 $AC⊥EF$,得$∠ ADF=∠ CDE=90°$,
由 $AD=CD,AF=CE$, 得 $\mathrm{Rt}△ AFD≌\mathrm{Rt}△ CED$,
故①正确;又根据全等三角形的性质,得 $ED=FD$,
故③正确.

【分析】
解题时先梳理题目给出的已知条件：D是AC中点可得AD=CD，EF⊥AC可得两个直角，作图可知AF=EC。首先验证结论①：两个都是直角三角形，斜边和直角边对应相等，可证全等；由全等的性质可直接判断结论③是否正确；再看结论②，题目没有给出角相等的相关推导条件，无法得出∠BAC=∠C；结论④没有能证明两直线平行的同位角、内错角相等的条件，也无法推出，据此即可判断正确结论。
【解析】
解：已知D为AC中点，
∴AD=CD。
∵EF⊥AC，
∴∠ADF=∠CDE=90°。
由作图可知，AF=EC。
①在$ \mathrm{Rt}△AFD $和$ \mathrm{Rt}△CED $中，
$\{\begin{array}{l}AD=CD\\ AF=CE\end{array} $
∴$ \mathrm{Rt}△AFD≌\mathrm{Rt}△CED $（HL），故①正确；
③由全等三角形的性质，对应边相等，可得ED=FD，故③正确；
②题目未给出AB、BC的边长关系或角相等的相关条件，无法推出$ ∠BAC=∠C $，故②错误；
④没有条件可证明AB与EF的同位角、内错角相等或同旁内角互补，无法推出$ AB// EF $，故④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题时要充分利用题目给出的已知条件，结合图形进行推导，注意没有明确给出的条件不能随意假设，逐一验证每个结论即可得出答案。
【难度系数】
0.7

10.如图,若$AB// CD$,$AC// BD$,$AD⊥ BC$,则图中共有全等三角形对.

10.8 【提示】图中的全等三角形：
$△ ABC≌△ DCB,△ ACD≌△ DBA$,
$△ AOB≌△ DOC,△ AOC≌△ DOB$,
$△ AOB≌△ AOC,△ BOD≌△ COD$,
$△ AOB≌△ DOB,△ AOC≌△ DOC$.

【分析】
解题时首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形ABDC为平行四边形，得到对边相等、对角线互相平分的性质；再结合AD⊥BC的条件，得到四个直角以及更多相等的边；最后依据三角形全等的判定定理，按“大三角形→小三角形”的顺序有序枚举全等的三角形，避免漏数、多数。
【解析】
1. 推导图形基本性质：
∵AB//CD，AC//BD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB=CD，AC=BD，对角线AD与BC互相平分，即$AO=OD$，$BO=OC$；
又
∵AD⊥BC，
∴$∠ AOB=∠ AOC=∠ BOD=∠ COD=90°$。
2. 逐一列举全等三角形：
① $△ ABC≌△ DCB$：AB=CD，AC=BD，BC为公共边，由SSS判定全等；
② $△ ACD≌△ DBA$：AC=BD，CD=AB，AD为公共边，由SSS判定全等；
③ $△ AOB≌△ DOC$：AO=OD，$∠ AOB=∠ DOC$，BO=OC，由SAS判定全等；
④ $△ AOC≌△ DOB$：AO=OD，$∠ AOC=∠ DOB$，OC=OB，由SAS判定全等；
⑤ $△ AOB≌△ AOC$：AO为公共边，$∠ AOB=∠ AOC$，BO=OC，由SAS判定全等；
⑥ $△ BOD≌△ COD$：OD为公共边，$∠ BOD=∠ COD$，BO=OC，由SAS判定全等；
⑦ $△ AOB≌△ DOB$：BO为公共边，$∠ AOB=∠ DOB$，AO=OD，由SAS判定全等；
⑧ $△ AOC≌△ DOC$：OC为公共边，$∠ AOC=∠ DOC$，AO=OD，由SAS判定全等。
综上，共有8对全等三角形。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定
【点评】
本题属于几何计数类题目，既需要掌握平行四边形和全等三角形的基础性质，也需要养成有序计数的习惯，避免因杂乱查找出现漏数、重复计数的问题。
【难度系数】
0.4

11.如图,在△ABC中,∠B=90°,E为BC上一点,ED⊥AC于点D,连接AE,AB=AD,∠C=20°.求∠AEB的度数.

11.解:$\because ED⊥ AC,\therefore∠ ADE=90°$.又$∠ B=90°$,
$\therefore$在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\begin{cases} AE=AE,\\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$.
$\therefore∠ AEB=∠ AED$.
在 $\mathrm{Rt}△ EDC$ 中,$∠ C=20°$,
$\therefore∠ CED=70°$.
$\therefore∠ AEB=\frac{1}{2}×(180°-70°)=55°$.

【分析】
解题时首先观察到△ABE和△ADE都是直角三角形，且已知AB=AD，AE为两个三角形的公共边，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到∠AEB=∠AED；再在Rt△EDC中利用直角三角形两锐角互余求出∠CED的度数，结合平角的定义求出∠BED的度数，最后利用角的等量关系即可算出∠AEB的度数。
【解析】
$\because ED⊥ AC$，$\therefore ∠ ADE=90°$，又$∠ B=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABE$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases}AE=AE\quad(\mathrm{公共边})\\AB=AD\quad(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AED$。
在$\mathrm{Rt}△ EDC$中，$∠ C=20°$，$∠ EDC=90°$，
$\therefore ∠ CED=90°-∠ C=90°-20°=70°$。
$\because ∠ BED+∠ CED=180°$（平角的定义），
$\therefore ∠ BED=180°-70°=110°$，
$\therefore ∠ AEB=\dfrac{1}{2}∠ BED=\dfrac{1}{2}×110°=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
HL判定三角形全等；直角三角形两锐角互余；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，将全等三角形的判定与性质和直角三角形的角度计算结合考查，解题的核心是先证明三角形全等得到角的相等关系，再结合已知角度逐步推导所求角的度数，熟练掌握全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7