登录
12.如图，在$△ ABC$中，$AE=AF$，$BD=CD$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$.求证$BE=CF$.
答案
12.证明:在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}).\therefore DE=DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} DE=DF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}).\therefore BE=CF$.
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}).\therefore DE=DF$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} DE=DF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}).\therefore BE=CF$.
解析
【分析】
要证明$BE=CF$，可通过证明$△BDE$和$△CDF$全等来实现。首先观察已知条件，$DE⊥AB$、$DF⊥AC$，可知$△BDE$和$△CDF$都是直角三角形，已知$BD=CD$，还需得到一组直角边相等即$DE=DF$。要得到$DE=DF$，可先证明$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ADF$全等，这两个三角形有公共斜边$AD$，且已知$AE=AF$，满足HL判定的条件，先证这组全等得到$DE=DF$，再证明$△BDE$和$△CDF$全等即可得到结论。
【解析】
证明：在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,
$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
$\therefore DE=DF$。
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,
$\begin{cases} DE=DF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用，需要两次运用HL定理完成证明，解题时可通过待证结论倒推所需条件，结合已知信息梳理证明逻辑，有助于锻炼几何推理思维。
【难度系数】
0.7
要证明$BE=CF$，可通过证明$△BDE$和$△CDF$全等来实现。首先观察已知条件，$DE⊥AB$、$DF⊥AC$，可知$△BDE$和$△CDF$都是直角三角形，已知$BD=CD$，还需得到一组直角边相等即$DE=DF$。要得到$DE=DF$，可先证明$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ADF$全等，这两个三角形有公共斜边$AD$，且已知$AE=AF$，满足HL判定的条件，先证这组全等得到$DE=DF$，再证明$△BDE$和$△CDF$全等即可得到结论。
【解析】
证明：在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中,
$\begin{cases} AD=AD,\\ AE=AF, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，
$\therefore DE=DF$。
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,
$\begin{cases} DE=DF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用，需要两次运用HL定理完成证明，解题时可通过待证结论倒推所需条件，结合已知信息梳理证明逻辑，有助于锻炼几何推理思维。
【难度系数】
0.7
1.如图，$AB⊥ AC$于点A，$BD⊥ CD$于点D.若$AC=DB$，则下列结论不正确的是(
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ ABC=∠ DCB$
C.$OB=OD$
D.$OA=OD$
C
).A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ ABC=∠ DCB$
C.$OB=OD$
D.$OA=OD$
答案
1.C
解析
【分析】
首先从已知的垂直关系入手，可得∠A与∠D都是90°，可直接判断选项A正确；再观察图形，Rt△ABC和Rt△DCB有公共斜边BC，结合已知AC=DB，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等性质可判断选项B是否正确；再由全等得到的边相等，结合对顶角相等，证明△AOB与△DOC全等，根据全等对应边相等即可判断C、D选项的正误，最终选出不正确的结论。
【解析】
解：
∵ $AB⊥ AC$，$BD⊥ CD$，
∴ $∠ A=∠ D=90°$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DB \\BC=CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DCB$（HL），
∴ $∠ ABC=∠ DCB$，$AB=CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\∠ AOB=∠ DOC \\AB=CD\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ DOC$（AAS），
∴ $OA=OD$，$OB=OC$，故D选项结论正确，不符合题意；
由推导可知$OB=OC≠ OD$，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，需要先后证明两组三角形全等，结合全等的性质逐一验证选项，解题时要注意找准全等三角形的对应边和对应角，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.7
首先从已知的垂直关系入手，可得∠A与∠D都是90°，可直接判断选项A正确；再观察图形，Rt△ABC和Rt△DCB有公共斜边BC，结合已知AC=DB，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等性质可判断选项B是否正确；再由全等得到的边相等，结合对顶角相等，证明△AOB与△DOC全等，根据全等对应边相等即可判断C、D选项的正误，最终选出不正确的结论。
【解析】
解：
∵ $AB⊥ AC$，$BD⊥ CD$，
∴ $∠ A=∠ D=90°$，故A选项结论正确，不符合题意；
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DB \\BC=CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DCB$（HL），
∴ $∠ ABC=∠ DCB$，$AB=CD$，故B选项结论正确，不符合题意；
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ D \\∠ AOB=∠ DOC \\AB=CD\end{cases}$
∴ $△ AOB≌△ DOC$（AAS），
∴ $OA=OD$，$OB=OC$，故D选项结论正确，不符合题意；
由推导可知$OB=OC≠ OD$，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，需要先后证明两组三角形全等，结合全等的性质逐一验证选项，解题时要注意找准全等三角形的对应边和对应角，避免混淆对应关系出错。
【难度系数】
0.7
2.(2023,济宁,9)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F.若$∠ CFB=α$,则$∠ ABE$等于(
A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
C
).A.$180° - α$
B.$180° - 2α$
C.$90° + α$
D.$90° + 2α$
答案
2.C 【提示】如图,由 $GD=EH=1,CG=BH=4$,
$∠ CGD=∠ BHE=90°$,得$△ CGD≌△ BHE(\mathrm{SAS})$,
则 $∠ GCD = ∠ HBE. \because CG // BD, \therefore ∠ CAB = ∠ ABD. \because ∠ CFB = ∠ CAB + ∠ GCD = α, \therefore α = ∠ ABD + ∠ HBE. \therefore ∠ ABE = ∠ ABD + ∠ DBH + ∠ HBE = 90°+α$.
解析
【分析】
要推导∠ABE的度数，已知∠CFB=α，需建立两个角的等量联系：首先利用方格纸边长固定、直角多的特点，构造全等三角形完成角的转化；再结合三角形外角的性质，将∠CFB拆分为两个内角的和；接着利用平行线的性质替换对应角，最后将∠ABE拆分为几个角的和，代入已得的等量关系即可求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，作辅助线如图所示：
1. 证明三角形全等：可得$GD=EH=1$，$CG=BH=4$，且$∠CGD=∠BHE=90°$，根据SAS判定可得$△ CGD≌△ BHE$，因此$∠GCD = ∠HBE$。
2. 利用平行线性质：由$CG// BD$，可得内错角相等，即$∠CAB = ∠ABD$。
3. 利用三角形外角性质：$∠CFB$是$△ AFC$的外角，因此$∠CFB = ∠CAB + ∠GCD = α$，将上述角等量代换可得$α = ∠ABD + ∠HBE$。
4. 计算∠ABE：观察图形可知$∠DBH=90°$，因此$∠ABE = ∠ABD + ∠DBH + ∠HBE = (∠ABD + ∠HBE) + 90° = 90°+α$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 三角形外角的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题结合方格背景考查几何性质的综合应用，解题核心是通过构造全等三角形实现角的等量转化，再结合平行线、三角形外角的性质推导角的和差关系，能很好地考查学生的识图能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
要推导∠ABE的度数，已知∠CFB=α，需建立两个角的等量联系：首先利用方格纸边长固定、直角多的特点，构造全等三角形完成角的转化；再结合三角形外角的性质，将∠CFB拆分为两个内角的和；接着利用平行线的性质替换对应角，最后将∠ABE拆分为几个角的和，代入已得的等量关系即可求出结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，作辅助线如图所示：
1. 证明三角形全等：可得$GD=EH=1$，$CG=BH=4$，且$∠CGD=∠BHE=90°$，根据SAS判定可得$△ CGD≌△ BHE$，因此$∠GCD = ∠HBE$。
2. 利用平行线性质：由$CG// BD$，可得内错角相等，即$∠CAB = ∠ABD$。
3. 利用三角形外角性质：$∠CFB$是$△ AFC$的外角，因此$∠CFB = ∠CAB + ∠GCD = α$，将上述角等量代换可得$α = ∠ABD + ∠HBE$。
4. 计算∠ABE：观察图形可知$∠DBH=90°$，因此$∠ABE = ∠ABD + ∠DBH + ∠HBE = (∠ABD + ∠HBE) + 90° = 90°+α$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等SAS判定
2. 三角形外角的性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题结合方格背景考查几何性质的综合应用，解题核心是通过构造全等三角形实现角的等量转化，再结合平行线、三角形外角的性质推导角的和差关系，能很好地考查学生的识图能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
3.如图,在△ABC中,高AD,BE相交于点F,AD=BD,那么△ADC≌
$△ BDF$
,AC=$BF$
.答案
3.$△ BDF$;$BF$
解析
【分析】
解题时首先从已知的高的性质入手，先得到两组直角相等，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AD=BD的等边条件，即可根据全等三角形的判定定理找到与△ADC全等的三角形，再根据全等三角形的性质得到对应边AC的相等边。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∴∠DAC + ∠C = 90°，∠DBF + ∠C = 90°，
∴∠DAC = ∠DBF（同角的余角相等）。
在△ADC和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠BDF \\AD = BD \\∠DAC = ∠DBF\end{array} $
∴△ADC ≌ △BDF（ASA），
根据全等三角形对应边相等，可得AC=BF。
【答案】
$△ BDF$；$BF$
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.全等三角形的性质
3.余角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题核心是通过高的性质推导相等角，结合已知等边判定三角形全等，再利用全等性质得到对应边关系，需要熟练掌握全等判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的高的性质入手，先得到两组直角相等，再利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AD=BD的等边条件，即可根据全等三角形的判定定理找到与△ADC全等的三角形，再根据全等三角形的性质得到对应边AC的相等边。
【解析】
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∴∠DAC + ∠C = 90°，∠DBF + ∠C = 90°，
∴∠DAC = ∠DBF（同角的余角相等）。
在△ADC和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠BDF \\AD = BD \\∠DAC = ∠DBF\end{array} $
∴△ADC ≌ △BDF（ASA），
根据全等三角形对应边相等，可得AC=BF。
【答案】
$△ BDF$；$BF$
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.全等三角形的性质
3.余角的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题核心是通过高的性质推导相等角，结合已知等边判定三角形全等，再利用全等性质得到对应边关系，需要熟练掌握全等判定定理和性质。
【难度系数】
0.7
4.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=3$，$P$，$Q$两点分别在边$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AX$上运动，且$PQ=AB$.要使$△ ABC$和$△ PQA$全等，则$AP=$
8或3
.答案
4.8 或 3
解析
【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，解题时先明确两个三角形均为直角三角形，已知斜边PQ=AB，根据HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等，需分两种对应情况讨论：一是AP与BC对应相等，二是AP与AC对应相等，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵ AX⊥AC，
∴ ∠PAQ=∠C=90°，
∴ △ABC和△PQA都是直角三角形，已知PQ=AB，分两种情况讨论：
① 当AP=BC时：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\BC=AP\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），此时AP=BC=3；
② 当AP=AC时：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\AC=AP\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=8；
综上，AP的值为8或3。
【答案】
8或3
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论思想，全等三角形性质
【点评】
本题是典型的全等三角形分类讨论题型，解题时需注意两个三角形全等时边的对应关系，避免漏解，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题考查直角三角形全等的判定，解题时先明确两个三角形均为直角三角形，已知斜边PQ=AB，根据HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定全等，需分两种对应情况讨论：一是AP与BC对应相等，二是AP与AC对应相等，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵ AX⊥AC，
∴ ∠PAQ=∠C=90°，
∴ △ABC和△PQA都是直角三角形，已知PQ=AB，分两种情况讨论：
① 当AP=BC时：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\BC=AP\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），此时AP=BC=3；
② 当AP=AC时：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\AC=AP\end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），此时AP=AC=8；
综上，AP的值为8或3。
【答案】
8或3
【知识点】
直角三角形全等判定，分类讨论思想，全等三角形性质
【点评】
本题是典型的全等三角形分类讨论题型，解题时需注意两个三角形全等时边的对应关系，避免漏解，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.7
