5.(1)问题情境:如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明).
(2)特例探究:如图②,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证△ABD≌△CAF.
(3)归纳证明:如图③,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE和△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证△ABE≌△CAF.
(4)拓展应用:如图④,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和是多少?

5.(2)证明:$\because CF⊥ AE,BD⊥ AE,∠ MAN=90°$,
$\therefore∠ BDA=∠ AFC=90°$.
$\therefore∠ ABD+∠ BAD=90°,∠ BAD+∠ CAF=90°$.
$\therefore∠ ABD=∠ CAF$.
在$△ ABD$和$△ CAF$中,$\begin{cases} ∠ BDA=∠ AFC,\\ ∠ ABD=∠ CAF,\\ AB=CA, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$.
(3)证明:$\because∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠ 1=∠ BAE+∠ ABE,∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF,∠ 2=∠ ACF+∠ CAF,\therefore∠ ABE=∠ CAF,∠ BAE=∠ ACF$.
在$△ ABE$和$△ CAF$中,$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CAF,\\ AB=CA,\\ ∠ BAE=∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CAF(\mathrm{ASA})$.
(4)解:$\because△ ABC$的面积为15,$CD=2BD$,
$\therefore△ ABD$的面积为$\frac{1}{3}×15=5$.
由(3)知$△ ABE≌△ CAF$,
$\therefore S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=5$.

【分析】
（2）要证明△ABD≌△CAF，先根据垂直定义得到两个直角相等，再结合∠MAN=90°，利用同角的余角相等推出一组锐角相等，结合已知AB=AC，即可用AAS判定全等。
（3）要证明△ABE≌△CAF，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，结合已知∠1=∠2=∠BAC，推导得到两组对应角相等，再结合AB=AC，用ASA即可判定全等。
（4）首先根据CD=2BD，利用等高的三角形面积比等于底边长的比，求出△ABD的面积；再结合（3）的全等结论，将△ACF的面积转化为△ABE的面积，所求两个三角形的面积和就等于△ABD的面积，即可得到结果。
【解析】
(2)证明：$\because CF⊥ AE,BD⊥ AE,∠ MAN=90°$,
$\therefore∠ BDA=∠ AFC=90°$.
$\therefore∠ ABD+∠ BAD=90°,∠ BAD+∠ CAF=90°$.
$\therefore∠ ABD=∠ CAF$.
在$△ ABD$和$△ CAF$中,
$\begin{cases} ∠ BDA=∠ AFC,\\ ∠ ABD=∠ CAF,\\ AB=CA, \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ CAF(\mathrm{AAS})$.
(3)证明：$\because∠ 1=∠ 2=∠ BAC,∠ 1=∠ BAE+∠ ABE,∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF,∠ 2=∠ ACF+∠ CAF$,
$\therefore∠ ABE=∠ CAF,∠ BAE=∠ ACF$.
在$△ ABE$和$△ CAF$中,
$\begin{cases} ∠ ABE=∠ CAF,\\ AB=CA,\\ ∠ BAE=∠ ACF, \end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CAF(\mathrm{ASA})$.
(4)解：$\because△ ABC$的面积为15,$CD=2BD$,△ABD和△ACD高相等，
$\therefore△ ABD$的面积为$\frac{1}{3}×15=5$.
由(3)知$△ ABE≌△ CAF$，$\therefore S_{△ACF}=S_{△ABE}$,
$\therefore S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}=5$.
【答案】
(2)△ABD≌△CAF，证明成立；
(3)△ABE≌△CAF，证明成立；
(4)5
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形全等的递进式探究题，从特殊直角情境到一般角相等情境，逐步引导推导全等结论，最终利用全等性质完成面积转化，考查了逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6