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1.将某工厂出售的户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥，测得圆锥的母线长为30 cm，底面圆的半径为10 cm，则圆锥的侧面积是 （）
A.$100π \ \mathrm{cm}^2$
B.$20\sqrt{2}π \ \mathrm{cm}^2$
C.$300π \ \mathrm{cm}^2$
D.$300 \ \mathrm{cm}^2$
A.$100π \ \mathrm{cm}^2$
B.$20\sqrt{2}π \ \mathrm{cm}^2$
C.$300π \ \mathrm{cm}^2$
D.$300 \ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路如下：首先回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，由此可得圆锥侧面积公式为$S=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）；其次从题干中提取对应数值：底面半径$r=10\mathrm{cm}$，母线长$l=30\mathrm{cm}$；最后将数值代入公式计算，匹配对应选项即可，注意不要漏写结果中的$π$。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$是圆锥底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题可知，$r=10\mathrm{cm}$，$l=30\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×10×30=300π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥与展开扇形的对应关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是准确识别公式中各个参数对应的几何量，计算时注意不要遗漏$π$，避免误选无$π$的错误选项。
【难度系数】
0.9
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路如下：首先回忆圆锥侧面积的计算公式，圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，由此可得圆锥侧面积公式为$S=π rl$（其中$r$为底面圆半径，$l$为母线长）；其次从题干中提取对应数值：底面半径$r=10\mathrm{cm}$，母线长$l=30\mathrm{cm}$；最后将数值代入公式计算，匹配对应选项即可，注意不要漏写结果中的$π$。
【解析】
圆锥的侧面积计算公式为：$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$是圆锥底面圆的半径，$l$是圆锥的母线长。
由题可知，$r=10\mathrm{cm}$，$l=30\mathrm{cm}$，代入公式得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×10×30=300π\ \mathrm{cm}^2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆锥与展开扇形的对应关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题的关键是准确识别公式中各个参数对应的几何量，计算时注意不要遗漏$π$，避免误选无$π$的错误选项。
【难度系数】
0.9
2.如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为$24π$ cm，高为16 cm，则该吊灯外罩的侧面积是（）
A.$252π$ cm²
B.$240π$ cm²
C.$300π$ cm²
D.$384π$ cm²
A.$252π$ cm²
B.$240π$ cm²
C.$300π$ cm²
D.$384π$ cm²
答案
B
解析
【分析】
要计算圆锥形吊灯外罩的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。解题需分三步：第一步根据底面周长求出底面半径$r$；第二步结合圆锥的高，利用勾股定理求出母线长$l$；第三步将$r$和$l$代入侧面积公式计算结果即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
1. 求底面半径：已知底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=24π$，解得$r=12\ \mathrm{cm}$。
2. 求母线长：圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，已知高$h=16\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$得：
$S_{侧}=π×12×20=240π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的常规基础题，核心考查圆锥各参数之间的关联，解题的关键是熟练掌握圆锥底面半径、高、母线的关系以及对应计算公式，计算量小，只要熟记公式即可得分。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥形吊灯外罩的侧面积，首先明确圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长）。解题需分三步：第一步根据底面周长求出底面半径$r$；第二步结合圆锥的高，利用勾股定理求出母线长$l$；第三步将$r$和$l$代入侧面积公式计算结果即可。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r$，母线长为$l$。
1. 求底面半径：已知底面周长为$24π\ \mathrm{cm}$，由圆的周长公式$C=2π r$可得：
$2π r=24π$，解得$r=12\ \mathrm{cm}$。
2. 求母线长：圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，已知高$h=16\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
3. 计算侧面积：代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π rl$得：
$S_{侧}=π×12×20=240π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算、勾股定理、圆的周长计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的常规基础题，核心考查圆锥各参数之间的关联，解题的关键是熟练掌握圆锥底面半径、高、母线的关系以及对应计算公式，计算量小，只要熟记公式即可得分。
【难度系数】
0.7
3.将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为$4π$，圆心角为$90°$，则该圆锥的底面圆的半径为（）
A.1
B.2
C.4
D.$\frac{1}{2}$
A.1
B.2
C.4
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合圆锥侧面展开图的性质分步推导：①首先利用已知的扇形面积和圆心角，通过扇形面积公式求出圆锥的母线长；②再用弧长公式计算出展开扇形的弧长；③最后根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一关系，列方程求出底面圆半径。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $，底面圆的半径为$ r $。
1. 求母线长$ l $：
扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ l^2}{360} $（$ n $为扇形圆心角度数），已知$ S_{\mathrm{扇形}}=4π $，$ n=90° $，代入得：
$\frac{90π l^2}{360}=4π$
约分化简得$ \frac{l^2}{4}=4 $，解得$ l=4 $（长度为正，舍去负解）。
2. 求展开扇形的弧长：
弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $，代入$ n=90° $、$ l=4 $得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{90π × 4}{180}=2π$
3. 求底面圆半径$ r $：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，即$ 2π r = l_{\mathrm{弧}} $，代入弧长得：
$2π r=2π$
解得$ r=1 $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；扇形面积公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的常规题型，解题核心是明确展开扇形与圆锥的两个对应等量关系：扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，牢记对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合圆锥侧面展开图的性质分步推导：①首先利用已知的扇形面积和圆心角，通过扇形面积公式求出圆锥的母线长；②再用弧长公式计算出展开扇形的弧长；③最后根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一关系，列方程求出底面圆半径。
【解析】
设该圆锥的母线长为$ l $，底面圆的半径为$ r $。
1. 求母线长$ l $：
扇形面积公式为$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ l^2}{360} $（$ n $为扇形圆心角度数），已知$ S_{\mathrm{扇形}}=4π $，$ n=90° $，代入得：
$\frac{90π l^2}{360}=4π$
约分化简得$ \frac{l^2}{4}=4 $，解得$ l=4 $（长度为正，舍去负解）。
2. 求展开扇形的弧长：
弧长公式为$ l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180} $，代入$ n=90° $、$ l=4 $得：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{90π × 4}{180}=2π$
3. 求底面圆半径$ r $：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，即$ 2π r = l_{\mathrm{弧}} $，代入弧长得：
$2π r=2π$
解得$ r=1 $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；扇形面积公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥侧面展开相关的常规题型，解题核心是明确展开扇形与圆锥的两个对应等量关系：扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长，牢记对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为$120°$，母线长为30，则该圆锥底面圆的半径为（）
A.91
B.10
C.11
D.12
A.91
B.10
C.11
D.12
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的等量关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先利用弧长公式算出侧面展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程即可求出底面圆半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$r$。
第一步：计算圆锥侧面展开扇形的弧长，已知扇形圆心角$n=120°$，半径（即母线长）$R=30$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π$
第二步：根据“圆锥侧面展开图的弧长=圆锥底面圆周长”，底面圆周长为$2π r$，因此列等式：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥与侧面展开图的关系；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察圆锥和其侧面展开图的对应等量关系，只要熟练掌握弧长公式、圆的周长公式，理清两者的等量关联即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥本身的等量关系：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先利用弧长公式算出侧面展开扇形的弧长，再结合圆的周长公式列方程即可求出底面圆半径。
【解析】
设该圆锥底面圆的半径为$r$。
第一步：计算圆锥侧面展开扇形的弧长，已知扇形圆心角$n=120°$，半径（即母线长）$R=30$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$l=\frac{120π×30}{180}=20π$
第二步：根据“圆锥侧面展开图的弧长=圆锥底面圆周长”，底面圆周长为$2π r$，因此列等式：
$2π r=20π$
两边同时除以$2π$，解得$r=10$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥与侧面展开图的关系；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考察圆锥和其侧面展开图的对应等量关系，只要熟练掌握弧长公式、圆的周长公式，理清两者的等量关联即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,如果从半径为12的圆形纸片(图1)上剪去一个90°的扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(如图2,接缝处不重叠),那么这个圆锥的高是 ()
A.3 cm
B.$4\sqrt{5}$ cm
C.$3\sqrt{7}$ cm
D.10 cm
A.3 cm
B.$4\sqrt{5}$ cm
C.$3\sqrt{7}$ cm
D.10 cm
答案
C
解析
【分析】
解决这道题的核心是理清扇形围成圆锥时的等量关系：①留下的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②原来圆形纸片的半径等于圆锥的母线长。解题步骤可分为三步：第一步先求出留下扇形的圆心角，再计算其弧长；第二步利用弧长等于底面周长求出圆锥底面半径；第三步结合母线长和底面半径，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
1. 计算留下扇形的圆心角：原来圆形的圆心角为$360°$，剪去$90°$的扇形，故剩余扇形圆心角为$360° - 90° = 270°$。
2. 计算留下扇形的弧长：已知原圆半径$R=12\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得弧长$l=\frac{270×π×12}{180}=18π$。
3. 求圆锥底面半径：扇形弧长等于圆锥底面周长，设底面半径为$r$，则$2π r=18π$，解得$r=9\ \mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥的高：圆锥的母线长等于原圆半径$12\ \mathrm{cm}$，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得高$h=\sqrt{12^2 - 9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆锥和扇形的关系，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，解题的关键是牢记扇形围成圆锥时的两个对应等量关系，再结合勾股定理即可快速求解，需要注意不要混淆扇形半径和圆锥底面半径的概念。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是理清扇形围成圆锥时的等量关系：①留下的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；②原来圆形纸片的半径等于圆锥的母线长。解题步骤可分为三步：第一步先求出留下扇形的圆心角，再计算其弧长；第二步利用弧长等于底面周长求出圆锥底面半径；第三步结合母线长和底面半径，用勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
1. 计算留下扇形的圆心角：原来圆形的圆心角为$360°$，剪去$90°$的扇形，故剩余扇形圆心角为$360° - 90° = 270°$。
2. 计算留下扇形的弧长：已知原圆半径$R=12\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得弧长$l=\frac{270×π×12}{180}=18π$。
3. 求圆锥底面半径：扇形弧长等于圆锥底面周长，设底面半径为$r$，则$2π r=18π$，解得$r=9\ \mathrm{cm}$。
4. 计算圆锥的高：圆锥的母线长等于原圆半径$12\ \mathrm{cm}$，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得高$h=\sqrt{12^2 - 9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆锥和扇形的关系，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的典型基础题，解题的关键是牢记扇形围成圆锥时的两个对应等量关系，再结合勾股定理即可快速求解，需要注意不要混淆扇形半径和圆锥底面半径的概念。
【难度系数】
0.7
6.如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径$MN=6$，圆心角$∠ MNB=120°$，
则此圆锥的高$ON=$（）
A.$6\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}$
则此圆锥的高$ON=$（）
A.$6\sqrt{2}$
B.$5\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：①扇形的半径等于圆锥的母线长；②扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先利用弧长公式计算扇形的弧长，第二步用弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，第三步在圆锥的高、底面半径、母线构成的直角三角形中，用勾股定理计算高即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=MN=6$：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面半径为$r$，则$2π r=4π$，解得$r=OB=2$。
已知圆锥的母线长$NB=6$，且$ON⊥$底面，故$△ ONB$为直角三角形，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{NB^2 - OB^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，结合勾股定理即可求解，要熟练掌握圆锥和展开图各部分的对应关系，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：①扇形的半径等于圆锥的母线长；②扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先利用弧长公式计算扇形的弧长，第二步用弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，第三步在圆锥的高、底面半径、母线构成的直角三角形中，用勾股定理计算高即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，其中圆心角$n=120°$，扇形半径$R=MN=6$：
$l=\frac{120π×6}{180}=4π$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设底面半径为$r$，则$2π r=4π$，解得$r=OB=2$。
已知圆锥的母线长$NB=6$，且$ON⊥$底面，故$△ ONB$为直角三角形，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{NB^2 - OB^2}=\sqrt{6^2 - 2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题核心是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一核心等量关系，结合勾股定理即可求解，要熟练掌握圆锥和展开图各部分的对应关系，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7
