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7.一个圆锥的母线长是底面半径的3倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$180°$
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$180°$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以通过设未知数，利用这两个等量关系列方程求解圆心角。首先设圆锥底面半径为r，即可得到母线长，再结合弧长公式和底面周长公式建立等式，约掉公共参数后就能算出圆心角度数。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $，则母线长$ l = 3r $，设侧面展开图的圆心角为$ n° $。
根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，可得：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ l=3r $代入上式：
$\frac{nπ · 3r}{180} = 2π r$
两边同时约去$ π r $（$ r≠0 $），化简得：
$\frac{3n}{180}=2$
解得：$ n=120 $
即该圆锥侧面展开图的圆心角是$ 120° $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题的核心是抓住圆锥和侧面展开扇形的对应等量关系，只要掌握展开图中弧长与底面周长、半径与母线长的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确圆锥侧面展开图的性质：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以通过设未知数，利用这两个等量关系列方程求解圆心角。首先设圆锥底面半径为r，即可得到母线长，再结合弧长公式和底面周长公式建立等式，约掉公共参数后就能算出圆心角度数。
【解析】
设圆锥的底面半径为$ r $，则母线长$ l = 3r $，设侧面展开图的圆心角为$ n° $。
根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，可得：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ l=3r $代入上式：
$\frac{nπ · 3r}{180} = 2π r$
两边同时约去$ π r $（$ r≠0 $），化简得：
$\frac{3n}{180}=2$
解得：$ n=120 $
即该圆锥侧面展开图的圆心角是$ 120° $。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；弧长计算公式；圆的周长公式
【点评】
本题是圆锥相关的基础常考题，解题的核心是抓住圆锥和侧面展开扇形的对应等量关系，只要掌握展开图中弧长与底面周长、半径与母线长的对应关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8.圆锥底面圆的半径为2，全面积为12π，则其侧面展开图的圆心角为 （）
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
A.90°
B.120°
C.150°
D.180°
答案
D
解析
【分析】
解题时先从圆锥全面积的构成入手，圆锥全面积=底面积+侧面积。第一步先根据底面半径求出底面积，结合已知的全面积计算出侧面积；再利用圆锥侧面积公式求出母线长；最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的性质，结合弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
首先计算圆锥底面积：
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$
已知全面积为$12π$，因此侧面积为：
$S_{\mathrm{侧}}=S_{\mathrm{全}}-S_{\mathrm{底}}=12π-4π=8π$
设圆锥母线长为$l$，根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入$r=2$，$S_{\mathrm{侧}}=8π$得：
$π×2× l=8π$，解得$l=4$
圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$L=2π r=4π$，扇形半径等于母线长$l=4$。
设圆心角为$n°$，根据弧长公式$L=\frac{nπ l}{180}$，代入数据得：
$4π=\frac{nπ×4}{180}$
约去$4π$后解得$n=180$，即圆心角为$180°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥全面积构成，圆锥侧面积计算，弧长公式
【点评】
本题是圆锥相关性质的基础应用题型，解题核心是掌握圆锥底面与侧面展开扇形各量之间的对应关系，熟练记忆相关公式即可顺利求解，是该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从圆锥全面积的构成入手，圆锥全面积=底面积+侧面积。第一步先根据底面半径求出底面积，结合已知的全面积计算出侧面积；再利用圆锥侧面积公式求出母线长；最后根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的性质，结合弧长公式即可求出侧面展开图的圆心角度数。
【解析】
首先计算圆锥底面积：
$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$
已知全面积为$12π$，因此侧面积为：
$S_{\mathrm{侧}}=S_{\mathrm{全}}-S_{\mathrm{底}}=12π-4π=8π$
设圆锥母线长为$l$，根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入$r=2$，$S_{\mathrm{侧}}=8π$得：
$π×2× l=8π$，解得$l=4$
圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$L=2π r=4π$，扇形半径等于母线长$l=4$。
设圆心角为$n°$，根据弧长公式$L=\frac{nπ l}{180}$，代入数据得：
$4π=\frac{nπ×4}{180}$
约去$4π$后解得$n=180$，即圆心角为$180°$。
【答案】
D
【知识点】
圆锥全面积构成，圆锥侧面积计算，弧长公式
【点评】
本题是圆锥相关性质的基础应用题型，解题核心是掌握圆锥底面与侧面展开扇形各量之间的对应关系，熟练记忆相关公式即可顺利求解，是该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12 cm,AD=6 cm,在矩形中剪下一个扇形ABE和一个圆形,若以剪下的扇形为侧面,剪下的圆形为底面,恰好可以围成一个圆锥的表面,则围成的圆锥的底面圆半径为 cm.
答案
解：在矩形ABCD中，∠DAB=∠D=90°，AD=6 cm，扇形ABE的半径AE=AB=12 cm。
在Rt△ADE中，$AD=6$，$AE=12$，$\cos∠ DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，因此$∠ DAE=60°$，可得$∠ EAB=90°-60°=30°$。
扇形ABE的弧长为：
$l=\frac{30π×12}{180}=2π\ \mathrm{cm}$
设围成的圆锥的底面圆半径为$r$，由圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，得：
$2π r=2π$
解得$r=1$。
$\boldsymbol{1}$
在Rt△ADE中，$AD=6$，$AE=12$，$\cos∠ DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，因此$∠ DAE=60°$，可得$∠ EAB=90°-60°=30°$。
扇形ABE的弧长为：
$l=\frac{30π×12}{180}=2π\ \mathrm{cm}$
设围成的圆锥的底面圆半径为$r$，由圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，得：
$2π r=2π$
解得$r=1$。
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心关系。解题可按三步开展：第一步先求扇形ABE的圆心角，结合矩形的直角性质和已知边长，通过直角三角形的边角关系算出∠EAB的度数；第二步用弧长公式计算扇形ABE的弧长；第三步根据弧长等于底面圆周长列方程，求解底面圆半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB=∠D=90°，
∵ 扇形ABE的半径为AB，即$AE=AB=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=6\ \mathrm{cm}$，$AE=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\cos∠DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠DAE=60°$，
∴ $∠EAB=∠DAB - ∠DAE=90°-60°=30°$，
则扇形ABE的弧长为：
$l=\frac{nπR}{180}=\frac{30π×12}{180}=2π\ \mathrm{cm}$，
设圆锥的底面圆半径为$r$，根据圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
$2πr = l = 2π$，
解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题是弧长公式与圆锥性质结合的典型题型，解题的关键是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一等量关系，同时需要结合矩形和直角三角形的性质求出扇形圆心角，侧重对基础公式和几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长这一核心关系。解题可按三步开展：第一步先求扇形ABE的圆心角，结合矩形的直角性质和已知边长，通过直角三角形的边角关系算出∠EAB的度数；第二步用弧长公式计算扇形ABE的弧长；第三步根据弧长等于底面圆周长列方程，求解底面圆半径。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB=∠D=90°，
∵ 扇形ABE的半径为AB，即$AE=AB=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=6\ \mathrm{cm}$，$AE=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $\cos∠DAE=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠DAE=60°$，
∴ $∠EAB=∠DAB - ∠DAE=90°-60°=30°$，
则扇形ABE的弧长为：
$l=\frac{nπR}{180}=\frac{30π×12}{180}=2π\ \mathrm{cm}$，
设圆锥的底面圆半径为$r$，根据圆锥底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
$2πr = l = 2π$，
解得$r=1$。
【答案】
1
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，直角三角形边角关系
【点评】
本题是弧长公式与圆锥性质结合的典型题型，解题的关键是抓住“扇形弧长等于圆锥底面周长”这一等量关系，同时需要结合矩形和直角三角形的性质求出扇形圆心角，侧重对基础公式和几何性质的综合应用。
【难度系数】
0.7
10.如图，元旦晚会上，小刚用一张半径为25 cm的扇形纸板做了一个如图所示的圆锥侧面(接缝忽略不计)，用作小丑帽子.如果这个圆锥的底面圆的半径为10 cm，那么这张扇形纸板的圆心角应为度.
答案
$\boldsymbol{144}$
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。首先计算圆锥底面圆的周长得到扇形的弧长，再将弧长、扇形半径代入弧长公式，即可求解圆心角的度数。
【解析】
解：首先计算圆锥底面圆的周长，该周长等于扇形的弧长：
$l = C_{\mathrm{底面圆}} = 2π r = 2π × 10 = 20π \ (\mathrm{cm})$
设扇形纸板的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$R$为扇形半径，本题$R=25\ \mathrm{cm}$），代入已知量：
$20π = \frac{nπ × 25}{180}$
两边同时约去$π$，整理得：
$25n = 20× 180$
解得$n=144$
【答案】
$144$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题是几何基础应用题，解题关键是抓住圆锥和侧面展开扇形的等量关系，牢记相关公式即可顺利求解，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。首先计算圆锥底面圆的周长得到扇形的弧长，再将弧长、扇形半径代入弧长公式，即可求解圆心角的度数。
【解析】
解：首先计算圆锥底面圆的周长，该周长等于扇形的弧长：
$l = C_{\mathrm{底面圆}} = 2π r = 2π × 10 = 20π \ (\mathrm{cm})$
设扇形纸板的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$R$为扇形半径，本题$R=25\ \mathrm{cm}$），代入已知量：
$20π = \frac{nπ × 25}{180}$
两边同时约去$π$，整理得：
$25n = 20× 180$
解得$n=144$
【答案】
$144$
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长公式，圆的周长计算
【点评】
本题是几何基础应用题，解题关键是抓住圆锥和侧面展开扇形的等量关系，牢记相关公式即可顺利求解，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.7
11.《九章算术》书中记载着屋内墙角处放谷堆的数学问题:墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一(如图),谷堆底部的半径为4尺,谷堆的高为3尺,需要用布盖住谷堆,那么所需的布的面积至少是平方尺.(结果用含π的式子表示)
答案
$\boldsymbol{5π}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确所需布的面积是四分之一圆锥的曲面侧面积（两个平面侧面靠墙、底面接触地面，均无需覆盖）。解题步骤如下：①先利用勾股定理求出圆锥的母线长；②根据圆锥侧面积公式计算完整圆锥的侧面积；③取侧面积的四分之一即可得到结果。
【解析】
解：已知该四分之一圆锥的底面半径$r=4$尺，高$h=3$尺。
1. 求圆锥的母线长$l$：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$（尺）
2. 计算完整圆锥的侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{全侧}}=π r l$，代入数据得：
$S_{\mathrm{全侧}}=π×4×5=20π$（平方尺）
3. 计算四分之一圆锥的侧面积：
因为谷堆是$\frac{1}{4}$个圆锥，所以所需布的面积为：
$S=\frac{1}{4}S_{\mathrm{全侧}}=\frac{1}{4}×20π=5π$（平方尺）
【答案】
$5π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题结合古代数学场景考查几何体表面积的实际应用，解题时需先明确所求面积对应的几何体部分，再结合相关公式计算，避免多算不必要的面的面积。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确所需布的面积是四分之一圆锥的曲面侧面积（两个平面侧面靠墙、底面接触地面，均无需覆盖）。解题步骤如下：①先利用勾股定理求出圆锥的母线长；②根据圆锥侧面积公式计算完整圆锥的侧面积；③取侧面积的四分之一即可得到结果。
【解析】
解：已知该四分之一圆锥的底面半径$r=4$尺，高$h=3$尺。
1. 求圆锥的母线长$l$：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$（尺）
2. 计算完整圆锥的侧面积：
圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{全侧}}=π r l$，代入数据得：
$S_{\mathrm{全侧}}=π×4×5=20π$（平方尺）
3. 计算四分之一圆锥的侧面积：
因为谷堆是$\frac{1}{4}$个圆锥，所以所需布的面积为：
$S=\frac{1}{4}S_{\mathrm{全侧}}=\frac{1}{4}×20π=5π$（平方尺）
【答案】
$5π$
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，扇形面积计算
【点评】
本题结合古代数学场景考查几何体表面积的实际应用，解题时需先明确所求面积对应的几何体部分，再结合相关公式计算，避免多算不必要的面的面积。
【难度系数】
0.7
12.如图，圆锥底面圆的直径BC长为4 cm，母线AC长为6 cm，一只蚂蚁在圆锥侧面从B点爬到AC的中点D，爬行的最短路径长是 cm.
答案
解：
将圆锥的侧面沿母线AC展开，得到对应扇形。
圆锥底面圆直径BC=4 cm，因此底面圆周长为：
$l = π · BC = 4π \ \mathrm{cm}$
设展开后扇形的圆心角为$n°$，母线长$R=AC=6\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$\frac{nπ · 6}{180}=4π$
解得$n=120$，即展开后完整扇形的圆心角为$120°$。
由于点B是底面圆直径的另一端点，展开后点B为扇形对应弧的中点，因此$∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
已知D是AC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，因此$AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$。
在$△ ABD$中，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=3\ \mathrm{cm}$，$∠ BAD=60°$：
过B作$BH⊥ AC$于H，在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$AH=AB· \cos60°=6× \frac{1}{2}=3\ \mathrm{cm}$，即H与D重合，$△ ABD$为直角三角形。
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答：爬行的最短路径长是$3\sqrt{3}$ cm。
将圆锥的侧面沿母线AC展开，得到对应扇形。
圆锥底面圆直径BC=4 cm，因此底面圆周长为：
$l = π · BC = 4π \ \mathrm{cm}$
设展开后扇形的圆心角为$n°$，母线长$R=AC=6\ \mathrm{cm}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入得：
$\frac{nπ · 6}{180}=4π$
解得$n=120$，即展开后完整扇形的圆心角为$120°$。
由于点B是底面圆直径的另一端点，展开后点B为扇形对应弧的中点，因此$∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
已知D是AC的中点，$AC=6\ \mathrm{cm}$，因此$AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$。
在$△ ABD$中，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=3\ \mathrm{cm}$，$∠ BAD=60°$：
过B作$BH⊥ AC$于H，在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$AH=AB· \cos60°=6× \frac{1}{2}=3\ \mathrm{cm}$，即H与D重合，$△ ABD$为直角三角形。
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答：爬行的最短路径长是$3\sqrt{3}$ cm。
解析
【分析】
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。第一步，将圆锥侧面沿母线展开为扇形，把蚂蚁的爬行路径转化为平面上两点间的线段；第二步，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；第三步，确定展开图中点B、D的位置及相关边长、夹角，再利用三角形的相关性质计算线段BD的长度，所得结果就是最短路径长。
【解析】
将圆锥的侧面沿母线AC展开，得到对应扇形。
∵ 圆锥底面圆直径BC=4 cm，
∴ 底面圆周长为 $ l = π · BC = 4π \ \mathrm{cm} $。
设展开后扇形的圆心角为$ n° $，母线长$ R=AC=6\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，代入得：
$ \frac{nπ · 6}{180}=4π $
解得$ n=120 $，即展开后完整扇形的圆心角为$ 120° $。
∵ 点B是底面圆直径的另一端点，展开后点B为扇形对应弧的中点，
∴ $ ∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60° $。
∵ D是AC的中点，$ AC=6\ \mathrm{cm} $，
∴ $ AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm} $。
在$ △ ABD $中，$ AB=6\ \mathrm{cm} $，$ AD=3\ \mathrm{cm} $，$ ∠ BAD=60° $：
过B作$ BH ⊥ AC $于H，在$ \mathrm{Rt}△ ABH $中，$ AH=AB· \cos60°=6× \frac{1}{2}=3\ \mathrm{cm} $，即H与D重合，$ △ ABD $为直角三角形。
由勾股定理得：
$ BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 3\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型题型，解题的关键是将立体曲面问题转化为平面几何问题，求解时要准确找到展开后各点的对应位置和角度关系，结合相关几何公式计算即可。
【难度系数】
0.6
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，核心思路是将曲面转化为平面，利用“两点之间线段最短”求解。第一步，将圆锥侧面沿母线展开为扇形，把蚂蚁的爬行路径转化为平面上两点间的线段；第二步，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，计算出扇形的圆心角；第三步，确定展开图中点B、D的位置及相关边长、夹角，再利用三角形的相关性质计算线段BD的长度，所得结果就是最短路径长。
【解析】
将圆锥的侧面沿母线AC展开，得到对应扇形。
∵ 圆锥底面圆直径BC=4 cm，
∴ 底面圆周长为 $ l = π · BC = 4π \ \mathrm{cm} $。
设展开后扇形的圆心角为$ n° $，母线长$ R=AC=6\ \mathrm{cm} $，根据弧长公式$ l=\frac{nπ R}{180} $，代入得：
$ \frac{nπ · 6}{180}=4π $
解得$ n=120 $，即展开后完整扇形的圆心角为$ 120° $。
∵ 点B是底面圆直径的另一端点，展开后点B为扇形对应弧的中点，
∴ $ ∠ BAC = \frac{1}{2} × 120° = 60° $。
∵ D是AC的中点，$ AC=6\ \mathrm{cm} $，
∴ $ AD=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm} $。
在$ △ ABD $中，$ AB=6\ \mathrm{cm} $，$ AD=3\ \mathrm{cm} $，$ ∠ BAD=60° $：
过B作$ BH ⊥ AC $于H，在$ \mathrm{Rt}△ ABH $中，$ AH=AB· \cos60°=6× \frac{1}{2}=3\ \mathrm{cm} $，即H与D重合，$ △ ABD $为直角三角形。
由勾股定理得：
$ BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 3\sqrt{3} $
【知识点】
圆锥侧面展开图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题是曲面最短路径的典型题型，解题的关键是将立体曲面问题转化为平面几何问题，求解时要准确找到展开后各点的对应位置和角度关系，结合相关几何公式计算即可。
【难度系数】
0.6
