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13.如图在半径为3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为$60°$的扇形（图中的阴影部分）。
(1)求这个扇形的半径；
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径。
(1)求这个扇形的半径；
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径。
答案
解：
(1) 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
由题意可知，点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°，
∵ AB=AC，OD⊥AB，OA=3，
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，AD=BD，
在Rt△AOD中，$AD = OA·\cos30° = 3×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB = 2AD = 3\sqrt{3}$，
即这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$。
(2) 设所围成圆锥的底面圆半径为r，
由弧长公式得扇形的弧长：$l = \frac{60π × 3\sqrt{3}}{180} = \sqrt{3}π$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长，
∴ $2π r = \sqrt{3}π$，
解得 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(1) 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
由题意可知，点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°，
∵ AB=AC，OD⊥AB，OA=3，
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，AD=BD，
在Rt△AOD中，$AD = OA·\cos30° = 3×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB = 2AD = 3\sqrt{3}$，
即这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$。
(2) 设所围成圆锥的底面圆半径为r，
由弧长公式得扇形的弧长：$l = \frac{60π × 3\sqrt{3}}{180} = \sqrt{3}π$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长，
∴ $2π r = \sqrt{3}π$，
解得 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 所求扇形的半径即为AB的长度。已知点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°且AB=AC，首先连接OA，过点O作OD⊥AB，由对称性可知OA平分∠BAC，可得∠OAD=30°，再结合垂径定理和三角函数求出AD的长度，进而求出AB即扇形的半径；
(2) 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式列方程，即可求解底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
由题意可知，点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°，
∵ AB=AC，OD⊥AB，OA=3，
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，AD=BD，
在Rt△AOD中，$AD = OA·\cos30° = 3×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB = 2AD = 3\sqrt{3}$，
即这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$。
(2) 设所围成圆锥的底面圆半径为r，
由弧长公式得扇形的弧长：$l = \frac{60π × 3\sqrt{3}}{180} = \sqrt{3}π$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长，
∴ $2π r = \sqrt{3}π$，
解得 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理、弧长公式、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆的性质、三角函数和圆锥计算的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线求解扇形半径，同时牢记圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长这一核心等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 所求扇形的半径即为AB的长度。已知点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°且AB=AC，首先连接OA，过点O作OD⊥AB，由对称性可知OA平分∠BAC，可得∠OAD=30°，再结合垂径定理和三角函数求出AD的长度，进而求出AB即扇形的半径；
(2) 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆的周长公式列方程，即可求解底面圆的半径。
【解析】
(1) 连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
由题意可知，点A、B、C都在半径为3的⊙O上，∠BAC=60°，
∵ AB=AC，OD⊥AB，OA=3，
∴ ∠OAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°，AD=BD，
在Rt△AOD中，$AD = OA·\cos30° = 3×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AB = 2AD = 3\sqrt{3}$，
即这个扇形的半径为$3\sqrt{3}$。
(2) 设所围成圆锥的底面圆半径为r，
由弧长公式得扇形的弧长：$l = \frac{60π × 3\sqrt{3}}{180} = \sqrt{3}π$，
∵ 圆锥底面圆的周长等于对应侧面扇形的弧长，
∴ $2π r = \sqrt{3}π$，
解得 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所围成圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$；(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理、弧长公式、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆的性质、三角函数和圆锥计算的相关知识，解题的关键是正确作出辅助线求解扇形半径，同时牢记圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长这一核心等量关系。
【难度系数】
0.7
14.综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图甲所示：
1.一张直径为10 cm的圆形滤纸；
2.一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,直接写出滤纸围成的圆锥形的侧面积.(结果保留π)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图甲所示：
1.一张直径为10 cm的圆形滤纸；
2.一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图乙所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明；
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,直接写出滤纸围成的圆锥形的侧面积.(结果保留π)
答案
解：(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意可知，直径为10 cm的圆形滤纸按步骤折叠撑开后，围成的圆锥的侧面展开图是半径为5 cm，圆心角为180°的扇形。
该圆锥的底面周长为：
$l_1=\frac{180π × 5}{180}=5π\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长为7 cm，漏斗口直径为7 cm，则漏斗的底面周长为：
$l_2=7π\ \mathrm{cm}$。
设漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ × 7}{180}=7π$，
解得$n=180$。
由此可得，滤纸围成的圆锥与漏斗的侧面展开图的圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长5 cm ＜ 漏斗的母线长7 cm，因此滤纸能完全紧贴漏斗内壁。
(2) 滤纸围成的圆锥形的侧面积为$\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知，直径为10 cm的圆形滤纸按步骤折叠撑开后，围成的圆锥的侧面展开图是半径为5 cm，圆心角为180°的扇形。
该圆锥的底面周长为：
$l_1=\frac{180π × 5}{180}=5π\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长为7 cm，漏斗口直径为7 cm，则漏斗的底面周长为：
$l_2=7π\ \mathrm{cm}$。
设漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式得：
$\frac{nπ × 7}{180}=7π$，
解得$n=180$。
由此可得，滤纸围成的圆锥与漏斗的侧面展开图的圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长5 cm ＜ 漏斗的母线长7 cm，因此滤纸能完全紧贴漏斗内壁。
(2) 滤纸围成的圆锥形的侧面积为$\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解决本题第一问的核心是对比滤纸围成的圆锥和漏斗的侧面展开图的圆心角是否一致：①先分析滤纸的参数：直径10cm的圆形滤纸，半径为5cm，按步骤折叠撑开后，其侧面展开图是圆心角180°、半径（即圆锥母线长）为5cm的扇形，先计算该扇形的弧长；②再分析漏斗的参数：已知漏斗母线长7cm，底面直径7cm，先算出漏斗底面周长（即其侧面展开图的弧长），再用弧长公式反推漏斗侧面展开图的圆心角；③若两个圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长小于漏斗母线长，即可紧贴。第二问求滤纸圆锥的侧面积，直接计算其侧面展开扇形的面积即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意可知，直径为10 cm的圆形滤纸按步骤折叠撑开后，围成的圆锥的侧面展开图是半径为5 cm，圆心角为$180°$的扇形。
该圆锥的底面周长（即扇形弧长）为：
$l_1=\frac{180π × 5}{180}=5π\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长为7 cm，漏斗口直径为7 cm，则漏斗的底面周长为：
$l_2=π d=7π\ \mathrm{cm}$。
设漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$\frac{nπ × 7}{180}=7π$，
解得$n=180$。
由此可得，滤纸围成的圆锥与漏斗的侧面展开图的圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长5 cm ＜ 漏斗的母线长7 cm，因此滤纸能完全紧贴漏斗内壁。
(2) 滤纸围成的圆锥形的侧面积等于其侧面展开扇形的面积，代入扇形面积公式得：
$S=\frac{180π × 5^2}{360}=\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 能，理由见解析；(2) $\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长的计算，扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于侧面展开扇形的半径，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题第一问的核心是对比滤纸围成的圆锥和漏斗的侧面展开图的圆心角是否一致：①先分析滤纸的参数：直径10cm的圆形滤纸，半径为5cm，按步骤折叠撑开后，其侧面展开图是圆心角180°、半径（即圆锥母线长）为5cm的扇形，先计算该扇形的弧长；②再分析漏斗的参数：已知漏斗母线长7cm，底面直径7cm，先算出漏斗底面周长（即其侧面展开图的弧长），再用弧长公式反推漏斗侧面展开图的圆心角；③若两个圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长小于漏斗母线长，即可紧贴。第二问求滤纸圆锥的侧面积，直接计算其侧面展开扇形的面积即可。
【解析】
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下：
由题意可知，直径为10 cm的圆形滤纸按步骤折叠撑开后，围成的圆锥的侧面展开图是半径为5 cm，圆心角为$180°$的扇形。
该圆锥的底面周长（即扇形弧长）为：
$l_1=\frac{180π × 5}{180}=5π\ \mathrm{cm}$。
已知圆锥形漏斗的母线长为7 cm，漏斗口直径为7 cm，则漏斗的底面周长为：
$l_2=π d=7π\ \mathrm{cm}$。
设漏斗的侧面展开图的圆心角为$n°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$得：
$\frac{nπ × 7}{180}=7π$，
解得$n=180$。
由此可得，滤纸围成的圆锥与漏斗的侧面展开图的圆心角相等，且滤纸圆锥的母线长5 cm ＜ 漏斗的母线长7 cm，因此滤纸能完全紧贴漏斗内壁。
(2) 滤纸围成的圆锥形的侧面积等于其侧面展开扇形的面积，代入扇形面积公式得：
$S=\frac{180π × 5^2}{360}=\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
(1) 能，理由见解析；(2) $\frac{25}{2}π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
弧长的计算，扇形面积的计算，圆锥的侧面展开图
【点评】
本题结合生活实际场景考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题关键是明确圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长等于侧面展开扇形的半径，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.6
