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14.园林美化工程项目改造
背景
管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图
素材
绘制设计
根据矩形门洞画出矩形ABCD，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则点A，B，C，D在以点O为圆心，AC为直径的圆上
操作测量
经测量，知矩形ABCD的宽为1.8 m，高AB为2.4 m，对角线AC为3 m
任务
(1)圆弧形门洞的半径是；
(2)求圆弧形门洞的拱高；
(3)若∠ACB＝53°，请计算改造后门洞扩大的面积(阴影部分的面积)，结果保留π
背景
管理部门计划将某公园园林内的矩形门洞改造成圆弧形门洞，如图
素材
绘制设计
根据矩形门洞画出矩形ABCD，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则点A，B，C，D在以点O为圆心，AC为直径的圆上
操作测量
经测量，知矩形ABCD的宽为1.8 m，高AB为2.4 m，对角线AC为3 m
任务
(1)圆弧形门洞的半径是；
(2)求圆弧形门洞的拱高；
(3)若∠ACB＝53°，请计算改造后门洞扩大的面积(阴影部分的面积)，结果保留π
答案
解：
(1) 由题意可知，圆弧形门洞所在圆的直径为$AC=3\ \mathrm{m}$，
因此半径为$\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$。
故答案为：$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB⊥ BC$，$AB// OH$，
又$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 圆弧形门洞的拱高为$OH + r=1.2+1.5=2.7\ \mathrm{m}$。
(3) $\because OB=OC$，$∠ ACB=53°$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=53°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×53°=74°$。
弦$BC$下方的弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{74π×1.5^2}{360}-\dfrac{1}{2}×1.8×1.2=\dfrac{37π}{80}-1.08$，
地面以上圆的总面积为：
$S_{\mathrm{地面以上圆部分}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{弓形}}=π×1.5^2-(\dfrac{37π}{80}-1.08)=\dfrac{143π}{80}+1.08$，
矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2.4×1.8=4.32\ \mathrm{m}^2$，
$\therefore$ 改造后门洞扩大的面积为：
$S_{\mathrm{扩大}}=\dfrac{143π}{80}+1.08-4.32=(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
答：改造后门洞扩大的面积为$(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
(1) 由题意可知，圆弧形门洞所在圆的直径为$AC=3\ \mathrm{m}$，
因此半径为$\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$。
故答案为：$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB⊥ BC$，$AB// OH$，
又$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 圆弧形门洞的拱高为$OH + r=1.2+1.5=2.7\ \mathrm{m}$。
(3) $\because OB=OC$，$∠ ACB=53°$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=53°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×53°=74°$。
弦$BC$下方的弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{74π×1.5^2}{360}-\dfrac{1}{2}×1.8×1.2=\dfrac{37π}{80}-1.08$，
地面以上圆的总面积为：
$S_{\mathrm{地面以上圆部分}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{弓形}}=π×1.5^2-(\dfrac{37π}{80}-1.08)=\dfrac{143π}{80}+1.08$，
矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2.4×1.8=4.32\ \mathrm{m}^2$，
$\therefore$ 改造后门洞扩大的面积为：
$S_{\mathrm{扩大}}=\dfrac{143π}{80}+1.08-4.32=(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
答：改造后门洞扩大的面积为$(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 第一问根据题干明确给出AC为圆的直径，已知AC长度，结合半径是直径的一半，直接计算即可得到结果。
(2) 拱高是圆弧最高点到边BC的距离，先过圆心O作BC的垂线OH，利用矩形对边垂直的性质和三角形中位线定理求出OH的长度，再加上圆的半径即可得到拱高。
(3) 求扩大的阴影面积时，先根据等腰三角形内角和求出圆心角∠BOC的度数，计算出BC下方弓形的面积（扇形BOC面积减去△BOC面积）；再用整圆面积减去该弓形面积得到地面以上圆部分的面积，最后减去原矩形的面积，即为门洞扩大的面积。
【解析】
(1) 由题意可知，圆弧形门洞所在圆的直径为$AC=3\ \mathrm{m}$，因此半径为$\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB⊥ BC$，$AB// OH$，
又$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 圆弧形门洞的拱高为$OH + r=1.2+1.5=2.7\ \mathrm{m}$。
(3) $\because OB=OC$，$∠ ACB=53°$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=53°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×53°=74°$。
弦$BC$下方的弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{74π×1.5^2}{360}-\dfrac{1}{2}×1.8×1.2=\dfrac{37π}{80}-1.08$，
地面以上圆的总面积为：
$S_{\mathrm{地面以上圆部分}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{弓形}}=π×1.5^2-(\dfrac{37π}{80}-1.08)=\dfrac{143π}{80}+1.08$，
矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2.4×1.8=4.32\ \mathrm{m}^2$，
$\therefore$ 改造后门洞扩大的面积为：
$S_{\mathrm{扩大}}=\dfrac{143π}{80}+1.08-4.32=(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$
(2) 圆弧形门洞的拱高为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$
(3) 改造后门洞扩大的面积为$\boldsymbol{(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
圆的基本性质，三角形中位线定理，扇形面积计算
【点评】
本题结合实际改造场景，将生活问题转化为几何计算问题，综合考查了圆、矩形、扇形、弓形的相关性质和面积计算方法，要求考生理清各图形的面积关系，逐步推导，能够有效提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问根据题干明确给出AC为圆的直径，已知AC长度，结合半径是直径的一半，直接计算即可得到结果。
(2) 拱高是圆弧最高点到边BC的距离，先过圆心O作BC的垂线OH，利用矩形对边垂直的性质和三角形中位线定理求出OH的长度，再加上圆的半径即可得到拱高。
(3) 求扩大的阴影面积时，先根据等腰三角形内角和求出圆心角∠BOC的度数，计算出BC下方弓形的面积（扇形BOC面积减去△BOC面积）；再用整圆面积减去该弓形面积得到地面以上圆部分的面积，最后减去原矩形的面积，即为门洞扩大的面积。
【解析】
(1) 由题意可知，圆弧形门洞所在圆的直径为$AC=3\ \mathrm{m}$，因此半径为$\dfrac{AC}{2}=\dfrac{3}{2}=1.5\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$O$作$OH⊥ BC$于点$H$，
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB⊥ BC$，$AB// OH$，
又$\because O$是$AC$的中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}×2.4=1.2\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 圆弧形门洞的拱高为$OH + r=1.2+1.5=2.7\ \mathrm{m}$。
(3) $\because OB=OC$，$∠ ACB=53°$，
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=53°$，
$\therefore ∠ BOC=180°-2×53°=74°$。
弦$BC$下方的弓形面积为：
$S_{\mathrm{弓形}}=S_{\mathrm{扇形}BOC}-S_{△ BOC}=\dfrac{74π×1.5^2}{360}-\dfrac{1}{2}×1.8×1.2=\dfrac{37π}{80}-1.08$，
地面以上圆的总面积为：
$S_{\mathrm{地面以上圆部分}}=S_{\odot O}-S_{\mathrm{弓形}}=π×1.5^2-(\dfrac{37π}{80}-1.08)=\dfrac{143π}{80}+1.08$，
矩形$ABCD$的面积为：
$S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB× BC=2.4×1.8=4.32\ \mathrm{m}^2$，
$\therefore$ 改造后门洞扩大的面积为：
$S_{\mathrm{扩大}}=\dfrac{143π}{80}+1.08-4.32=(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$
(2) 圆弧形门洞的拱高为$\boldsymbol{2.7\ \mathrm{m}}$
(3) 改造后门洞扩大的面积为$\boldsymbol{(\dfrac{143π}{80}-3.24)\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
圆的基本性质，三角形中位线定理，扇形面积计算
【点评】
本题结合实际改造场景，将生活问题转化为几何计算问题，综合考查了圆、矩形、扇形、弓形的相关性质和面积计算方法，要求考生理清各图形的面积关系，逐步推导，能够有效提升知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
