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8.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别以点$B$,$C$为圆心,$BC$的长为半径画弧,与$BA$,$CA$的延长线分别交于点$D$,$E$.若$BC=4$,则图中阴影部分的面积为 ()
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
D
解析
【分析】
首先根据△ABC是等腰直角三角形，可得出∠B=∠C=45°。观察图形可知，阴影部分的面积等于两个圆心角为45°、半径为4的扇形面积之和，减去2倍的△ABC的面积。先分别计算扇形面积和△ABC的面积，再通过面积和差计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=45°，
∵ BC=4，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$，
∵ 扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
∴ 单个扇形的面积为 $S_{\mathrm{扇形}}=\frac{45°}{360°} × π r^2 = \frac{1}{8} × π × 4^2 = 2π$，
两个扇形的面积和为 $2 × 2π = 4π$，
∴ 阴影部分面积 = 两个扇形面积和 - $2S_{△ ABC}$ = $4π - 2 × 4 = 4π - 8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题的关键是将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差，掌握扇形面积公式和等腰直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先根据△ABC是等腰直角三角形，可得出∠B=∠C=45°。观察图形可知，阴影部分的面积等于两个圆心角为45°、半径为4的扇形面积之和，减去2倍的△ABC的面积。先分别计算扇形面积和△ABC的面积，再通过面积和差计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=45°，
∵ BC=4，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$，
∵ 扇形的圆心角为45°，半径$r=BC=4$，
∴ 单个扇形的面积为 $S_{\mathrm{扇形}}=\frac{45°}{360°} × π r^2 = \frac{1}{8} × π × 4^2 = 2π$，
两个扇形的面积和为 $2 × 2π = 4π$，
∴ 阴影部分面积 = 两个扇形面积和 - $2S_{△ ABC}$ = $4π - 2 × 4 = 4π - 8$。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形的性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，解题的关键是将不规则的阴影面积转化为规则的扇形、三角形面积的和差，掌握扇形面积公式和等腰直角三角形的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
9.如图，北京市某处A位于北纬$40°$(即$∠ AOC=40°$)，东经$116°$，三沙市海域某处B位于北纬$15°$(即$∠ BOC=15°$)，东经$116°$.设地球的半径为$R$ km，则在东经$116°$所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长为（）
A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$1π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
A.$\frac{5}{72}π R$ km
B.$1π R$ km
C.$\frac{5}{36}π R$ km
D.$\frac{2}{9}π R$ km
答案
C
解析
【分析】
首先明确A、B两点经度相同，位于同一经线圈上，两点对应的地心夹角为两地的纬度差；先求出该圆心角的度数，再代入弧长计算公式，即可求出两点间的劣弧长。
【解析】
已知A点对应∠AOC=40°，B点对应∠BOC=15°，则A、B两点的地心夹角（圆心角）为：
$∠ AOB = 40° - 15° = 25°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），将$n=25$、半径为$R$代入得：
$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36}\ \mathrm{km}$
【答案】
C
【知识点】
1. 弧长计算
2. 圆心角确定
【点评】
本题结合经纬线场景考查弧长公式的应用，解题核心是准确找到两点对应的圆心角度数，再代入公式计算，难度不大，注重对基础公式和实际场景转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先明确A、B两点经度相同，位于同一经线圈上，两点对应的地心夹角为两地的纬度差；先求出该圆心角的度数，再代入弧长计算公式，即可求出两点间的劣弧长。
【解析】
已知A点对应∠AOC=40°，B点对应∠BOC=15°，则A、B两点的地心夹角（圆心角）为：
$∠ AOB = 40° - 15° = 25°$
根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为圆的半径），将$n=25$、半径为$R$代入得：
$l=\frac{25π R}{180}=\frac{5π R}{36}\ \mathrm{km}$
【答案】
C
【知识点】
1. 弧长计算
2. 圆心角确定
【点评】
本题结合经纬线场景考查弧长公式的应用，解题核心是准确找到两点对应的圆心角度数，再代入公式计算，难度不大，注重对基础公式和实际场景转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
10.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=45°.若⊙O的半径为2，则劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长为.
答案
$π$
解析
【分析】
要求劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已知$\odot O$的半径$R=2$，因此只需先求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。已知圆周角$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出对应圆心角，再代入弧长公式就能得到结果。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
$\because ∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
$\therefore$根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
已知$\odot O$的半径$R=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式计算，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求劣弧$\overset{\frown}{BC}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径）。题目已知$\odot O$的半径$R=2$，因此只需先求出劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角度数即可。已知圆周角$∠ BAC=45°$，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出对应圆心角，再代入弧长公式就能得到结果。
【解析】
连接$OB$、$OC$。
$\because ∠ BAC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$∠ BOC$是劣弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角
$\therefore$根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$
已知$\odot O$的半径$R=2$，代入弧长公式：
$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×2}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
圆周角定理；弧长的计算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用圆周角定理求出待求弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式计算，熟练掌握相关定理和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图，$\odot O$的半径为1，A，B，C是$\odot O$上的三个点。若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为。
答案
解：
连接OB。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=1。
∵ 四边形OABC为平行四边形，且OA=OC，
∴ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO=1。
又∵ OB=1，
∴ OA=AB=OB=1，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，即$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$。
因此阴影部分的面积可转化为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{△ ABO} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=1$：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
$\frac{π}{6}$
连接OB。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=1。
∵ 四边形OABC为平行四边形，且OA=OC，
∴ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO=1。
又∵ OB=1，
∴ OA=AB=OB=1，
∴ △OAB是等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，即$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$。
因此阴影部分的面积可转化为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{△ ABO} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入$n=60$，$r=1$：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
$\frac{π}{6}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察阴影为不规则图形，优先考虑用割补法转化为规则图形的面积计算。首先结合已知条件：⊙O半径为1，因此OA=OC=1，四边形OABC是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，可得菱形四边均等于半径；再连接OB，OB也是半径，可证△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB=60°；再根据菱形对边平行，可知AB//OC，因此△ABC和△ABO同底等高，面积相等，即可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OB。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=OB=1。
∵ 四边形OABC为平行四边形，且OA=OC，
∴ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO=1，AB//OC。
又
∵ OB=1，
∴ OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$。
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{△ ABO} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
菱形的判定与性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题的关键是结合平行四边形和圆的性质，通过面积转化将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察阴影为不规则图形，优先考虑用割补法转化为规则图形的面积计算。首先结合已知条件：⊙O半径为1，因此OA=OC=1，四边形OABC是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，可得菱形四边均等于半径；再连接OB，OB也是半径，可证△OAB是等边三角形，得到圆心角∠AOB=60°；再根据菱形对边平行，可知AB//OC，因此△ABC和△ABO同底等高，面积相等，即可将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OB。
∵ ⊙O的半径为1，
∴ OA=OC=OB=1。
∵ 四边形OABC为平行四边形，且OA=OC，
∴ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB=BC=CO=1，AB//OC。
又
∵ OB=1，
∴ OA=AB=OB=1，即△OAB为等边三角形，
∴ ∠AOB=60°。
∵ AB//OC，
∴ △ABC与△ABO同底等高，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}$。
因此阴影部分面积可转化为：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ABC} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{△ ABO} + S_{\mathrm{弓形}AB}=S_{\mathrm{扇形}OAB}$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=60，r=1：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】
$\frac{π}{6}$
【知识点】
菱形的判定与性质，扇形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题的关键是结合平行四边形和圆的性质，通过面积转化将不规则的阴影面积转化为规则的扇形面积，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
12.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为$120°$的扇形，则图中阴影部分的面积为.
答案
$\boldsymbol{\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积 = 扇形面积 - 扇形与正六边形重叠部分的面积。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为360°÷6=60°，因此中心与相邻两个顶点构成的三角形是等边三角形。接下来分别计算扇形面积和重叠部分的面积，作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形面积：
已知扇形的圆心角为120°，半径$r=AB=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$
2. 计算重叠部分的面积：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=OF=AB=4$，因此$△ OAB$和$△ OAF$均为边长为4的等边三角形。
单个等边三角形的面积为$S_{等边}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，代入$a=4$得单个面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
重叠部分由2个等边三角形组成，因此重叠部分面积$S_{重叠}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{重叠}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，正六边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题主要考查组合图形的面积计算，解题关键是利用正六边形的性质将重叠部分转化为熟悉的等边三角形面积求解，熟记特殊图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积 = 扇形面积 - 扇形与正六边形重叠部分的面积。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，相邻顶点与中心的夹角（中心角）为360°÷6=60°，因此中心与相邻两个顶点构成的三角形是等边三角形。接下来分别计算扇形面积和重叠部分的面积，作差即可得到结果。
【解析】
1. 计算扇形面积：
已知扇形的圆心角为120°，半径$r=AB=4$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形}=\frac{120π×4^2}{360}=\frac{16π}{3}$
2. 计算重叠部分的面积：
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=OF=AB=4$，因此$△ OAB$和$△ OAF$均为边长为4的等边三角形。
单个等边三角形的面积为$S_{等边}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，代入$a=4$得单个面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}$。
重叠部分由2个等边三角形组成，因此重叠部分面积$S_{重叠}=2×4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$。
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{重叠}=\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{16π}{3}-8\sqrt{3}$
【知识点】
扇形面积计算，正六边形的性质，等边三角形面积计算
【点评】
本题主要考查组合图形的面积计算，解题关键是利用正六边形的性质将重叠部分转化为熟悉的等边三角形面积求解，熟记特殊图形的面积公式是解题的基础。
【难度系数】
0.6
13.如图,在△ABC中,AC=BC ,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E.
(1)如图1,连接DE,求∠ADE的度数;
(2)如图2,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
(1)如图1,连接DE,求∠ADE的度数;
(2)如图2,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.
答案
解：
(1) 连接BD，OD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，
∴ D是AC的中点。
又∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOE=90°。
∵ ∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}×90° = 45°$。
(2) ∵ D为AC的中点，AC=6，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = 3。
由(1)知BD⊥AC，
∴ BD垂直平分AC，
∴ AB=BC。
又∵ AC=BC，
∴ AC=BC=AB=6，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △AOD是等边三角形，∠AOD=60°。
又∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
由弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长 $l = \frac{30π × 3}{180} = \frac{π}{2}$。
答：$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}$。
(1) 连接BD，OD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，
∴ D是AC的中点。
又∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOE=90°。
∵ ∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}×90° = 45°$。
(2) ∵ D为AC的中点，AC=6，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = 3。
由(1)知BD⊥AC，
∴ BD垂直平分AC，
∴ AB=BC。
又∵ AC=BC，
∴ AC=BC=AB=6，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △AOD是等边三角形，∠AOD=60°。
又∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
由弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长 $l = \frac{30π × 3}{180} = \frac{π}{2}$。
答：$\overset{\frown}{DE}$的长为$\frac{π}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要求∠ADE的度数，结合圆周角定理，可先求该角所对弧对应的圆心角度数。首先根据等腰三角形三线合一性质，由AC=BC、O为AB中点可得OC⊥AB，即弧AE对应的圆心角∠AOE=90°，再结合圆周角与圆心角的关系即可求出∠ADE；解题时可先连接BD、OD，通过直径所对圆周角为直角、三角形中位线性质辅助推导。
(2) 要求弧DE的长，需先确定弧DE对应的圆心角度数和圆的半径。首先由D为AC中点、BD⊥AC可得AB=BC，结合AC=BC推出△ABC为等边三角形，进而得到圆的半径长度和∠AOD的度数，再结合∠AOE=90°求出∠DOE的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接BD，OD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，
∴ D是AC的中点。
又
∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOE=90°。
∵ ∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}×90° = 45°$。
(2)
∵ D为AC的中点，AC=6，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = 3。
由(1)知BD⊥AC，
∴ BD垂直平分AC，
∴ AB=BC。
又
∵ AC=BC，
∴ AC=BC=AB=6，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △AOD是等边三角形，∠AOD=60°。
又
∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
由弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长 $l = \frac{30π × 3}{180} = \frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；(2) $\boxed{\frac{π}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的基本性质、等腰和等边三角形的相关性质以及弧长的计算，解题关键是正确作出辅助线，结合已知条件推导出圆心角和半径的数值，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠ADE的度数，结合圆周角定理，可先求该角所对弧对应的圆心角度数。首先根据等腰三角形三线合一性质，由AC=BC、O为AB中点可得OC⊥AB，即弧AE对应的圆心角∠AOE=90°，再结合圆周角与圆心角的关系即可求出∠ADE；解题时可先连接BD、OD，通过直径所对圆周角为直角、三角形中位线性质辅助推导。
(2) 要求弧DE的长，需先确定弧DE对应的圆心角度数和圆的半径。首先由D为AC中点、BD⊥AC可得AB=BC，结合AC=BC推出△ABC为等边三角形，进而得到圆的半径长度和∠AOD的度数，再结合∠AOE=90°求出∠DOE的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
(1) 连接BD，OD。
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，
∴ D是AC的中点。
又
∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线。
∵ AC=BC，OA=OB，
∴ OC⊥AB，即∠AOE=90°。
∵ ∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}×90° = 45°$。
(2)
∵ D为AC的中点，AC=6，
∴ AD = $\frac{1}{2}$AC = 3。
由(1)知BD⊥AC，
∴ BD垂直平分AC，
∴ AB=BC。
又
∵ AC=BC，
∴ AC=BC=AB=6，即△ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △AOD是等边三角形，∠AOD=60°。
又
∵ ∠AOE=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOE - ∠AOD = 90° - 60° = 30°。
由弧长公式得：
$\overset{\frown}{DE}$的长 $l = \frac{30π × 3}{180} = \frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$；(2) $\boxed{\frac{π}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形性质，弧长计算
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆的基本性质、等腰和等边三角形的相关性质以及弧长的计算，解题关键是正确作出辅助线，结合已知条件推导出圆心角和半径的数值，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
