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1.已知$y=(a-1)x^a$是反比例函数，则它的图象在(
A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
C
).A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第二、第四象限
D.第三、第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此我们需要先根据这个特征求出参数$a$的值，再计算比例系数的正负，最后根据反比例函数的图象性质判断其所在象限。
【解析】
解：
∵$y=(a-1)x^a$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}a=-1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
解得$a=-1$，将$a=-1$代入系数得：$a-1=-1-1=-2＜0$
根据反比例函数的性质：当比例系数$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限，因此该函数图象在第二、第四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题核心是先依据反比例函数的形式特征确定参数取值，再结合比例系数的正负判断图象位置，熟练掌握反比例函数的定义和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此我们需要先根据这个特征求出参数$a$的值，再计算比例系数的正负，最后根据反比例函数的图象性质判断其所在象限。
【解析】
解：
∵$y=(a-1)x^a$是反比例函数
∴根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}a=-1 \\ a-1≠0 \end{cases}$
解得$a=-1$，将$a=-1$代入系数得：$a-1=-1-1=-2＜0$
根据反比例函数的性质：当比例系数$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限，因此该函数图象在第二、第四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础考查题，解题核心是先依据反比例函数的形式特征确定参数取值，再结合比例系数的正负判断图象位置，熟练掌握反比例函数的定义和性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过正方形的顶点A，则k的值是（
A.2
B.－2
C.4
D.－4
D
）。A.2
B.－2
C.4
D.－4
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先需要确定顶点A的坐标：正方形ABOC在第二象限，边长为2，因此点A的横坐标为负、纵坐标为正，结合边长可直接写出A点坐标；再将A点坐标代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
∵ 正方形ABOC的边长为2，且点A位于第二象限，
∴ 点A的横坐标为$-2$，纵坐标为$2$，即$A(-2,2)$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴ 将$x=-2$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{-2}$，
解得：$k=2×(-2)=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数待定系数法，正方形的性质，象限点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数解析式的求解，解题的核心是正确得到第二象限内点A的坐标，计算时要注意横坐标的符号，避免因符号疏忽得到错误结果。
【难度系数】
0.75
解题时首先需要确定顶点A的坐标：正方形ABOC在第二象限，边长为2，因此点A的横坐标为负、纵坐标为正，结合边长可直接写出A点坐标；再将A点坐标代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值，计算时注意符号不要出错。
【解析】
∵ 正方形ABOC的边长为2，且点A位于第二象限，
∴ 点A的横坐标为$-2$，纵坐标为$2$，即$A(-2,2)$。
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点A，
∴ 将$x=-2$，$y=2$代入解析式得：$2=\frac{k}{-2}$，
解得：$k=2×(-2)=-4$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数待定系数法，正方形的性质，象限点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数解析式的求解，解题的核心是正确得到第二象限内点A的坐标，计算时要注意横坐标的符号，避免因符号疏忽得到错误结果。
【难度系数】
0.75
3.如图,反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为
4
.答案
3.4
解析
【分析】
我们可以通过设坐标的方法求解：首先根据矩形的特征表示出各顶点的坐标，再利用中点的性质得到AB边中点D的坐标，最后将D点坐标代入反比例函数解析式，推导得到矩形相邻两边的乘积，也就是矩形的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），点C的坐标为$(0,b)$（$b＞0$）。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ 点B的坐标为$(a,b)$，矩形OABC的面积$S=OA· OC=ab$。
∵ D是AB的中点，AB边横坐标均为$a$，纵坐标从$0$到$b$，
∴ D点坐标为$(a, \frac{b}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过点D，
∴ 将$(a, \frac{b}{2})$代入解析式得：$\frac{b}{2}=\frac{2}{a}$，
整理得$ab=4$，即矩形OABC的面积为4。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的面积计算，中点坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题的关键是建立反比例函数上点的坐标与矩形边长的关系，通过代入解析式即可快速求出结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设坐标的方法求解：首先根据矩形的特征表示出各顶点的坐标，再利用中点的性质得到AB边中点D的坐标，最后将D点坐标代入反比例函数解析式，推导得到矩形相邻两边的乘积，也就是矩形的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a,0)$（$a＞0$），点C的坐标为$(0,b)$（$b＞0$）。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ 点B的坐标为$(a,b)$，矩形OABC的面积$S=OA· OC=ab$。
∵ D是AB的中点，AB边横坐标均为$a$，纵坐标从$0$到$b$，
∴ D点坐标为$(a, \frac{b}{2})$。
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象经过点D，
∴ 将$(a, \frac{b}{2})$代入解析式得：$\frac{b}{2}=\frac{2}{a}$，
整理得$ab=4$，即矩形OABC的面积为4。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的面积计算，中点坐标特征
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础题，解题的关键是建立反比例函数上点的坐标与矩形边长的关系，通过代入解析式即可快速求出结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4.对于函数$y=\frac{2}{x}$，当函数值$y＜-1$时，自变量$x$的取值范围是
$-2＜x＜0$
。答案
4.$-2＜x＜0$
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图像位于第一、三象限，第一象限内$y＞0$，第三象限内$y＜0$。本题要求$y＜-1$，因此只需考虑第三象限的函数分支，可先确定$x＜0$；再求出$y=-1$时对应的$x$值，结合第三象限内$y$随$x$增大而减小的性质，即可推导出自变量$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴ 函数图像分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，其中第一象限内$y＞0$，第三象限内$y＜0$。
∵ $y＜-1＜0$，
∴ 此时自变量$x$对应第三象限的图像，即$x＜0$。
当$y=-1$时，代入函数得$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$。
∵ 第三象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴ 当$y＜-1$时，$x＞-2$，
结合$x＜0$，可得自变量$x$的取值范围是$-2＜x＜0$。
【答案】
$-2＜x＜0$
【知识点】
1.反比例函数的图像与性质
2.不等式的基本性质
3.函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题的核心是先结合反比例函数的象限分布确定$x$的符号，避免忽略不等号方向改变导致出错，借助函数图像分析能更直观快速得到结果。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图像位于第一、三象限，第一象限内$y＞0$，第三象限内$y＜0$。本题要求$y＜-1$，因此只需考虑第三象限的函数分支，可先确定$x＜0$；再求出$y=-1$时对应的$x$值，结合第三象限内$y$随$x$增大而减小的性质，即可推导出自变量$x$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴ 函数图像分布在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，其中第一象限内$y＞0$，第三象限内$y＜0$。
∵ $y＜-1＜0$，
∴ 此时自变量$x$对应第三象限的图像，即$x＜0$。
当$y=-1$时，代入函数得$-1=\frac{2}{x}$，解得$x=-2$。
∵ 第三象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴ 当$y＜-1$时，$x＞-2$，
结合$x＜0$，可得自变量$x$的取值范围是$-2＜x＜0$。
【答案】
$-2＜x＜0$
【知识点】
1.反比例函数的图像与性质
2.不等式的基本性质
3.函数值与自变量的对应关系
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题的核心是先结合反比例函数的象限分布确定$x$的符号，避免忽略不等号方向改变导致出错，借助函数图像分析能更直观快速得到结果。
【难度系数】
0.7
5.如图,由反比例函数$y=\frac{m-5}{x}(x＞0)$的图象可知常数$m$的取值范围是
$m＞5$
.答案
5.$m＞5$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限。观察本题图象，$x＞0$时图象在第一象限，说明比例系数为正，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$，其比例系数为$k=m-5$。
由图象可知，当$x＞0$时，函数图象位于第一象限，因此比例系数$k＞0$，即：
$m-5＞0$
解该不等式，移项得$m＞5$。
【答案】
$m＞5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的比例系数与图象所在象限的对应关系，熟练掌握反比例函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：当$k＞0$时，函数图象的两支分别位于第一、第三象限；当$k＜0$时，函数图象的两支分别位于第二、第四象限。观察本题图象，$x＞0$时图象在第一象限，说明比例系数为正，据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{m-5}{x}$，其比例系数为$k=m-5$。
由图象可知，当$x＞0$时，函数图象位于第一象限，因此比例系数$k＞0$，即：
$m-5＞0$
解该不等式，移项得$m＞5$。
【答案】
$m＞5$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的比例系数与图象所在象限的对应关系，熟练掌握反比例函数的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，则函数$y = kx$与函数$y = \frac{2}{x}$的图象交点个数为(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
6.A
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程无实数根的判定条件，即判别式Δ＜0，计算得出参数k的取值范围；第二步，要求两个函数图象的交点个数，需联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的方程，再结合k的取值范围判断该方程是否有实数解，实数解的个数即为交点个数，注意反比例函数的自变量x不为0。
【解析】
1. 求k的取值范围：
已知一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程无实根。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×1×(1-k) = 4 - 4(1-k) = 4k ＜ 0$
解得$k ＜ 0$。
2. 判断两个函数的交点个数：
联立函数解析式$\begin{cases}y = kx \\ y = \frac{2}{x}\end{cases}$，将$y=kx$代入$y=\frac{2}{x}$得：
$kx = \frac{2}{x}$
两边同乘$x$（$x≠0$，符合反比例函数自变量取值要求），整理得$kx^2 = 2$，即$x^2 = \frac{2}{k}$。
因为$k＜0$，所以$\frac{2}{k}＜0$，而实数范围内$x^2≥0$，不存在满足等式的实数x，因此两个函数图象没有交点。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；函数图象交点求解；不等式的性质
【点评】
本题综合考查方程与函数的相关基础知识，解题关键是先通过方程根的情况确定参数范围，再联立函数解析式判断解的存在性，注重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程无实数根的判定条件，即判别式Δ＜0，计算得出参数k的取值范围；第二步，要求两个函数图象的交点个数，需联立两个函数的解析式，消去y得到关于x的方程，再结合k的取值范围判断该方程是否有实数解，实数解的个数即为交点个数，注意反比例函数的自变量x不为0。
【解析】
1. 求k的取值范围：
已知一元二次方程$x^2 + 2x + 1 - k = 0$无实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时方程无实根。
本题中$a=1$，$b=2$，$c=1-k$，代入得：
$\Delta=2^2 - 4×1×(1-k) = 4 - 4(1-k) = 4k ＜ 0$
解得$k ＜ 0$。
2. 判断两个函数的交点个数：
联立函数解析式$\begin{cases}y = kx \\ y = \frac{2}{x}\end{cases}$，将$y=kx$代入$y=\frac{2}{x}$得：
$kx = \frac{2}{x}$
两边同乘$x$（$x≠0$，符合反比例函数自变量取值要求），整理得$kx^2 = 2$，即$x^2 = \frac{2}{k}$。
因为$k＜0$，所以$\frac{2}{k}＜0$，而实数范围内$x^2≥0$，不存在满足等式的实数x，因此两个函数图象没有交点。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；函数图象交点求解；不等式的性质
【点评】
本题综合考查方程与函数的相关基础知识，解题关键是先通过方程根的情况确定参数范围，再联立函数解析式判断解的存在性，注重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
7. 
，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点B在点A的右侧，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则$k=$
，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点B在点A的右侧，延长AB交x轴于点C，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则$k=$8
。答案
7.8
提示:用同一自变量表示点A和点C的坐标.
提示:用同一自变量表示点A和点C的坐标.
解析
【分析】
要解决本题，可通过设点坐标结合相关性质建立等式求解：1. 先设点A坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）、点C坐标为$(c,0)$（$c＞0$），利用中点坐标公式表示出AC中点B的坐标；2. 由于B在反比例函数图象上，将B坐标代入反比例函数解析式，可得到c与a的数量关系；3. 结合△AOC的面积为12，利用三角形面积公式代入已知关系，即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$），点C的坐标为$(c,0)$（$c＞0$）。
∵B是AC的中点，根据中点坐标公式，点B的坐标为$(\frac{a+c}{2},\frac{k}{2a})$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此横纵坐标的乘积等于k，即：
$\frac{a+c}{2} × \frac{k}{2a} = k$
由于$k≠0$，两边同时除以k，化简得：$\frac{a+c}{4a}=1$，解得$c=3a$。
又
∵$△ AOC$的面积为12，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × 点A的纵坐标$，代入得：
$\frac{1}{2} × c × \frac{k}{a} = 12$
将$c=3a$代入上式，约去a后得：$\frac{3k}{2} = 12$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质；中点坐标公式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型综合题，解题核心是通过设参数表示点坐标，结合反比例函数上点的坐标特征、中点性质和面积公式建立等式求解，参数在运算中可直接约去，无需求出具体值，考查了学生的代数运算和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，可通过设点坐标结合相关性质建立等式求解：1. 先设点A坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$）、点C坐标为$(c,0)$（$c＞0$），利用中点坐标公式表示出AC中点B的坐标；2. 由于B在反比例函数图象上，将B坐标代入反比例函数解析式，可得到c与a的数量关系；3. 结合△AOC的面积为12，利用三角形面积公式代入已知关系，即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$（$a＞0$），点C的坐标为$(c,0)$（$c＞0$）。
∵B是AC的中点，根据中点坐标公式，点B的坐标为$(\frac{a+c}{2},\frac{k}{2a})$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此横纵坐标的乘积等于k，即：
$\frac{a+c}{2} × \frac{k}{2a} = k$
由于$k≠0$，两边同时除以k，化简得：$\frac{a+c}{4a}=1$，解得$c=3a$。
又
∵$△ AOC$的面积为12，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × 点A的纵坐标$，代入得：
$\frac{1}{2} × c × \frac{k}{a} = 12$
将$c=3a$代入上式，约去a后得：$\frac{3k}{2} = 12$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质；中点坐标公式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的典型综合题，解题核心是通过设参数表示点坐标，结合反比例函数上点的坐标特征、中点性质和面积公式建立等式求解，参数在运算中可直接约去，无需求出具体值，考查了学生的代数运算和数形结合能力。
【难度系数】
0.6
