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1.将抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，所得抛物线的函数解析式是（
A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
C
）。A.$y=x^2 -1$
B.$y=x^2 +1$
C.$y=(x-1)^2$
D.$y=(x+1)^2$
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二次函数图象的平移规律，平移分为水平平移（左右）和竖直平移（上下）两类，不同平移类型的操作对象不同：左右平移仅针对自变量x操作，遵循“左加右减”的规则；上下平移针对函数整体的常数项操作，遵循“上加下减”的规则。本题是向右水平平移，因此只需对x进行“减平移单位”的变换即可，解题时要注意区分平移规则的适用场景，不要混淆左右和上下平移的操作。
【解析】
根据二次函数图象的平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。
本题中抛物线原解析式为$y=x^2$，平移方式为向右平移1个单位长度，属于水平平移，仅需将原式中的自变量$x$替换为$x-1$，因此平移后所得抛物线的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
对比选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式变换
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查对函数图象平移规则的理解与应用，解题时需注意左右平移是对自变量x进行变换，不要误将向右平移记为x加平移单位，也不要和上下平移的操作混淆。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二次函数图象的平移规律，平移分为水平平移（左右）和竖直平移（上下）两类，不同平移类型的操作对象不同：左右平移仅针对自变量x操作，遵循“左加右减”的规则；上下平移针对函数整体的常数项操作，遵循“上加下减”的规则。本题是向右水平平移，因此只需对x进行“减平移单位”的变换即可，解题时要注意区分平移规则的适用场景，不要混淆左右和上下平移的操作。
【解析】
根据二次函数图象的平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”。
本题中抛物线原解析式为$y=x^2$，平移方式为向右平移1个单位长度，属于水平平移，仅需将原式中的自变量$x$替换为$x-1$，因此平移后所得抛物线的函数解析式为$y=(x-1)^2$。
对比选项，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式变换
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查对函数图象平移规则的理解与应用，解题时需注意左右平移是对自变量x进行变换，不要误将向右平移记为x加平移单位，也不要和上下平移的操作混淆。
【难度系数】
0.8
2.在平面直角坐标系中，将二次函数$y=2x^2$的图象沿直线$x=1$翻折，所得图象对应的函数解析式为(
A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
C
).A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
答案
2.C
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是：二次函数图象翻折时，开口方向和大小不变，因此二次项系数a保持不变，只需要求出原函数顶点翻折后的对称点坐标，即可用顶点式写出新的函数解析式。首先先确定原二次函数的顶点坐标，再根据点关于直线x=1对称的规律求出对称后的顶点坐标，最后代入顶点式就能得到结果。
【解析】
步骤1：确定原二次函数的顶点坐标
二次函数$y=2x^2$是顶点式的特殊形式，其顶点坐标为$(0,0)$，二次项系数$a=2$。
步骤2：求顶点关于直线$x=1$的对称点
关于直线$x=1$对称的两个点，纵坐标相等，横坐标的中点在直线$x=1$上。设对称后的顶点横坐标为$h$，则$\frac{0+h}{2}=1$，解得$h=2$，因此翻折后的顶点坐标为$(2,0)$。
步骤3：写出翻折后的函数解析式
翻折不改变二次项系数，因此新的二次函数解析式用顶点式表示为$y=2(x-2)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，翻折的性质，坐标对称变换
【点评】
本题考查二次函数图象的翻折变换，解题关键是抓住翻折前后二次项系数不变的特点，通过顶点的对称变换快速确定新函数的解析式，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心思路是：二次函数图象翻折时，开口方向和大小不变，因此二次项系数a保持不变，只需要求出原函数顶点翻折后的对称点坐标，即可用顶点式写出新的函数解析式。首先先确定原二次函数的顶点坐标，再根据点关于直线x=1对称的规律求出对称后的顶点坐标，最后代入顶点式就能得到结果。
【解析】
步骤1：确定原二次函数的顶点坐标
二次函数$y=2x^2$是顶点式的特殊形式，其顶点坐标为$(0,0)$，二次项系数$a=2$。
步骤2：求顶点关于直线$x=1$的对称点
关于直线$x=1$对称的两个点，纵坐标相等，横坐标的中点在直线$x=1$上。设对称后的顶点横坐标为$h$，则$\frac{0+h}{2}=1$，解得$h=2$，因此翻折后的顶点坐标为$(2,0)$。
步骤3：写出翻折后的函数解析式
翻折不改变二次项系数，因此新的二次函数解析式用顶点式表示为$y=2(x-2)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，翻折的性质，坐标对称变换
【点评】
本题考查二次函数图象的翻折变换，解题关键是抓住翻折前后二次项系数不变的特点，通过顶点的对称变换快速确定新函数的解析式，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
3.请写出一个对称轴为直线 $ x=2 $ 的二次函数解析式
$y=-(x-2)^2$(答案不唯一)
.答案
3.$y=-(x-2)^2$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$。要满足对称轴为$x=2$，只需让顶点式中$h=2$即可，再给$a$（不为0）、$k$选取简单的数值代入，就能快速得到符合要求的解析式。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a、h、k$为常数），该形式下二次函数的对称轴为直线$x=h$。
已知要求对称轴为直线$x=2$，因此取$h=2$，我们选取简单的参数：令$a=-1$，$k=0$，代入顶点式可得解析式为$y=-(x-2)^2$。
只要满足$h=2$、$a≠0$的二次函数解析式均符合要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-(x-2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴性质
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查二次函数对称轴与解析式的对应关系，熟悉顶点式的结构即可快速作答，解题时注意二次项系数不能为0。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=h$。要满足对称轴为$x=2$，只需让顶点式中$h=2$即可，再给$a$（不为0）、$k$选取简单的数值代入，就能快速得到符合要求的解析式。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$a、h、k$为常数），该形式下二次函数的对称轴为直线$x=h$。
已知要求对称轴为直线$x=2$，因此取$h=2$，我们选取简单的参数：令$a=-1$，$k=0$，代入顶点式可得解析式为$y=-(x-2)^2$。
只要满足$h=2$、$a≠0$的二次函数解析式均符合要求，答案不唯一。
【答案】
$y=-(x-2)^2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数对称轴性质
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查二次函数对称轴与解析式的对应关系，熟悉顶点式的结构即可快速作答，解题时注意二次项系数不能为0。
【难度系数】
0.9
4.把二次函数$y=a(x-4)^2$的图象向右平移6个单位长度后得到函数$y=-3(x-h)^2$的图象，则$a=$
$-3$
，$h=$$10$
。答案
4.$-3$ $10$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：①首先明确二次函数图象平移时，仅改变图象位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变，可直接确定a的值；②再根据函数图象平移“左加右减”的规律，计算平移后的顶点式，与已知平移后的解析式对比即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：
二次函数图象平移过程中，图象的形状、开口方向均不发生改变，因此二次项系数a保持不变。
已知平移后函数解析式为$y=-3(x-h)^2$，因此$a=-3$。
2. 求h的值：
根据函数图象水平平移的“左加右减”规则：将函数图象向右平移n个单位时，将原解析式中的x替换为$(x-n)$。
原函数为$y=a(x-4)^2$，向右平移6个单位后，解析式变为：
$y=a[(x-6)-4]^2=a(x-10)^2$
已知平移后解析式为$y=-3(x-h)^2$，对比可得$h=10$。
【答案】
$-3$；$10$
【知识点】
二次函数平移性质；函数图象平移“左加右减”规律
【点评】
本题考查二次函数图象平移的基础应用，解题核心是明确平移不改变二次项系数，熟练掌握水平平移的坐标变换规则即可顺利求解，是二次函数性质部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：①首先明确二次函数图象平移时，仅改变图象位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变，可直接确定a的值；②再根据函数图象平移“左加右减”的规律，计算平移后的顶点式，与已知平移后的解析式对比即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：
二次函数图象平移过程中，图象的形状、开口方向均不发生改变，因此二次项系数a保持不变。
已知平移后函数解析式为$y=-3(x-h)^2$，因此$a=-3$。
2. 求h的值：
根据函数图象水平平移的“左加右减”规则：将函数图象向右平移n个单位时，将原解析式中的x替换为$(x-n)$。
原函数为$y=a(x-4)^2$，向右平移6个单位后，解析式变为：
$y=a[(x-6)-4]^2=a(x-10)^2$
已知平移后解析式为$y=-3(x-h)^2$，对比可得$h=10$。
【答案】
$-3$；$10$
【知识点】
二次函数平移性质；函数图象平移“左加右减”规律
【点评】
本题考查二次函数图象平移的基础应用，解题核心是明确平移不改变二次项系数，熟练掌握水平平移的坐标变换规则即可顺利求解，是二次函数性质部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
5.在同一平面直角坐标系中画出二次函数 $y=2(x-1)^2$ 与 $y=2(x+1)^2$ 的图象.
答案
解：
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
选取合适的自变量$x$的值，分别计算两个函数对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到二次函数$y=2(x-1)^2$与$y=2(x+1)^2$的图象。
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
选取合适的自变量$x$的值，分别计算两个函数对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到二次函数$y=2(x-1)^2$与$y=2(x+1)^2$的图象。
解析
【分析】
绘制函数图象的通用方法是描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题中的两个函数都是二次函数的顶点式，可先确定各自的顶点、对称轴，选取自变量$x$时围绕对称轴对称取值，能简化函数值的计算，也能保证画出的图象对称规范，最后在同一坐标系中分别完成两个函数的描点、连线即可。
【解析】
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
围绕两个函数的对称轴选取合适的自变量$x$的值，分别计算对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到两个二次函数的图象，作图时可用不同线型或颜色区分两个函数的图象。
【答案】
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
选取合适的自变量$x$的值，分别计算两个函数对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到二次函数$y=2(x-1)^2$与$y=2(x+1)^2$的图象。
【知识点】
描点法作图，二次函数顶点式
【点评】
本题考查函数图象的基础绘制能力，解题核心是熟练掌握描点法的三个步骤，结合二次函数的对称性选取取值，既能简化计算也能提升作图的准确性，同时通过作图可直观理解二次函数的平移规律。
【难度系数】
0.8
绘制函数图象的通用方法是描点法，分为列表、描点、连线三个步骤。本题中的两个函数都是二次函数的顶点式，可先确定各自的顶点、对称轴，选取自变量$x$时围绕对称轴对称取值，能简化函数值的计算，也能保证画出的图象对称规范，最后在同一坐标系中分别完成两个函数的描点、连线即可。
【解析】
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
围绕两个函数的对称轴选取合适的自变量$x$的值，分别计算对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到两个二次函数的图象，作图时可用不同线型或颜色区分两个函数的图象。
【答案】
采用描点法绘制两个二次函数的图象，步骤如下：
1. 列表：
选取合适的自变量$x$的值，分别计算两个函数对应的函数值：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2(x-1)^2$ | $\dots$ | - | - | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $\dots$ |
| $y=2(x+1)^2$ | $\dots$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | - | - | $\dots$ |
2. 描点：在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值对应的点。
3. 连线：分别用平滑的曲线从左到右顺次连接两组点，即可得到二次函数$y=2(x-1)^2$与$y=2(x+1)^2$的图象。
【知识点】
描点法作图，二次函数顶点式
【点评】
本题考查函数图象的基础绘制能力，解题核心是熟练掌握描点法的三个步骤，结合二次函数的对称性选取取值，既能简化计算也能提升作图的准确性，同时通过作图可直观理解二次函数的平移规律。
【难度系数】
0.8
6.二次函数$y=a(x-h)^2$的自变量$x$（表格中$x$从左到右依次增大）与函数值$y$的对应值如下表.下列判断正确的是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）.A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
6.D
解析
【分析】
要判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小，首先需要确定二次函数的对称轴和开口方向：①观察表格可知$x=1$和$x=5$对应的函数值都是1，这两个点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值；②再根据对称轴上的函数值小于两侧的函数值，判断抛物线开口方向；③开口向上的二次函数，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，最后比较三个点到对称轴的距离即可得出函数值的大小关系。
【解析】
1. 求对称轴：
∵当$x=1$和$x=5$时，函数值$y$均为1，
∴二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$。
2. 判断开口方向：
∵对称轴$x=3$处的函数值$y=-1＜1$，说明顶点是抛物线的最低点，
∴抛物线开口向上，即$a＞0$。
3. 比较函数值大小：
由表格中$x$从左到右依次增大，可得$1＜x_1＜x_2＜3＜5＜x_3$，
各点到对称轴$x=3$的距离满足：$|x_2-3|＜|x_1-3|＜|5-3|=2＜|x_3-3|$，
∵开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数开口判断
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，解题的核心是利用对称点快速求出对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值大小，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小，首先需要确定二次函数的对称轴和开口方向：①观察表格可知$x=1$和$x=5$对应的函数值都是1，这两个点关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的平均值；②再根据对称轴上的函数值小于两侧的函数值，判断抛物线开口方向；③开口向上的二次函数，点到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越大，最后比较三个点到对称轴的距离即可得出函数值的大小关系。
【解析】
1. 求对称轴：
∵当$x=1$和$x=5$时，函数值$y$均为1，
∴二次函数$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$。
2. 判断开口方向：
∵对称轴$x=3$处的函数值$y=-1＜1$，说明顶点是抛物线的最低点，
∴抛物线开口向上，即$a＞0$。
3. 比较函数值大小：
由表格中$x$从左到右依次增大，可得$1＜x_1＜x_2＜3＜5＜x_3$，
各点到对称轴$x=3$的距离满足：$|x_2-3|＜|x_1-3|＜|5-3|=2＜|x_3-3|$，
∵开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的增减性；二次函数开口判断
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，解题的核心是利用对称点快速求出对称轴，再结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值大小，是二次函数部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7.已知当$a ≤ x ≤ a+2$时，二次函数$y=(x+2)^2$的最小值为1，则实数$a$的值为(
A.5或1
B.5或-1
C.-5或1
D.-5或-1
D
).A.5或1
B.5或-1
C.-5或1
D.-5或-1
答案
7.D
解析
【分析】
首先明确二次函数$y=(x+2)^2$的基本性质：开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点处取得最小值0。题目要求在区间$a ≤ x ≤ a+2$上的最小值为1，说明对称轴$x=-2$不在该区间内，因此需要分两种情况讨论：①区间在对称轴左侧，函数在区间内单调递减，最小值取区间右端点的函数值；②区间在对称轴右侧，函数在区间内单调递增，最小值取区间左端点的函数值。分别列方程求解后，结合分类的前提条件筛选符合要求的$a$值即可。
【解析】
二次函数$y=(x+2)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$，即当$x=-2$时，函数取得最小值0。
已知$a ≤ x ≤ a+2$时函数最小值为1，说明$x=-2$不在区间$[a,a+2]$内，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a+2 ≤ -2$（$a ≤ -4$）时，$y$随$x$的增大而减小，因此在$x=a+2$处取得最小值1：
$(a+2+2)^2=1$
$(a+4)^2=1$
解得$a=-5$或$a=-3$，结合$a ≤ -4$的前提，舍去$a=-3$，得$a=-5$。
2. 当区间在对称轴右侧，即$a ≥ -2$时，$y$随$x$的增大而增大，因此在$x=a$处取得最小值1：
$(a+2)^2=1$
解得$a=-1$或$a=-3$，结合$a ≥ -2$的前提，舍去$a=-3$，得$a=-1$。
综上，实数$a$的值为$-5$或$-1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题关键是结合对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，易错点是忽略对求解结果的检验，即需验证解是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.6
首先明确二次函数$y=(x+2)^2$的基本性质：开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点处取得最小值0。题目要求在区间$a ≤ x ≤ a+2$上的最小值为1，说明对称轴$x=-2$不在该区间内，因此需要分两种情况讨论：①区间在对称轴左侧，函数在区间内单调递减，最小值取区间右端点的函数值；②区间在对称轴右侧，函数在区间内单调递增，最小值取区间左端点的函数值。分别列方程求解后，结合分类的前提条件筛选符合要求的$a$值即可。
【解析】
二次函数$y=(x+2)^2$开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$，即当$x=-2$时，函数取得最小值0。
已知$a ≤ x ≤ a+2$时函数最小值为1，说明$x=-2$不在区间$[a,a+2]$内，分两种情况讨论：
1. 当区间在对称轴左侧，即$a+2 ≤ -2$（$a ≤ -4$）时，$y$随$x$的增大而减小，因此在$x=a+2$处取得最小值1：
$(a+2+2)^2=1$
$(a+4)^2=1$
解得$a=-5$或$a=-3$，结合$a ≤ -4$的前提，舍去$a=-3$，得$a=-5$。
2. 当区间在对称轴右侧，即$a ≥ -2$时，$y$随$x$的增大而增大，因此在$x=a$处取得最小值1：
$(a+2)^2=1$
解得$a=-1$或$a=-3$，结合$a ≥ -2$的前提，舍去$a=-3$，得$a=-1$。
综上，实数$a$的值为$-5$或$-1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数区间最值的典型题型，解题关键是结合对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，易错点是忽略对求解结果的检验，即需验证解是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.6
8.二次函数$y=a(x-h)^2$的图象如图所示，已知$a=\frac{1}{2}$，$OA=OC$，试求该抛物线的函数解析式.
答案
8.抛物线的顶点为点 $C(h,0)$.
令 $x=0$,$y=a(x-h)^2=ah^2$,得点 $A$ 的坐标为$(0,ah^2)$.
$\because OA=OC$,$\therefore ah^2=h$,$\because a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore \dfrac{1}{2}h^2=h$,解得 $h=2$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2=\dfrac{1}{2}x^2-2x+2$.
令 $x=0$,$y=a(x-h)^2=ah^2$,得点 $A$ 的坐标为$(0,ah^2)$.
$\because OA=OC$,$\therefore ah^2=h$,$\because a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore \dfrac{1}{2}h^2=h$,解得 $h=2$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2=\dfrac{1}{2}x^2-2x+2$.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：其顶点坐标为$(h,0)$，对应图中的点C，结合图象可知对称轴在x轴正半轴，因此$h＞0$，即$OC=h$。接下来求抛物线与y轴交点A的坐标，令$x=0$代入解析式即可得到A点纵坐标，即线段OA的长度。再根据已知条件$OA=OC$列出关于h的方程，代入$a=\frac{1}{2}$求解h，最后将a、h代入顶点式即可得到抛物线解析式，注意求解后要结合图象舍去不符合题意的解。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-h)^2$，
∴其顶点C的坐标为$(h,0)$，即$OC=h$，由图象可知$h＞0$。
令$x=0$，代入解析式得$y=a(0-h)^2=ah^2$，
∴点A的坐标为$(0,ah^2)$，即$OA=ah^2$。
∵$OA=OC$，
∴$ah^2=h$，
又
∵$a=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}h^2=h$，
整理得$h(h-2)=0$，
解得$h=2$或$h=0$，
∵$h＞0$，故舍去$h=0$，即$h=2$。
将$a=\frac{1}{2}$、$h=2$代入顶点式，得：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2=\frac{1}{2}x^2-2x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$（或$y=\frac{1}{2}x^2-2x+2$）
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 函数与坐标轴交点求法
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是利用顶点式的特征确定顶点坐标，结合图象上点的坐标特征得到线段长度的表达式，再根据等量关系列方程求解参数，解题时要注意结合图象判断参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：其顶点坐标为$(h,0)$，对应图中的点C，结合图象可知对称轴在x轴正半轴，因此$h＞0$，即$OC=h$。接下来求抛物线与y轴交点A的坐标，令$x=0$代入解析式即可得到A点纵坐标，即线段OA的长度。再根据已知条件$OA=OC$列出关于h的方程，代入$a=\frac{1}{2}$求解h，最后将a、h代入顶点式即可得到抛物线解析式，注意求解后要结合图象舍去不符合题意的解。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=a(x-h)^2$，
∴其顶点C的坐标为$(h,0)$，即$OC=h$，由图象可知$h＞0$。
令$x=0$，代入解析式得$y=a(0-h)^2=ah^2$，
∴点A的坐标为$(0,ah^2)$，即$OA=ah^2$。
∵$OA=OC$，
∴$ah^2=h$，
又
∵$a=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}h^2=h$，
整理得$h(h-2)=0$，
解得$h=2$或$h=0$，
∵$h＞0$，故舍去$h=0$，即$h=2$。
将$a=\frac{1}{2}$、$h=2$代入顶点式，得：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2=\frac{1}{2}x^2-2x+2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$（或$y=\frac{1}{2}x^2-2x+2$）
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 函数与坐标轴交点求法
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，解题核心是利用顶点式的特征确定顶点坐标，结合图象上点的坐标特征得到线段长度的表达式，再根据等量关系列方程求解参数，解题时要注意结合图象判断参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
