9.如图，已知直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$P(1,0)$，直线$l$与抛物线的交点为$M$.
(1)求直线$l$的函数解析式.
(2)若$S_{△ AMP}=3$，求抛物线的解析式.

9.(1)设一次函数解析式为 $y=kx+b$,
把 $A(4,0)$,$B(0,4)$分别代入解析式得$\begin{cases} 4k+b=0,\\ b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=4. \end{cases}$
直线 $l$ 的解析式为 $y=-x+4$.
(2)设点 $M$ 的坐标为$(m,n)$,
$\because S_{△ AMP}=3$,$\therefore \dfrac{4-1}{2}n=3$,解得 $n=2$.
把 $M(m,2)$代入直线 $l$ 解析式得 $2=-m+4$,解得 $m=2$.
$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点为 $P(1,0)$,$\therefore y=a(x-1)^2$,
把 $M(2,2)$代入 $y=a(x-1)^2$ 得 $2=a(2-1)^2$,解得 $a=2$.
抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2$.

【分析】
(1) 求直线l的解析式时，已知直线经过A(4,0)、B(0,4)两个定点，采用待定系数法求解：先设一次函数的一般式$y=kx+b$，将两点坐标代入即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，就能确定直线解析式。
(2) 求抛物线解析式时，已知抛物线顶点为P(1,0)，因此顶点式中$h=1$，只需求出参数$a$即可，需要先得到抛物线上交点M的坐标：△AMP的底AP是x轴上A、P两点的距离，长度为$4-1=3$，三角形的高就是点M的纵坐标，结合面积值先求出M的纵坐标，再代入直线解析式求出M的横坐标，最后将M点坐标代入抛物线顶点式求出$a$的值，即可得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 设直线$l$的一次函数解析式为 $y=kx+b$，
把 $A(4,0)$、$B(0,4)$分别代入解析式得：
$\begin{cases} 4k+b=0\\ b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\ b=4 \end{cases}$
因此直线 $l$ 的解析式为 $y=-x+4$。
(2) 设点 $M$ 的坐标为$(m,n)$，
$\because S_{△ AMP}=3$，且$AP=4-1=3$，三角形的高为点M的纵坐标$n$，
$\therefore \dfrac{1}{2}×3× n=3$，解得 $n=2$，
把 $M(m,2)$代入直线 $l$ 解析式得 $2=-m+4$，解得 $m=2$，即$M(2,2)$，
$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点为 $P(1,0)$，即$h=1$，
$\therefore$ 抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
把 $M(2,2)$代入 $y=a(x-1)^2$ 得 $2=a(2-1)^2$，解得 $a=2$，
因此抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$
(2) $y=2(x-1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时能结合坐标系中三角形的位置特征，利用面积公式求解未知点的坐标，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7

10.如图,将抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度后,图象的顶点为$A$,与$y$轴交于点$B$,且$△ AOB$为等腰直角三角形.
(1)求$a$的值.
(2)平移后的抛物线上是否存在点$C$,使$△ ABC$为等腰直角三角形?若存在,写出点$C$的坐标,并求$S_{△ ABC}$;若不存在,请说明理由.

10.(1)平移后的抛物线的解析式为 $y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$,令 $x=0$,则 $y=a^2$,$\therefore B(0,a^2)$.
$\because △ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore a=a^2$,解得 $a=1$ 或 $a=0$(舍去).
故 $a$ 的值为 $1$.
(2)作点 $B$ 关于抛物线对称轴对称的点 $C$,连接 $BC$,交抛物线的对称轴于点 $D$,连接 $AC$.
$\because △ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BAO=45°$,
$\because AD⊥ OA$,$\therefore ∠ BAD=45°$.
$\because AD$ 为抛物线的对称轴,$\therefore AB=AC$,$∠ CAD=∠ BAD=45°$,
$\therefore △ ABC$ 为等腰直角三角形.
$\because$ 点 $B$ 的坐标为$(0,1)$,抛物线的对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(2,1)$.
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$.
故在图中的抛物线上存在点 $C(2,1)$使$△ ABC$ 为等腰直角三角形,$S_{△ ABC}=1$.

【分析】
(1) 先根据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后的抛物线解析式，再分别求出顶点A、抛物线与y轴交点B的坐标。△AOB中∠AOB是直角，要满足等腰直角三角形的条件，只需直角边OA=OB，据此列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到a的值。
(2) 由第一问的a值确定平移后抛物线的解析式、A和B的坐标，利用抛物线的对称性找B关于对称轴的对称点C，结合已知的∠BAO=45°可证△ABC为等腰直角三角形，最后求出对应面积即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度后的解析式为$y=(x-a)^2$。
其顶点A的坐标为$(a,0)$，令$x=0$，则$y=a^2$，即点B的坐标为$(0,a^2)$。
∵△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB=90°，
∴OA=OB，即$a=a^2$，
解得$a=1$或$a=0$（平移距离为0不符合题意，舍去）。
(2) 存在符合条件的点C。
由$a=1$得平移后抛物线解析式为$y=(x-1)^2$，对称轴为直线$x=1$，点B坐标为$(0,1)$。
作点B关于抛物线对称轴$x=1$的对称点C，连接AB、AC、BC。
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵抛物线对称轴垂直于x轴，
∴∠BAD=45°（D为对称轴与x轴交点）。
由抛物线对称性可得$AB=AC$，$∠CAD=∠BAD=45°$，
∴∠BAC=45°+45°=90°，即△ABC为等腰直角三角形。
点B$(0,1)$关于直线$x=1$的对称点C的坐标为$(2,1)$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，则$AC=AB=\sqrt{2}$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。
【答案】
(1) $a=1$；
(2) 存在，点C的坐标为$(2,1)$，$S_{△ABC}=1$。
【知识点】
二次函数图象平移，等腰直角三角形的性质，二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质和等腰直角三角形的判定与性质，解题的核心是先利用等腰直角三角形边的关系求出平移距离，再结合抛物线的对称性快速定位符合条件的点，注重对基础知识点融合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7