9.如图，已知直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点为$P(1,0)$，直线$l$与抛物线的交点为$M$.
(1)求直线$l$的函数解析式.
(2)若$S_{△ AMP}=3$，求抛物线的解析式.

9.(1)设一次函数解析式为 $y=kx+b$,
把 $A(4,0)$,$B(0,4)$分别代入解析式得$\begin{cases} 4k+b=0,\\ b=4, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-1,\\ b=4. \end{cases}$
直线 $l$ 的解析式为 $y=-x+4$.
(2)设点 $M$ 的坐标为$(m,n)$,
$\because S_{△ AMP}=3$,$\therefore \dfrac{4-1}{2}n=3$,解得 $n=2$.
把 $M(m,2)$代入直线 $l$ 解析式得 $2=-m+4$,解得 $m=2$.
$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点为 $P(1,0)$,$\therefore y=a(x-1)^2$,
把 $M(2,2)$代入 $y=a(x-1)^2$ 得 $2=a(2-1)^2$,解得 $a=2$.
抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2$.

【分析】
（1）求直线l的解析式时，已知直线经过两个确定的点A、B，可采用待定系数法，先设一次函数的一般式为$y=kx+b$，再将两点坐标代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到直线解析式。
（2）要求抛物线解析式，已知抛物线顶点为$P(1,0)$，仅需再求出抛物线上任意一点的坐标即可。结合$S_{△ AMP}=3$的条件，先确定$△ AMP$的底为AP的长度（A、P均在x轴上，底长为两点横坐标的差），高为交点M的纵坐标，利用三角形面积公式先求出M的纵坐标，再代入直线解析式求出M的横坐标，得到M点坐标后代入抛物线顶点式即可求出a的值，得到抛物线解析式。
【解析】
(1) 设直线l的一次函数解析式为 $y=kx+b$，
把 $A(4,0)$、$B(0,4)$分别代入解析式，得：
$\begin{cases} 4k+b=0\\ b=4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1\\ b=4 \end{cases}$
因此直线 $l$ 的解析式为 $y=-x+4$。
(2) 设点 $M$ 的坐标为$(m,n)$，
由题意得AP的长度为$4-1=3$，$△ AMP$以AP为底时，高为M点的纵坐标$n$，
$\because S_{△ AMP}=3$，$\therefore \dfrac{1}{2}× 3 × n=3$，解得 $n=2$。
把 $M(m,2)$代入直线 $l$ 的解析式$y=-x+4$，得：
$2=-m+4$，解得 $m=2$，即M点坐标为$(2,2)$。
$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的顶点为 $P(1,0)$，$\therefore h=1$，抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，
把 $M(2,2)$代入 $y=a(x-1)^2$ 得：
$2=a(2-1)^2$，解得 $a=2$。
因此抛物线的解析式为 $y=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；(2) $y=2(x-1)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数顶点式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是利用三角形面积确定两函数交点的坐标，再结合待定系数法求解对应函数解析式，能够帮助学生巩固函数解析式的求解方法，提升坐标与几何结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

10.如图,将抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度后,图象的顶点为$A$,与$y$轴交于点$B$,且$△ AOB$为等腰直角三角形.
(1)求$a$的值.
(2)平移后的抛物线上是否存在点$C$,使$△ ABC$为等腰直角三角形?若存在,写出点$C$的坐标,并求$S_{△ ABC}$;若不存在,请说明理由.

10.(1)平移后的抛物线的解析式为 $y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$,令 $x=0$,则 $y=a^2$,$\therefore B(0,a^2)$.
$\because △ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore a=a^2$,解得 $a=1$ 或 $a=0$(舍去).
故 $a$ 的值为 $1$.
(2)作点 $B$ 关于抛物线对称轴对称的点 $C$,连接 $BC$,交抛物线的对称轴于点 $D$,连接 $AC$.
$\because △ AOB$ 为等腰直角三角形,$\therefore ∠ BAO=45°$,
$\because AD⊥ OA$,$\therefore ∠ BAD=45°$.
$\because AD$ 为抛物线的对称轴,$\therefore AB=AC$,$∠ CAD=∠ BAD=45°$,
$\therefore △ ABC$ 为等腰直角三角形.
$\because$ 点 $B$ 的坐标为$(0,1)$,抛物线的对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(2,1)$.
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$.
故在图中的抛物线上存在点 $C(2,1)$使$△ ABC$ 为等腰直角三角形,$S_{△ ABC}=1$.

【分析】
(1) 先依据二次函数“左加右减”的平移规律，写出平移后的抛物线解析式，得到顶点A的坐标，再求抛物线与y轴交点B的坐标；观察△AOB可知∠AOB为直角，故等腰直角三角形满足OA=OB，据此列方程求解a，舍去不符合题意的0解即可。
(2) 先确定平移后抛物线的对称轴、A和B的坐标，利用二次函数的对称性，作点B关于抛物线对称轴的对称点C，结合已知∠BAO=45°，可证得∠BAC=90°且AB=AC，即△ABC为等腰直角三角形，再根据对称性质得C点坐标，最后计算三角形面积即可。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2$向右平移$a$个单位长度后，解析式为 $y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$，其顶点A的坐标为$(a,0)$。
令$x=0$，得$y=a^2$，因此点B坐标为$(0,a^2)$。
∵$△ AOB$为等腰直角三角形，$∠ AOB=90°$，
∴$OA=OB$，即$a=a^2$，
解得$a=1$或$a=0$，$a=0$时抛物线未平移，不符合题意，舍去。
(2) 存在满足条件的点C，理由如下：
作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC、AC，BC交抛物线对称轴于点D。
由(1)知$a=1$，故平移后抛物线对称轴为直线$x=1$，点B坐标为$(0,1)$，点A坐标为$(1,0)$。
∵$△ AOB$为等腰直角三角形，
∴$∠ BAO=45°$，
∵对称轴$x=1$垂直于x轴，
∴$∠ BAD=45°$。
∵AD为抛物线的对称轴，点B、C关于AD对称，
∴$AB=AC$，$∠ CAD=∠ BAD=45°$，
∴$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=90°$，即$△ ABC$为等腰直角三角形。
由点B$(0,1)$关于直线$x=1$对称，得点C的坐标为$(2,1)$。
易得$AB=AC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
因此$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。
【答案】
(1) $a$的值为$1$；
(2) 存在，点$C$的坐标为$(2,1)$，$S_{△ ABC}=1$。
【知识点】
二次函数图象平移；等腰直角三角形性质；二次函数的对称性
【点评】
本题将二次函数的平移、对称性与几何图形性质结合考查，解题的关键是先根据平移规律确定函数解析式，再结合等腰直角三角形的性质和二次函数对称性推导点的位置，计算时注意舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7