1.下列抛物线对称轴是直线$x=1$的是().

A.$y=-(1-x)^2+2$
B.$y=(x+1)^2$
C.$y=x^2+1$
D.$y=(2x-1)^2+1$

1.A

【分析】
要判断抛物线的对称轴是否为直线$x=1$，首先回忆二次函数顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的二次函数，其对称轴为直线$x=h$。解题时只需将每个选项的函数式转化为标准顶点式，找到对应的$h$值，判断是否等于1即可。
【解析】
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），对称轴为直线$x=h$，逐一分析选项：
选项A：$y=-(1-x)^2+2$，变形得$y=-(x-1)^2+2$，对应$h=1$，对称轴为直线$x=1$，符合要求；
选项B：$y=(x+1)^2=(x-(-1))^2$，对应$h=-1$，对称轴为直线$x=-1$，不符合；
选项C：$y=x^2+1=(x-0)^2+1$，对应$h=0$，对称轴为直线$x=0$（即y轴），不符合；
选项D：$y=(2x-1)^2+1=[2(x-\frac{1}{2})]^2+1=4(x-\frac{1}{2})^2+1$，对应$h=\frac{1}{2}$，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，不符合。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴求解
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式二次函数的对称轴规律，变形函数式时要注意符号和系数的处理，避免因忽略负号、二次项系数而出错。
【难度系数】
0.8

2.对于抛物线$y=(x+2)^2 -1$，下列说法错误的是（）.

A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-2$
C.当$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而减小
D.当$x=-2$时，函数有最小值$y=-1$

2.C

【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题思路为：先将给定抛物线解析式与顶点式标准形式$y=a(x-h)^2+k$对应，确定参数$a$、$h$、$k$的取值，再依次根据参数的意义判断开口方向、对称轴、增减性、最值相关选项的正误，最终选出错误选项即可。
【解析】
抛物线$y=(x+2)^2-1$是二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应参数为$a=1$，$h=-2$，$k=-1$。
选项A：$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意；
选项B：顶点式的对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线对称轴是直线$x=-2$，B说法正确，不符合题意；
选项C：抛物线开口向上，在对称轴右侧即$x＞-2$时，$y$随$x$的增大而增大，不是减小，C说法错误，符合题意；
选项D：抛物线开口向上，顶点为最低点，顶点坐标为$(-2,-1)$，因此当$x=-2$时，函数有最小值$y=-1$，D说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象特征，牢记相关性质即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.9

3.已知二次函数$y=-3(x+2)^2 -3$，下列说法正确的是().

A.对称轴经过点$(2,0)$，且平行于$y$轴
B.顶点坐标为$(2,3)$
C.函数的最大值是$-3$
D.函数的最小值是$-3$

3.C

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值$k$，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值$k$。我们先从给定的函数解析式中对应找到$a、h、k$的值，再逐一验证四个选项即可。
【解析】
给定二次函数为$y=-3(x+2)^2 -3$，将其与顶点式$y=a(x-h)^2+k$对应可得：$a=-3$，$h=-2$，$k=-3$。
1. 分析选项A：二次函数对称轴为直线$x=h=-2$，即对称轴过点$(-2,0)$且平行于$y$轴，A错误；
2. 分析选项B：顶点坐标为$(h,k)=(-2,-3)$，B错误；
3. 分析选项C、D：由于$a=-3＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标$k=-3$，无最小值，故C正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的最值；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题的关键是准确识别顶点式中$h$的符号，牢记各参数对应的图象性质，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8

4.二次函数$y=3(2x-3)^2 -5$的图象的顶点坐标是.

4.$(\dfrac{3}{2},-5)$

【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数的表达式中，平方项为0时，函数取得最值，此时对应的x、y值就是顶点的横、纵坐标。我们可以先令平方里的一次式等于0，解出顶点的横坐标，再代入原式得到纵坐标；也可以将原式转化为标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的形式，直接读出顶点坐标$(h,k)$。
【解析】
方法一：利用顶点性质求解
对于二次函数$y=3(2x-3)^2 -5$，当平方项$2x-3=0$时，函数取得最值，对应顶点位置。
解方程$2x-3=0$，得$x=\frac{3}{2}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入函数表达式，得$y=3×0 -5=-5$。
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-5)$。
方法二：转化为标准顶点式求解
将原式变形：
$y=3(2x-3)^2 -5=3×[2(x-\frac{3}{2})]^2 -5=12(x-\frac{3}{2})^2 -5$
标准顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，对比可得$h=\frac{3}{2}$，$k=-5$，即顶点坐标为$(\frac{3}{2},-5)$。
【答案】
$(\dfrac{3}{2},-5)$
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点坐标的求解，属于基础题型，解题的关键是掌握顶点式的特征，避免直接将括号内常数项的相反数作为横坐标导致错误。
【难度系数】
0.8

5.已知二次函数$y=x^2 -4x +3$。
(1)求此函数的图象的对称轴和顶点坐标。
(2)画出此函数的图象(描5个点)。
(3)当$-1≤ x≤ 3$时，由图象直接写出$y$的取值范围。

5.(1)将二次函数的解析式配方,得 $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
$\therefore$ 此函数图象的对称轴为直线 $x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$.
(2)列表,再画出函数图象.
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |

(3)由函数图象可知 $y$ 的取值范围为$-1≤ y≤ 8$.

【分析】
(1) 求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，顶点式中可直接读取对称轴和顶点坐标，该方法直观且符合当前学段知识要求。
(2) 画二次函数图像描5个点时，通常选取顶点、与坐标轴的交点以及关于对称轴对称的点，保证点分布均匀，先列表计算对应y值，再描点、用平滑曲线连线即可。
(3) 求给定x范围的y的取值范围，首先判断对称轴是否在该区间内：本题对称轴在区间内，抛物线开口向上，因此顶点处取最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，结合图像即可确定y的范围，注意端点值可取。
【解析】
(1) 对二次函数解析式进行配方：
$y=x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-4+3=(x-2)^2-1$
根据顶点式的性质，二次函数$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，因此该函数图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 选取对称的5个点，列表计算对应函数值：
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |
在坐标系中描出上述5个点，用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数图像：

(3) 首先计算区间端点的函数值：当$x=-1$时，$y=(-1)^2-4×(-1)+3=8$；
已知函数对称轴为$x=2$，在$-1≤x≤3$的区间内，抛物线开口向上，因此顶点$(2,-1)$处取最小值$y=-1$；
对比区间端点的函数值，$x=-1$时$y=8$，$x=3$时$y=0$，因此最大值为8；
结合图像可得y的取值范围。
【答案】
(1) 此函数图象的对称轴为直线 $x=2$,顶点坐标为$(2,-1)$；
(2)
| $x$ | $···$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $···$ | $3$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $3$ | $···$ |

(3) $-1≤ y≤ 8$
【知识点】
二次函数顶点与对称轴；二次函数图象画法；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，将配方转化、描点作图、数形结合求取值范围的考点相结合，是巩固二次函数核心性质的典型习题，解题时注意结合图像分析，避免遗漏区间端点的函数值计算。
【难度系数】
0.7

6.已知点$A(a,2),B(b,2),C(c,7)$都在抛物线$y=(x-1)^2-2$上，点A在点B左侧，下列说法正确的是().

A.若$c＜0$,则$a＜c＜b$
B.若$c＜0$,则$a＜b＜c$
C.若$c＞0$,则$a＜c＜b$
D.若$c＞0$,则$a＜b＜c$

6.D

【分析】
首先明确抛物线的基本性质：抛物线$y=(x-1)^2-2$开口向上，对称轴为直线$x=1$。点A、B纵坐标相同，说明两点关于对称轴对称，可先求出A、B的固定横坐标；再结合C点纵坐标求出c的两个可能取值，最后分$c＜0$和$c＞0$两种情况比较三个横坐标的大小，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 求A、B的横坐标：
将$y=2$代入抛物线解析式得：$2=(x-1)^2-2$，整理得$(x-1)^2=4$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因为点A在点B左侧，所以$a=-1$，$b=3$。
2. 求C点的横坐标：
将$y=7$代入抛物线解析式得：$7=(x-1)^2-2$，整理得$(x-1)^2=9$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，即$c=-2$或$c=4$。
3. 分情况判断选项：
若$c＜0$，则$c=-2$，大小关系为$c＜a＜b$，故A、B选项均错误；
若$c＞0$，则$c=4$，大小关系为$a＜b＜c$，故C选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查二次函数的对称性和点坐标的对应关系，解题的核心是先求出固定点A、B的横坐标，再根据C点的函数值得到c的两种可能取值，分情况比较大小即可，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7