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7.如图,已知点$A(1,4),B(4,4)$,抛物线$y=a(x-m)^2+n$的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移),抛物线与$x$轴交于$C,D$两点($C$在$D$的左侧),点$C$的横坐标最小值为$-3$,则点$D$的横坐标最大值为(
A.$-3$
B.$1$
C.$5$
D.$8$
D
).A.$-3$
B.$1$
C.$5$
D.$8$
答案
7.D
解析
【分析】
首先，抛物线平移过程中开口大小和方向不变，即a的值固定。点C的横坐标最小时，对应顶点在AB的最左侧A点处，此时已知C点坐标可求出a的值；要得到点D的横坐标最大值，需让顶点运动到AB的最右侧B点处，代入a的值求解抛物线与x轴的右交点即可。
【解析】
1. 求参数$a$的值：
当顶点在$A(1,4)$时，点C横坐标最小为$-3$，此时抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+4$。
将$C(-3,0)$代入解析式：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$
解得$a=-\frac{1}{4}$。
2. 求点D横坐标的最大值：
当顶点运动到$B(4,4)$时，点D的横坐标最大，此时抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$。
令$y=0$，解方程：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
移项得$(x-4)^2=16$
开方得$x-4=\pm4$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
因为D在x轴交点的右侧，所以此时D的横坐标为8，即点D横坐标的最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题核心是抓住二次函数平移时$a$不变的特点，明确C横坐标最小、D横坐标最大分别对应顶点在A、B位置的情况，结合点坐标代入求解即可。
【难度系数】
0.6
首先，抛物线平移过程中开口大小和方向不变，即a的值固定。点C的横坐标最小时，对应顶点在AB的最左侧A点处，此时已知C点坐标可求出a的值；要得到点D的横坐标最大值，需让顶点运动到AB的最右侧B点处，代入a的值求解抛物线与x轴的右交点即可。
【解析】
1. 求参数$a$的值：
当顶点在$A(1,4)$时，点C横坐标最小为$-3$，此时抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+4$。
将$C(-3,0)$代入解析式：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$
解得$a=-\frac{1}{4}$。
2. 求点D横坐标的最大值：
当顶点运动到$B(4,4)$时，点D的横坐标最大，此时抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$。
令$y=0$，解方程：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
移项得$(x-4)^2=16$
开方得$x-4=\pm4$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
因为D在x轴交点的右侧，所以此时D的横坐标为8，即点D横坐标的最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移性质；二次函数顶点式；二次函数与x轴交点
【点评】
本题解题核心是抓住二次函数平移时$a$不变的特点，明确C横坐标最小、D横坐标最大分别对应顶点在A、B位置的情况，结合点坐标代入求解即可。
【难度系数】
0.6
8.抛物线 $y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$ 经过 $(-2,y_1),(0,y_2),(\frac{5}{2},y_3)$ 三点，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是
$y_1＞y_3＞y_2$
。答案
8.$y_1＞y_3＞y_2$
解析
【分析】
本题考查二次函数的性质应用，解题思路如下：首先从给出的二次函数顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向与对称轴；由于开口向上的抛物线上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个已知点到对称轴的距离，比较距离大小即可直接得到三个函数值的大小关系，无需代入计算具体数值，简化运算过程。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
1. 确定抛物线基本性质：
二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此抛物线开口向上；
由顶点式特征可得，抛物线的对称轴为直线$x=1$。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert -2 - 1 \vert = 3$；
点$(0,y_2)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert 0 - 1 \vert = 1$；
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert \frac{5}{2} - 1 \vert = 1.5$。
3. 比较函数值大小：
开口向上的抛物线，到对称轴距离越远的点对应函数值越大，
因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点式、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考查对二次函数开口方向、对称轴与函数值变化规律的掌握，利用点到对称轴的距离比较函数值的方法比代入求值更简便高效，解题关键是熟练掌握顶点式对应的图象特征。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的性质应用，解题思路如下：首先从给出的二次函数顶点式解析式入手，先确定抛物线的开口方向与对称轴；由于开口向上的抛物线上，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，因此只需计算三个已知点到对称轴的距离，比较距离大小即可直接得到三个函数值的大小关系，无需代入计算具体数值，简化运算过程。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
1. 确定抛物线基本性质：
二次项系数$a=\frac{2}{3}＞0$，因此抛物线开口向上；
由顶点式特征可得，抛物线的对称轴为直线$x=1$。
2. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert -2 - 1 \vert = 3$；
点$(0,y_2)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert 0 - 1 \vert = 1$；
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴$x=1$的距离：$\vert \frac{5}{2} - 1 \vert = 1.5$。
3. 比较函数值大小：
开口向上的抛物线，到对称轴距离越远的点对应函数值越大，
因为$3＞1.5＞1$，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】
$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】
二次函数图象性质、二次函数顶点式、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考查对二次函数开口方向、对称轴与函数值变化规律的掌握，利用点到对称轴的距离比较函数值的方法比代入求值更简便高效，解题关键是熟练掌握顶点式对应的图象特征。
【难度系数】
0.7
9.如图，二次函数$y=-(x+1)^2+1$的图象与x轴交于点A，O.在抛物线上有一点P，$△ AOP$的面积为3，则点P的坐标是
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
。答案
9.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①先确定点A和原点O的坐标，得到△AOP的底边OA的长度；②根据三角形面积公式，求出点P纵坐标的绝对值；③结合二次函数的最值，排除不可能的纵坐标取值，再将符合条件的纵坐标代入二次函数解析式，求解对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令二次函数$y=-(x+1)^2+1$中$y=0$，则$0=-(x+1)^2+1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$，
所以A点坐标为$(-2,0)$，O为原点$(0,0)$，因此$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，△AOP的面积$S=\frac{1}{2}× OA × |y_P|=3$，
代入$OA=2$，得$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$，解得$|y_P|=3$。
3. 结合二次函数性质确定纵坐标取值：
二次函数$y=-(x+1)^2+1$开口向下，顶点坐标为$(-1,1)$，函数最大值为1，因此$y_P$不可能为3，故$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入二次函数解析式，得$-3=-(x+1)^2+1$，
整理得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
【知识点】
二次函数的性质；三角形面积计算；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与三角形面积结合的基础应用题，解题的关键是通过面积公式先确定点P的纵坐标，同时要注意结合二次函数的最值排除不符合题意的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：①先确定点A和原点O的坐标，得到△AOP的底边OA的长度；②根据三角形面积公式，求出点P纵坐标的绝对值；③结合二次函数的最值，排除不可能的纵坐标取值，再将符合条件的纵坐标代入二次函数解析式，求解对应的x值，即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令二次函数$y=-(x+1)^2+1$中$y=0$，则$0=-(x+1)^2+1$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$，
所以A点坐标为$(-2,0)$，O为原点$(0,0)$，因此$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，△AOP的面积$S=\frac{1}{2}× OA × |y_P|=3$，
代入$OA=2$，得$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$，解得$|y_P|=3$。
3. 结合二次函数性质确定纵坐标取值：
二次函数$y=-(x+1)^2+1$开口向下，顶点坐标为$(-1,1)$，函数最大值为1，因此$y_P$不可能为3，故$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入二次函数解析式，得$-3=-(x+1)^2+1$，
整理得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
因此点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
【知识点】
二次函数的性质；三角形面积计算；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数与三角形面积结合的基础应用题，解题的关键是通过面积公式先确定点P的纵坐标，同时要注意结合二次函数的最值排除不符合题意的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,抛物线$y=-(x-h)^2 +k$以点A为顶点且经过原点,并与x轴的负半轴交于点B.点C在抛物线上,且位于点A,B之间(点C不与点A,B重合).若四边形AOBC的周长为14,$△ ABC$的周长大于8,求h的取值范围.
答案
10.$\because$ 以 $A$ 为顶点的抛物线 $y=-(x-h)^2+k$ 经过原点,$\therefore AB=AO$,$A(h,k)$,
$\because$ 点 $A$ 在第二象限,$\therefore h＜0$.$\because$ 点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上,
$\therefore OB=-2h$,由题意,得 $OB+BC+AC+AO=14$,$AC+BC+AB=AC+BC+AO＞8$,
$\because BC+AC+AO=14-OB$,$\therefore 14-OB＞8$,$\therefore 14+2h＞8$,解得 $h＞-3$.$\therefore -3＜h＜0$.
$\because$ 点 $A$ 在第二象限,$\therefore h＜0$.$\because$ 点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上,
$\therefore OB=-2h$,由题意,得 $OB+BC+AC+AO=14$,$AC+BC+AB=AC+BC+AO＞8$,
$\because BC+AC+AO=14-OB$,$\therefore 14-OB＞8$,$\therefore 14+2h＞8$,解得 $h＞-3$.$\therefore -3＜h＜0$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次函数的对称性：抛物线的顶点在对称轴上，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可得AO=AB，同时求出点B的坐标，得到OB的长度表达式；再结合四边形AOBC的周长、△ABC的周长的条件，将△ABC的周长用含OB的式子表示，代入已知的不等关系列出不等式，最后结合点A在第二象限的隐含条件确定h的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=-(x-h)^2 +k$的顶点为$A(h,k)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=h$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，且与x轴负半轴交于点B，
∴点O和点B关于直线$x=h$对称，
∴点B的横坐标为$2h$，即$B(2h,0)$，且点A在对称轴上，故$AB=AO$。
∵点A在第二象限，点B在x轴负半轴，
∴$h＜0$，$OB=0-2h=-2h$。
已知四边形AOBC的周长为14，即$AO+OB+BC+AC=14$，整理得$AO+BC+AC=14-OB$。
△ABC的周长为$AC+BC+AB$，又$AB=AO$，因此△ABC的周长$=AC+BC+AO=14-OB$。
由题知△ABC的周长大于8，即$14-OB＞8$，将$OB=-2h$代入得：
$14 - (-2h) ＞8$，即$14+2h＞8$，解得$h＞-3$。
结合$h＜0$，可得$h$的取值范围是$-3＜h＜0$。
【答案】
$-3＜h＜0$
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.垂直平分线的性质
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题将二次函数的图像性质与周长计算、不等式求解结合，解题的核心是利用抛物线的对称性推导线段等量关系，将未知周长转化为含已知量的表达式，实现几何条件向代数不等式的转化，能够很好地考察学生的数形结合能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次函数的对称性：抛物线的顶点在对称轴上，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，可得AO=AB，同时求出点B的坐标，得到OB的长度表达式；再结合四边形AOBC的周长、△ABC的周长的条件，将△ABC的周长用含OB的式子表示，代入已知的不等关系列出不等式，最后结合点A在第二象限的隐含条件确定h的取值范围。
【解析】
解：
∵抛物线$y=-(x-h)^2 +k$的顶点为$A(h,k)$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=h$。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，且与x轴负半轴交于点B，
∴点O和点B关于直线$x=h$对称，
∴点B的横坐标为$2h$，即$B(2h,0)$，且点A在对称轴上，故$AB=AO$。
∵点A在第二象限，点B在x轴负半轴，
∴$h＜0$，$OB=0-2h=-2h$。
已知四边形AOBC的周长为14，即$AO+OB+BC+AC=14$，整理得$AO+BC+AC=14-OB$。
△ABC的周长为$AC+BC+AB$，又$AB=AO$，因此△ABC的周长$=AC+BC+AO=14-OB$。
由题知△ABC的周长大于8，即$14-OB＞8$，将$OB=-2h$代入得：
$14 - (-2h) ＞8$，即$14+2h＞8$，解得$h＞-3$。
结合$h＜0$，可得$h$的取值范围是$-3＜h＜0$。
【答案】
$-3＜h＜0$
【知识点】
1.二次函数的对称性
2.垂直平分线的性质
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题将二次函数的图像性质与周长计算、不等式求解结合，解题的核心是利用抛物线的对称性推导线段等量关系，将未知周长转化为含已知量的表达式，实现几何条件向代数不等式的转化，能够很好地考察学生的数形结合能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
