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7.如图,已知点$A(1,4),B(4,4)$,抛物线$y=a(x-m)^2+n$的顶点在线段AB上运动(抛物线随顶点一起平移),抛物线与$x$轴交于$C,D$两点($C$在$D$的左侧),点$C$的横坐标最小值为$-3$,则点$D$的横坐标最大值为(
A.$-3$
B.$1$
C.$5$
D.$8$
D
).A.$-3$
B.$1$
C.$5$
D.$8$
答案
7.D
解析
【分析】
解题关键是明确抛物线平移过程中二次项系数$a$不变：要得到点C横坐标的最小值，抛物线顶点需在线段AB最左侧的A点；要得到点D横坐标的最大值，抛物线顶点需在线段AB最右侧的B点。先利用顶点在A点、C点横坐标为-3求出$a$的值，再代入顶点在B点的解析式，令$y=0$求解即可得到D的最大横坐标。
【解析】
1. 当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点在$A(1,4)$处，此时抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+4$。
将$C(-3,0)$代入解析式：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
2. 要使点D横坐标最大，将抛物线顶点移到$B(4,4)$处，此时抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$。
令$y=0$求解x：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
$\frac{1}{4}(x-4)^2=4$
$(x-4)^2=16$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
因为C在D左侧，所以此时D点横坐标为8，即点D横坐标最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移性质，二次函数顶点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题核心是抓住二次函数平移时形状不变（$a$不变）的特点，准确判断C点最小时和D点最大时对应的顶点位置，结合代入法求解解析式即可得到结果，对平移规律的理解和应用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题关键是明确抛物线平移过程中二次项系数$a$不变：要得到点C横坐标的最小值，抛物线顶点需在线段AB最左侧的A点；要得到点D横坐标的最大值，抛物线顶点需在线段AB最右侧的B点。先利用顶点在A点、C点横坐标为-3求出$a$的值，再代入顶点在B点的解析式，令$y=0$求解即可得到D的最大横坐标。
【解析】
1. 当点C的横坐标取最小值-3时，抛物线顶点在$A(1,4)$处，此时抛物线解析式为$y=a(x-1)^2+4$。
将$C(-3,0)$代入解析式：
$0=a(-3-1)^2+4$
$16a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
2. 要使点D横坐标最大，将抛物线顶点移到$B(4,4)$处，此时抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$。
令$y=0$求解x：
$0=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4$
$\frac{1}{4}(x-4)^2=4$
$(x-4)^2=16$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
因为C在D左侧，所以此时D点横坐标为8，即点D横坐标最大值为8。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移性质，二次函数顶点式，二次函数与x轴交点
【点评】
本题核心是抓住二次函数平移时形状不变（$a$不变）的特点，准确判断C点最小时和D点最大时对应的顶点位置，结合代入法求解解析式即可得到结果，对平移规律的理解和应用是解题的关键。
【难度系数】
0.6
8.抛物线 $y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$ 经过 $(-2,y_1),(0,y_2),(\frac{5}{2},y_3)$ 三点，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是
$y_1＞y_3＞y_2$
。答案
8.$y_1＞y_3＞y_2$
解析
【分析】首先观察抛物线解析式为顶点式，可先确定其开口方向和对称轴。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，用该规律比较y值大小比代入计算更简便。解题时第一步先确定抛物线开口方向和对称轴，第二步分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，第三步根据开口方向对应的函数值变化规律比较大小即可。
【解析】解：
∵抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∴$a=\frac{2}{3}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
分别计算三点横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 - 1\vert = 3$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 0 - 1\vert = 1$；
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\vert \frac{5}{2} - 1\vert = \frac{3}{2}$；
∵开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且$3＞\frac{3}{2}＞1$，
∴$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数值大小的关联规律，也可通过代入横坐标计算函数值的方法验证结果，两种方法都需熟练掌握。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵抛物线解析式为$y=\frac{2}{3}(x-1)^2 + c$，
∴$a=\frac{2}{3}＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$。
分别计算三点横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -2 - 1\vert = 3$；
点$(0,y_2)$到对称轴的距离：$\vert 0 - 1\vert = 1$；
点$(\frac{5}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\vert \frac{5}{2} - 1\vert = \frac{3}{2}$；
∵开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且$3＞\frac{3}{2}＞1$，
∴$y_1＞y_3＞y_2$。
【答案】$y_1＞y_3＞y_2$
【知识点】1.二次函数顶点式性质 2.二次函数增减性
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是掌握开口方向、对称轴与函数值大小的关联规律，也可通过代入横坐标计算函数值的方法验证结果，两种方法都需熟练掌握。
【难度系数】0.8
9.如图，二次函数$y=-(x+1)^2+1$的图象与x轴交于点A，O.在抛物线上有一点P，$△ AOP$的面积为3，则点P的坐标是
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
。答案
9.$(-3,-3)$或$(1,-3)$
解析
【分析】
解题时先确定△AOP的底OA的长度：首先令二次函数y=0，求解方程得到点A的坐标，即可得到OA的长；再结合三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值，结合二次函数的最大值筛选出符合条件的纵坐标；最后将纵坐标代入二次函数解析式，求解得到对应的横坐标，即为点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令$y=0$，代入二次函数解析式$y=-(x+1)^2+1$，得：
$0=-(x+1)^2+1$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即点A坐标为$(-2,0)$，故$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA×|y_P|$，已知$S_{△ AOP}=3$，代入得：
$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$
解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
3. 筛选符合条件的纵坐标：
二次函数$y=-(x+1)^2+1$开口向下，顶点坐标为$(-1,1)$，函数最大值为$1＜3$，故$y_P=3$无对应的抛物线上的点，舍去，得$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入$y=-(x+1)^2+1$，得：
$-3=-(x+1)^2+1$
整理得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
综上，点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题需要结合二次函数的取值范围排除不符合题意的解，解题时要注意数形结合，避免忽略函数最值出现增解的情况。
【难度系数】
0.7
解题时先确定△AOP的底OA的长度：首先令二次函数y=0，求解方程得到点A的坐标，即可得到OA的长；再结合三角形面积公式求出点P纵坐标的绝对值，结合二次函数的最大值筛选出符合条件的纵坐标；最后将纵坐标代入二次函数解析式，求解得到对应的横坐标，即为点P的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令$y=0$，代入二次函数解析式$y=-(x+1)^2+1$，得：
$0=-(x+1)^2+1$
解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即点A坐标为$(-2,0)$，故$OA=2$。
2. 求点P的纵坐标：
设点P的纵坐标为$y_P$，根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA×|y_P|$，已知$S_{△ AOP}=3$，代入得：
$\frac{1}{2}×2×|y_P|=3$
解得$|y_P|=3$，即$y_P=3$或$y_P=-3$。
3. 筛选符合条件的纵坐标：
二次函数$y=-(x+1)^2+1$开口向下，顶点坐标为$(-1,1)$，函数最大值为$1＜3$，故$y_P=3$无对应的抛物线上的点，舍去，得$y_P=-3$。
4. 求点P的横坐标：
将$y=-3$代入$y=-(x+1)^2+1$，得：
$-3=-(x+1)^2+1$
整理得$(x+1)^2=4$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
综上，点P的坐标为$(-3,-3)$或$(1,-3)$。
【答案】
$(-3,-3)$或$(1,-3)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，三角形面积计算，解一元二次方程
【点评】
本题需要结合二次函数的取值范围排除不符合题意的解，解题时要注意数形结合，避免忽略函数最值出现增解的情况。
【难度系数】
0.7
10.如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,抛物线$y=-(x-h)^2 +k$以点A为顶点且经过原点,并与x轴的负半轴交于点B.点C在抛物线上,且位于点A,B之间(点C不与点A,B重合).若四边形AOBC的周长为14,$△ ABC$的周长大于8,求h的取值范围.
答案
10.$\because$ 以 $A$ 为顶点的抛物线 $y=-(x-h)^2+k$ 经过原点,$\therefore AB=AO$,$A(h,k)$,
$\because$ 点 $A$ 在第二象限,$\therefore h＜0$.$\because$ 点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上,
$\therefore OB=-2h$,由题意,得 $OB+BC+AC+AO=14$,$AC+BC+AB=AC+BC+AO＞8$,
$\because BC+AC+AO=14-OB$,$\therefore 14-OB＞8$,$\therefore 14+2h＞8$,解得 $h＞-3$.$\therefore -3＜h＜0$.
$\because$ 点 $A$ 在第二象限,$\therefore h＜0$.$\because$ 点 $B$ 在 $x$ 轴的负半轴上,
$\therefore OB=-2h$,由题意,得 $OB+BC+AC+AO=14$,$AC+BC+AB=AC+BC+AO＞8$,
$\because BC+AC+AO=14-OB$,$\therefore 14-OB＞8$,$\therefore 14+2h＞8$,解得 $h＞-3$.$\therefore -3＜h＜0$.
解析
【分析】
解题时先从抛物线的顶点式性质入手，抛物线顶点式$y=-(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，因为抛物线过原点，结合抛物线的对称性可以得到点B的坐标，推出$AO=AB$，同时得到$OB$的长度与$h$的关系；再结合四边形AOBC的周长和$△ ABC$的周长的条件，将两个周长表达式中共同的$AC+BC+AO$部分进行替换，消去未知的线段长度，得到仅含$h$的不等式，最后结合点A在第二象限确定$h$的符号，即可求出$h$的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-(x-h)^2 +k$的顶点为$A(h,k)$，且经过原点，抛物线对称轴为直线$x=h$
$\therefore$ 抛物线与$x$轴的另一个交点$B$的坐标为$(2h,0)$，且对称轴垂直平分线段$OB$，因此$AB=AO$
$\because$ 点$A$在第二象限，$\therefore h＜0$，$OB$的长度为$0-2h=-2h$
已知四边形$AOBC$的周长为14，可得：$AO + OB + BC + AC =14$，即$AC + BC + AO =14 - OB$
$△ ABC$的周长为$AC + BC + AB$，又$\because AB=AO$，$\therefore △ ABC$的周长$=AC + BC + AO$
由题意$△ ABC$的周长大于8，因此$14 - OB ＞8$
将$OB=-2h$代入不等式得：$14 - (-2h) ＞8$，即$14 +2h＞8$，解得$h＞-3$
结合$h＜0$，可得$h$的取值范围是$-3＜h＜0$
【答案】
$-3＜h＜0$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；一元一次不等式求解
【点评】
本题巧妙结合二次函数的对称性简化线段关系，不需要求解未知点坐标，通过周长的等量代换消去未知线段，将几何条件转化为参数的不等式求解，解题的核心是抓住抛物线对称的性质，理清周长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从抛物线的顶点式性质入手，抛物线顶点式$y=-(x-h)^2 +k$的对称轴为直线$x=h$，因为抛物线过原点，结合抛物线的对称性可以得到点B的坐标，推出$AO=AB$，同时得到$OB$的长度与$h$的关系；再结合四边形AOBC的周长和$△ ABC$的周长的条件，将两个周长表达式中共同的$AC+BC+AO$部分进行替换，消去未知的线段长度，得到仅含$h$的不等式，最后结合点A在第二象限确定$h$的符号，即可求出$h$的取值范围。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-(x-h)^2 +k$的顶点为$A(h,k)$，且经过原点，抛物线对称轴为直线$x=h$
$\therefore$ 抛物线与$x$轴的另一个交点$B$的坐标为$(2h,0)$，且对称轴垂直平分线段$OB$，因此$AB=AO$
$\because$ 点$A$在第二象限，$\therefore h＜0$，$OB$的长度为$0-2h=-2h$
已知四边形$AOBC$的周长为14，可得：$AO + OB + BC + AC =14$，即$AC + BC + AO =14 - OB$
$△ ABC$的周长为$AC + BC + AB$，又$\because AB=AO$，$\therefore △ ABC$的周长$=AC + BC + AO$
由题意$△ ABC$的周长大于8，因此$14 - OB ＞8$
将$OB=-2h$代入不等式得：$14 - (-2h) ＞8$，即$14 +2h＞8$，解得$h＞-3$
结合$h＜0$，可得$h$的取值范围是$-3＜h＜0$
【答案】
$-3＜h＜0$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数顶点式；一元一次不等式求解
【点评】
本题巧妙结合二次函数的对称性简化线段关系，不需要求解未知点坐标，通过周长的等量代换消去未知线段，将几何条件转化为参数的不等式求解，解题的核心是抓住抛物线对称的性质，理清周长之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
