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1. 长方形ABCD的长和宽分别为a,b,对角线的长为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{a^2 + b^2}}$
解析
解：
∵ 长方形的邻边互相垂直，长$a$、宽$b$与对角线构成直角边长为$a$、$b$的直角三角形，
由勾股定理可得，对角线的长为$\sqrt{a^2 + b^2}$。
∵ 长方形的邻边互相垂直，长$a$、宽$b$与对角线构成直角边长为$a$、$b$的直角三角形，
由勾股定理可得，对角线的长为$\sqrt{a^2 + b^2}$。
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，若$AB=10$，$BC=12$，则中线$AD$的长为________.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC$。
∵ BC=12，
∴ BD=6。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ $AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
∵ AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴ AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC$。
∵ BC=12，
∴ BD=6。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ $AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8$。
3. 如图,在长方形纸片ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,如果将该长方形沿对角线BD折叠,则图中阴影部分的面积为 cm².
（第3题）（第4题）（第5题）
（第3题）（第4题）（第5题）
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：设AD与BC'的交点为E。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，∠A=90°，AD=BC=8 cm，AB=4 cm。
由折叠的性质可得：∠C'BD=∠CBD，
∴ ∠C'BD=∠ADB，
∴ BE=DE。
设AE=x cm，则BE=DE=(8 - x) cm。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
即$ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2$解得 x=3，∴$ DE=8 - 3=5\ \mathrm{cm}$，∴ 阴影部分的面积为$ \frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10\ \mathrm{cm}^2$。最终
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，∠A=90°，AD=BC=8 cm，AB=4 cm。
由折叠的性质可得：∠C'BD=∠CBD，
∴ ∠C'BD=∠ADB，
∴ BE=DE。
设AE=x cm，则BE=DE=(8 - x) cm。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AB^2 + AE^2 = BE^2$
即$ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2$解得 x=3，∴$ DE=8 - 3=5\ \mathrm{cm}$，∴ 阴影部分的面积为$ \frac{1}{2} × DE × AB = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10\ \mathrm{cm}^2$。最终
4. 如图,两平行线$l_1$和$l_2$之间的距离是4,点A,B分别在$l_1$和$l_2$上,且$l_1$和AB所成的角$∠ BAC=135°$,则AB的长为（）
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{32}$
C.4
D.8
A.$\sqrt{8}$
B.$\sqrt{32}$
C.4
D.8
答案
B
解析
过点B作BD⊥l₁，垂足为D，由两平行线间的距离为4，得BD=4。
∵∠BAC=135°，∴∠DAB=180°-135°=45°。
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，可得AD=BD=4。
根据勾股定理，AB²=AD²+BD²=4²+4²=32，因此AB=√32。
∵∠BAC=135°，∴∠DAB=180°-135°=45°。
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=45°，可得AD=BD=4。
根据勾股定理，AB²=AD²+BD²=4²+4²=32，因此AB=√32。
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$，垂足为$D$。已知$BD=3$，$AB=5$，则$CD$的长为（）
A.$\dfrac{16}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$4$
D.$\sqrt{34}$
A.$\dfrac{16}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$4$
D.$\sqrt{34}$
答案
A
解析
1. 在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 5^2 - 3^2 = 16$。
2. 设$CD=x$，在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 16 + x^2$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$BC=BD+CD=3+x$，由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，代入得：$5^2 + 16 + x^2 = (3+x)^2$。
4. 展开化简得$41+x^2=9+6x+x^2$，消去$x^2$后解得$x=\frac{16}{3}$，即$CD$的长为$\frac{16}{3}$。
2. 设$CD=x$，在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 16 + x^2$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$BC=BD+CD=3+x$，由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$，代入得：$5^2 + 16 + x^2 = (3+x)^2$。
4. 展开化简得$41+x^2=9+6x+x^2$，消去$x^2$后解得$x=\frac{16}{3}$，即$CD$的长为$\frac{16}{3}$。
6. 求图中三角形和四边形的面积：
答案
解：
1. 求图①中△ABC的面积：
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=BC=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=2^2-1^2=3$，
∴$AD=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$。
2. 求图②中△ABC的面积：
过点B作BD⊥AC于点D，
∵AB=BC=13，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-5^2=144$，
∴BD=12，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$。
3. 求图③中四边形ABCD的面积：
过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠D=∠C=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴EC=AD=3，AE=CD，
∴BE=BC-EC=6-3=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2-BE^2=5^2-3^2=16$，
∴AE=4，即CD=4，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2} × (AD+BC) × CD = \frac{1}{2} × (3+6) × 4 = 18$。
答：图①三角形面积为$\sqrt{3}$，图②三角形面积为60，图③四边形面积为18。
1. 求图①中△ABC的面积：
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=BC=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2=AB^2-BD^2=2^2-1^2=3$，
∴$AD=\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \sqrt{3}$。
2. 求图②中△ABC的面积：
过点B作BD⊥AC于点D，
∵AB=BC=13，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$AC=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=13^2-5^2=144$，
∴BD=12，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 10 × 12 = 60$。
3. 求图③中四边形ABCD的面积：
过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠D=∠C=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴EC=AD=3，AE=CD，
∴BE=BC-EC=6-3=3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE^2=AB^2-BE^2=5^2-3^2=16$，
∴AE=4，即CD=4，
∴$S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2} × (AD+BC) × CD = \frac{1}{2} × (3+6) × 4 = 18$。
答：图①三角形面积为$\sqrt{3}$，图②三角形面积为60，图③四边形面积为18。
